2021-2022学年新教材高中数学第3章函数3.1.1函数及其表示方法第2课时

.列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)2．通过函数解析式的求法培养运算素养．3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点)养.4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)(1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，那么满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．(2)F是函数y＝f(x)的图像，必经满足以下两条①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上．提示：不一定．＝〈列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列.表法只能表示函数的一个概况或片段.如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，那么称其为分段函数.提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数.1．函数f(x)由下表给出，那么f(3)等于()f(x)123C[∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]B[把点(01)代入四个选项可知，只有B正确．]3．以下给出的式子是分段函数的是()(x2＋1，1≤x≤5，①f(x)＝〈lx，xlx，x≥2.lx，x≤1.④f(x)＝〈lx－1，x≥5.A.①②B.①④C.②④D.③④B[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠局部，应选B.]4．函数y＝f(x)的图像如下图，那么其定义域是..[－2,3][由图像可知f(x)的定义域为[－2,3]．]函数的三种表示方法函数的三种表示方法间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．[解]x(台)y(元)x(台)y(元)162738495②图像法：如下图．列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线.1．假设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，那么给出的以下图形表示为定义在A上的函数图像的是()函数解析式的求法函数解析式的求法.(2)由下表给出函数y＝f(x)，那么f(f(1))等于()xx(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，应选B.]【例2】(1)f(x＋1)＝x－2x，求f(x)的解析式；(2)函数f(x)是一次函数，假设f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两[解](1)法一(换元法)：令t＝x＋1，那么t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t-1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，那么f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，.所以f(x)＝2x＋3或f(x)2x－8..22y＝2(x－7)2＋10.综合①②③,得函数的解析式为l－(x－7)2＋10，x∈(5，7].l－(x－7)2＋10，x∈(5，7].求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：假设f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的.系数即可.(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进展配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)〞即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：(1)应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.(2)在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示.2．函数f(x＋1)＝3x＋2，那么f(x)的解析式是()A[令x＋1＝t，那么x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]3．函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，那么f(x)＝.2[由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1-2消去f(－x)可得f(x)＝3x－1.]函数的图像及应用函数的图像及应用2【例3】(1)作出函数y＝x，x∈[2，+∞)的图像并求出其值域.(2)某市“招手即停〞公共汽车的票价按以下规那么制定：②5公里以上，每增加5公里，票价增加如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像.[思路点拨](1)列表→描点→连结；(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出.[解](1)列表.…3…2当x∈[2，+∞)时，图像是反比例函数y＝x的一局部，观察图像可知其值域为(0,1].(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20].描点法作函数图像的三个关注点(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2)图像是实线或实点，定义域外的局部有时可用虚线来衬托整个图像.(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.提醒：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.(2)分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.|x|－x|x|－x(1)用分段函数的形式表示f(x)；.(2)画出f(x)的图像；(3)假设f(a)＝2，求实数a的值.[解](1)当0≤x≤2时，f(x)＝11，f(x)＝11－x，(1，0≤x≤2，∴f(x)＝〈(2)函数f(x)的图像如下图.(3)∵f(a)＝2由函数图像可知a∈(－2,0)，二课堂小结口1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最正确的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点.3．分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()(3)分段函数由几个函数构成．()(4)函数f(x)＝〈[答案](1)×(2)×(3)×(4)√.1A.C.22D[∵f(3)＝3≤1，那么f(f(3))＝()92∴f(f(3))＝(|1