管理类联考初数《整数类应用题》详解

管理类联考初数（二）整数类应用题恒硕周竟希1、基础整数类应用题A和差问题例1：小明和妈妈年龄之和为40岁，如果妈妈比他大26岁，那小明多大？解析：大数=（和+差）÷2，小数=（和—差）÷2妈妈：（40+26）÷2=33小明：（40—26）÷2=7练习：一艘船顺流时速度为80千米/时，逆流时速度为60千米/时，这艘船在静水中的速度是多少？商店里卖两种糖，牛奶糖和水果糖在一起有20斤，牛奶糖比水果糖重4斤，如果牛奶糖8元/斤，水果糖5元/斤，两种糖一共多少钱？A、B两地相距1000米，如果小明、小强分别从A、B两地相向而行，那么10分钟后相遇；如果两人分别从两地同向而行，那么25分钟后小明追上小强。小明一分钟走多少米？丽比王梅的钱多50元，两人各花30元钱后，剩的钱加一起还有150元。两人开始一共带了多少钱？（提示：“两人各花30元钱后”，代表“差不变”）爸爸比小明大30岁，过了几年后，两人一共80岁，此时，爸爸多大？B三个数两两知和问题例2：甲乙二人共50岁，乙丙二人共38岁，甲丙二人共42岁，三人各多大？解析：先求三数和（甲乙+乙丙+甲丙）÷2=甲乙丙再分别减两数和：甲=甲乙丙—乙丙乙=甲乙丙—甲丙丙=甲乙丙—甲乙甲乙丙（50+38+42）÷2=65甲：65—38=27乙：65—42=23丙：65—50=15练习：一家三口去称重，妈妈和孩子一共150斤，爸爸和孩子一共180斤，爸爸和妈妈一共270斤。那么孩子多重？有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。问：其中最轻的箱子重多少千克？一项工程，甲乙合干12天完成，甲丙合干15天完成，乙丙合干要20天完成。那么，甲单干要多长时间完成？C和倍问题例3：明明和晶晶参加学校组织的植树活动，两人一共种了12棵树，其中明明植树的棵数是晶晶的2倍。明明一共种了几棵树？解析：小数=和÷（倍数+1）大数=和÷（倍数+1）×倍数练习：小丽考完试后，发现语文和数学一共有80道题，数学题是语文题的3倍。两门考试各有多少题？纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各有多少人？甲、乙两堆货物一共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。甲、乙两堆各有多少件货物？（提示：不是整数倍时要去掉余数，使变成整数倍）某电视台调查了连续100天在本台播放的娱乐节目，发现每天一次的娱乐节目不是放《星光大道》就是放《开门大吉》，其中《星》的播放次数比《开》的2倍还多13。这100天中《开门大吉》一共播放了多少次？D差倍问题例4：海和丽在操场上练习跑步，一段时间过后，海跑的距离是丽跑的3倍。如果丽比海少跑500米，那么丽和海一共跑了多少米？解析：差倍问题：小数=差÷（倍数—1）大数=差÷（倍数—1）×倍数练习：1.奶奶的岁数是小明的6倍，奶奶比小明大60岁，奶奶和小明各多大？2.广场扩建成原来的3倍后，整整多出500亩地，那么扩建前广场多大面积？3.两根竹竿，其中一要根的长度是另一根的3倍，两根都竖直地插入深30厘米的水中，两根竹竿露出水面的部分差了100厘米。则原来的长短竹竿各多长？4.师傅将甲乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量是乙零件的2倍，每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲乙零件数量相等。请问：师傅还可以生产几件产品？（提示：剩下的数量相等，代表已生产的零件“差”与开始时比不变。）5.甲乙两筐苹果重量相等，现在从甲筐拿出12千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的3倍少2千克。两筐苹果原来各有多少千克？（提示：相等的两筐苹果，甲给乙12千克后，两者的差值变化）E盈亏问题例5：老师将一批作业本发给同学，如果每人3本，则还剩30本，如果每人5本，则还缺20本。这个班共有（）同学。（A）15（B）20（C）25（D）30（E）35解析：盈亏问题：人数=（盈+亏）÷两次人均分配之差盈盈问题：人数=（盈—盈）÷两次人均分配之差亏亏问题：人数=（亏—亏）÷两次人均分配之差明显看出（1）、（2）单独都不充分联合起来，一种是盈（剩30瓶），一种是亏（只有一人不够）人数=（30+亏）÷（10—3）=（30+亏）÷7由于只有一人不够，所以亏的数量应该<10，并且（30+亏）能够被7整除所以亏=5，人数=5，水=3×5+30=45瓶练习：1.老师给同学们发作业本，每人发了同样多的作业本后，还剩下20本，后来给新来的2个人也发了同样数目的作业本，就只剩下12本了。请问：每个人发了几本？2.把一些桃子分给猴子吃，每只猴子分的一样。如果分给5只猴子，那么还剩下12个桃子，如果分给7只猴子，就会缺4个桃子。问：每只猴子分到多少个桃子？3.学校将某个班的学生分到各个宿舍，如果每间宿舍安排5个人，那么还有10个人没地方住；如果每间宿舍安排6个人，那么还有3个人没地方住。请问：一共有多少宿舍，多少个学生？4.王老师给同学们买习题集，如果买7本缺3元钱，如果买10本缺12元，那么一本习题集的价格是多少元？5.老师带着几个学生去吃冰淇淋，如果给每个学生买一个碎碎冰和一个2元钱的小甜筒，一共缺15元钱，如果只给每个同学买一个碎碎冰，还缺5元钱，一共有几个学生？F周期问题例6：a=4，对a进行如下的操作，第一次先加8，第二次减4，第三次再加8，第四次再减4……如此重复进行。那么至少第（）次计算过后，结果等于100。（A）22（B）24（C）44（D）45（E）48解析：周期问题把周期看成一个整体，不够一个周期的单独讨论，有加有减时，要保证最后一步为加法。本题属于有加有减型，要保证最后一步是加8才行。设一共经历了n个完整的周期（每个周期2步运算）。4+4n+8=100n=2222×2+1=45练习：如图，一只跳蚤从圆圈“1”顺时针方向跳了100步，落到一个圆圈；另一只跳蚤也从“1”开始逆时针跳了200步，落到一个圆圈，这两个圆圈的乘积是多少？工厂里有80吨货物，由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨……如此不停运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？工厂里有80吨货物，由同一辆卡车负责运输。第一天卡车从仓库里运出了60吨，第二天运进50吨，第三天再运出60吨，第四天又运进50吨，……如此不停运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？某公交公司停车场有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆，第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车，问到（）时，停车场第一次出现无车辆。（A）11时10分（B）11时20分（C）11时30分（D）11时40分（E）11时50分提示：每6分钟开出一辆，每8分钟开进一辆，24分钟为一周期，每周期会开出4辆，开进三辆，总计少1辆车；每周期最后一步是开进一辆车（该周期第19分时），而在第18分时会少2辆车，所以停车场第一次出现无车辆时，最后一步应该是该周期第18分时（小尾巴），小尾巴共少2辆车，前面整周期应该少15－2=13辆车，即应该有13×1=13个周期。总时间为：13×24+18=330分钟，选C。一个周期车辆变化情况如下：第0分第3分第6分第11分第12分第18分第19分总计－1+1－1+1－1－1+1－1注：该题可用技巧直接结合选项找答案，具体方法将在暑期强化阶段讲。G归一问题例7：一艘远洋轮船上共有30名海员，海上的淡水可供全体船员用40天，轮船离港10天后在公海上又救起15名海员。假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？解析：“归”是除法的意思，“一”是单位量。一般情况下可以直接求出单位量，求不出时要设单位量为“1”份。练习甲仓库有大米2000千克，乙仓库有大米1000千克。如果以每天100千克的速度将甲仓库的大米运到乙仓库，那么多少天后甲仓库的大米和乙仓库的一样多？班主任给同学们排座位，每排都恰好有3名男生和4名女生。如果女生一共有32名，那么男生一共有多少名？9个人6天可以完成12件作品，按照这样的速度，3个人3天可以完成多少件作品？21个人12天可以完成多少件作品？H鸡兔同笼例4：一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿，则共有7只鸡。笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿；笼子里的鸡和兔子共有12个头和34条腿。解析：假设全是兔子，则腿数要多，多出来的总数便是每只鸡比兔子少的数目乘以鸡的总数。设全是兔子，应该有40条腿。少了40—26=14条腿，每只鸡少4—2=2条，一共有14÷2=7只鸡。所以条件（1）充分。同上，也充分。选D。练习：停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，共有56个轮子，则自行车有（）辆？（A）8（B）10（C）12（D）15（E）16晨星小学有30间宿舍，其宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人，如果这些宿舍一共可以住168人，那么有（）间大宿舍。（A）6（B）12（C）24（D）26（E）28老师给幼儿园两个班小孩分水果，大班每人分2个苹果和5个桔子，小班每人分2个苹果和3个桔子，一共分出80个苹果和158个桔子。小班应该有（）小孩。（A）18（B）19（C）20（D）21（E）224.在年底的献爱心过程中，某单位共有100人参加捐款，经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种，该单位捐款500元的人数为（）（11年第13题）（鸡兔同笼与不定方程整数解结合）（A）13（B）18（C）25（D）30（E）382、集合应用题（容斥原理）对一个集合进行划分，往往可以有不同的标准。比如：对于某高三年级的学生，可以按性别分成男生、女生两类；如果再结合文理科（文科、理科），则可分成四类（文男、本文女、理男、理女）如果再结合是否应届（应届、非应届），则可分成八类（应文男、应文女、应理男、应理女、非文男、非文女、非理男、非理女）。一般来说，如果每种标准可以把一个集合恰好分成两类，那么n种不同的标准理论上可以把一个集合分为2n类。两个标准时：所有区域被分成四部分（两个圆覆盖的区域以外部分是第四部分）集合公式：面积公式：三个标准时：所有区域被分成八部分（三个圆覆盖的区域以外部分是第八部分）例1：某小区50栋楼，有30栋属于塔楼、15栋属于商品房，其中既属于塔楼又属于商品房的有8栋，则既不是塔楼也不是商品房的有（）栋。（A）5（B）13人（C）20人（D）35人（E）42人解析：设A=塔楼，B=商品房，问题实际上在求例2：某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40E、50例3：M=8。（1）一次数学考试，甲答错总数的，乙答错了3道，两人都答错的题目是题目总数的，则两人都答对的题目数为M；（2）一次数学考试，甲答错了3道，乙答错了3道，两人都答错的题目数为2，而甲、乙均对的题目恰好占总题目数M的。练习：1.在一群学生中，有12人登过泰山，有21人登过，并且有8人两座山都爬过。请问：至少爬过其中一座山的学生有多少人？2.某班45参加期末考试，成绩公布后，物理得满分的有10人，物理及英语均得满分的有3人，这两科都没得满分的有29人，请问：英语成绩得满分的有多少人？3.某餐馆有27道招牌菜，小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中7道，而且有2道菜是两人都吃过的。请问：有多少道招牌菜是两都没有吃过的。例3：某网络公司对300名上网用户进行调查，发现其中使用搜狐的有86人，使用网易的有75人，使用腾讯的有91人。如果三种都不使用的有102人，而三种都使用的有8人。那么，至少使用其中两种的有（）人。（A）38（B）62（C）198（D）244（E）95练习：已知甲乙丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。请问：只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？3.某班同学参加智力竞赛，共有A、B、C三题，每题得0分或者得满分。竞赛结果无人得0分，三题全都答对的有1人，答对2题的有15人。答对A题人数和答对B题的人数之和为29人，答对A题人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题人数和答对C题的人数之和为20人，那么该班的人数为（）（A）0（B）25（C）30（D）35（E）404.小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题？（A）4题（B）8题（C）12题（D）16题3、平均数应用题平均数（算术平均值）：设个数，称为这个数的算术平均值或平均数。求平均数的方法：定义法：利用总和除以个数求平均数。基准数法：n个数，取a做为它们的基准数，将它们表示成，则。例1：某公司上半年每月销售额分别是4689万元、4623万元、4657万元、4605万元、4691万元、4599万元。则上半年月平均销售额是（）万元。（A）4621（B）4644（C）4564（D）4654（E）4680解析：利用基准数法求平均数。取基准数4600.平均数（算术平均值）的意义：与总和对应：n个数的平均数是n个数的总和是。例2：如果三个数的算术平均值为5，则与8的算术平均值为（）（A）（B）（C）7（D）（E）以上答案均不正确解析：利用平均数与总和的关系做题。例3：有六名女生平均身高是140厘米，如果她们当中有1人离开后，剩下5个人的平均身高就变成135厘米。请问：离开的那个女生身高多少厘米？解析：利用“第N个数=N个数总和—剩下（N—1）个数的总和”移多补少法：n个数的平均数是这n个数于的数与差值的总和应该等于小于的数与差值的总和。例4：小安参加了5次天文知识竞赛，平均分是82分，去掉分数最高的那次，其余4次的平均成绩为80分。小安这五次竞赛最高分是（）分。（A）84（B）88（C）90（D）94（E）98解析：利用移多补少法。其余4次平均每次都比平均分少考2分，一共少考8分，所以最高分必须比平均分多考8分，即90分。例5：某公司会员会费分两种：100元和200元。本年度缴平均每人交会费120元，其中100元的会员共有20名，那么缴200元的共有（5）名。（A）5（B）10（C）20（D）40（E）8解析：20名100元的会员总共比平均数少缴了400元，每名200元的会员比平均数多缴80元，所以应有400÷80=5名。十字交叉法例6：某公司会员会费分两种：100元和200元。本年度共有150名会员。所有会员平均每人缴会费130元，则其中缴200元的会员共有（）名。（A）5（B）10（C）20（D）45（E）8解析：设缴100元和200元的会员分别有名。根据“移多补少”法可知：即，再根据，分别求出。如上图所示，这种方法就叫做十字交叉法。例7：小明买了一些笔和本子，已知两种文具的数量比是2:8，本子是3元一本，所有文具平均每件2.8元，那么笔应该（）元一支？（A）1.5（B）1.8（C）2（D）2.1（E）2.4统计法求平均数：一组统计数据共有n个不同的数值：，各自出现了次，则这组统计数据的平均数为若，则用统计法求平均数时，若n个不同的数值出现的次数相等，则。例8：两组数的平均数分别为和，且，混合之后总的平均数为。则下面说确的有（）个。；若混合之后，新增加一个数，则新的总平均值满足；若再增加两组数分别和这两组数对应相等，则新的总平均值满足；若混合后，新增加一个数，则新的总平均值满足。（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4例9：四件商品A、B、C、D的单价分别为4元、5元、6元、7元，将这四种商品装箱，第一箱的平均价格为，第二箱商品平均价格，则。第一箱中四种商品分别有2、2、4、6件，第二箱中四种商品分别有3、3、6、8件；第一箱中四种商品分别有1、2、3、4件，第二箱中四件商品分别有40、30、20、10件。练习：1.35个数排成5行7列，7列的平均数分别为39、41、40、45、42、39、41，前4行的平均数分别为42、39、44、41，请求出最后一行的平均数是（）。（A）39（B）40（C）41（D）42（E）43黑板上有7个数，平均数为55。如果把其中一个数改为140，则平均数变为64，求被改动的数是（）。（A）131（B）85（C）63（D）118（E）77甲班有33人，乙班有22人，在一次考试中，甲班的平均分是80分，甲班和乙班的总平均分是82分，乙班的平均分是（）分。（A）83（B）84（C）85（D）86（E）874.明明买了一些糖果，有牛奶糖、水果糖和花生糖，其中牛奶糖8元每斤，一共买了3斤；水果糖7元每斤，一共买了1斤。如果这些糖平均5.5元每斤，则花生糖的单价和重量可以是（）（A）4元每斤，6斤（B）2元每斤，1斤（C）10元每斤，8斤（D）1元每斤，1斤（E）7元每斤，2斤5.某单位男职工人数是女职工人数的2倍，男职工的平均年龄是31岁，女职工的平均年龄是40岁，则该单位全体职工的平均年龄是（）岁。（A）33（B）34（C）35（D）36（E）376.某兴趣小组7个人，已知7个人身高分别为159、163、163、168、171、174、185（单位：），则七个人的平均身高为（）。（A）165（B）168（C）169（D）170（E）1717.一组数由10个和20个组成（），则下面哪个选项的平均值最高？（）（A）在该组数中再加入2个和4个（B）在该组数中同时去掉1个和1个（C）在该组数中同时加上1个和1个（D）在该组数中同时加上10个和20个（E）在该组数中同时加上2个8.在一次考试中，某小组10名同学平均分为90分，前9名平均分为92分，后9名平均分为89分。则该小组第一名比最后一名多考（）分？（A）16（B）21（C）25（D）26（E）27两组数的平均数分别为，第一组仅包含两个数值，第二组仅包含两个数值，则。；。10.两部门进行年初汽车采购，分别采购了若干辆单价分别为6万、7万、8万的三种汽车，数量如下表。则甲部门采购汽车的平均单价要超过乙部门。部门数量车型6万元7万元8万元甲部门x55乙部门2010y；。练习题讲评：1.根据7列平均值可知，这35个数平均值为41，即这五行的平均值为41，再根据前四行平均数，可求出第五行。选（A）2.平均数变为64，代表总数比原来多7×9=63,140－63=77。选（E）。3.“移多补少法”。甲班平均每人比平均分少2分，总共少66分，则乙班必然总共比平均分多66分，平均每人多3分，则乙班平均分85分。选（C）4.本题可以直接将选项代入检验，选（A）。5.由于男：女=2:1，设平均年龄是的话，则有，解得。选（B）。利用“基准数法”，可以取基准数为165，七个数与基准数的差的平均数为，所以平均身高165+4=169。选（C）。所有选项中该组数都只有和两个不同的数，总平均数关键在于二者出现的次数比值。题干中二者比值为1:2，而（A）和（D）加上同样为1:2的一组数后，平均值应该保持不变；B中，两者比值变为9:19，所占比重下降，总平均值跟原来比是减少的。（C）和（E）都能使总平均数增加，然而在总数相等的情况下，显然（E）的总和要大于（C）。选（E）。8.10名同学总分为900分，前9名同学总分为828分，所以第10名同学的成绩为72分，后9名同学总分为801分，所以第一名成绩为99分。选（E）。9.条件（1）中，不能确定第一组中最小的数比第二组中最大的还大，因此还要结合两组数中各自大数与小数的值来看。举例：第一组数：100、10和10，第二组数：99、99和9。显然由于第二组数占优，所以平均数更靠近大数，而第一组中小数占优，平均数更靠近小数。此时。条件（2）单独显然不充分，和（1）联合后，仍然无法避免所举反例。选（E）条件（1），将甲部门各数量通分后得三个数分别是20、10、10，显然乙跟这三个数比，前两个相同，而8万元的车少1辆，显然乙部门的平均单价小，充分；条件（2），两部分购买的车总数都为35辆，但甲部门所购的6万元车要远远多于乙部门，8万元车二者所购数量相等，因此，甲的平均单价应该低于乙部门。选（A）4、最值应用题最值应用题是整数类应用题中比较难的一类，主要用的方法是分析（定性）与列举（定量）及代数式求最值。用列举和分析求解最值问题往往要结合实际情境，确定各个量的限定围，应用起来比较灵活。代数式求最值将放到式和分式一章中讲解。例1：在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？（A）6（B）9（C）10（D）12（E）15解析：先定性分析：炉上同时能放两块，相当于同时烤两面要3分钟，平均每面1.5分钟，三块共有六面，理论上来说最快9分钟可以完成。接下来考虑可行性：只要每次烤炉都充分利用两块的指标，不浪费，同时不重复烤某一面，就能使理论上的最小值成立。方法如下：先烤1、2的A面，再烤2、3的B面，最后烤1的A面、3的B面，刚好9分钟。选（B）例2：某货架上共有20个商品，单价均不超过50元，如果它们的平均单价为45元每件，那么单价低于20元的商品最多有（）个。（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5解析：先定性分析：20个商品均价为45元，说明它们的总价为900元。要想让低于20元的商品尽可能多，在总和固定的情况下，要保证两点：1、低于20元的商品均价尽可能地高，可以取极限最大值20元。2、其他的商品价格尽可能地高，可以取最大值50元。再定量计算：这样求出的最大值为：（50×20－900）÷（50－20）=3.3≈3个（思考一下为什么不是4个）选（C）例3：有若干个自然数，它们的算术平均数是10，如果从这些数中去掉最大的一个，则余下的算术平均数为9；如果去掉最小的一个，则余下的算术平均数为11，这些数最多有（）个？（A）5（B）8（C）9（D）10（E）11解答：根据新课标教材，0是最小的自然数。由于去掉最小数后，算术平均数是11，所以，这些数最多有10÷（11－10）＋1＝11个。所以，最大的数最大值是11－1＋10＝20。选（E）同学们可以继续研究一下这些数中最大数的最大值是多少。例4：晨兴幼儿园采购经理去超市购买145袋牛奶，超市有两种包装：小包是5袋一包，卖8元每包；大箱是12袋一箱，每箱卖18元。王经理最少要花（）元。（A）218（B）220（C）224（D）232（E）240解析：两种方案虽然单价有高有低，但由于打包出售，单纯选择单价低的方案可能会造成浪费，反而花费更多。此时，要在最低单价和最少浪费间用逐一列举的方法对比出最优的方案。这种问题统一叫线性规划问题。显然成箱买的时候单价更低，所以如果是单价优先，要买12箱+1包。但此有4袋都是多买的（浪费的），如果是避免浪费优先，可以求出来要买10箱+5包（还有两种方案因为明显不够省钱舍去）。我们再把这两者中间还有一种方案是11箱+3包一共是三种方案综合对比，可以看出，当避免浪费优先时，花钱最少，为220元。选（B）同学们可以把每箱的价格改成15元，再来算一下，哪种方案花费更低。例5：该班至少61人。不管全班同学年龄如何分布，都能确保找出6名属相一样的学生。不管全班同学生日如何分布，都能确保找出3名学生出生的日期是同一天（不含年份和月份）。解析：抽屉原理：3个苹果放到2个抽屉里，必然有一个抽屉要放至少2个苹果。上述中的三个数字都有可能考到。最不利原理：条件（1）考虑极端情况，如果班里的同学在12人以，可能每个属相最多只有1人；如果在24人以，则可能每个属相最多2人……如果是有60人，则可能每个属相刚好5人。这时，只需要再多1人，就能保证此人刚好有5名同学和他属相一样。所以条件（1）充分。条件（2），出生的日期共有31种可能。假如61个同学，可能是1~30号各有两名同学，还有一名同学是31号出生，此时不能确保能找出3名学生出生日期相同。因此不充分。选（A）其他类型的最值问题有些需要列代数式，求一元二次函数最值；有的通过列不等式组找代数式最值，可以通过解析几何的方式；有些是考察均值不等式，有些考察绝对值的含义;有些是考最大公约数