中考 四边形(矩形 平行四边形 梯形 菱形)专题 数学思想方法 总复习

./四边形总复习关系结构图：二、知识点讲解：1．平行四边形的性质〔重点：ABCD是平行四边形2.平行四边形的判定〔难点：.3.矩形的性质：因为ABCD是矩形<4>是轴对称图形,它有两条对称轴．4矩形的判定：矩形的判定方法：<1>有一个角是直角的平行四边形；

<2>有三个角是直角的四边形；

<3>对角线相等的平行四边形；

<4>对角线相等且互相平分的四边形．四边形ABCD是矩形.5.菱形的性质：因为ABCD是菱形6.菱形的判定：四边形四边形ABCD是菱形.7.正方形的性质：ABCD是正方形8.正方形的判定：四边形ABCD是正方形.名称定义性质判定面积平

行

四

边

形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。对边平行；②对边相等；

③对角相等；

④邻角互补；

⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形①定义；

②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；

④两组对角分别相等的四边形；

⑤对角线互相平分的四边形。S=ah<a为一边长,h为这条边上的高>矩

形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外,还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。S=ab<a为一边长,b为另一边长>菱

形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外,还有①四边形相等；②对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。①S=ah<a为一边长,h为这条边上的高>；

②<b、c为两条对角线的长>正

方

形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角,四条边相等；②对角线相等,互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。①<a为边长>；

②<b为对角线长>专题一平行四边形常用辅助线作法平行四边形中常添加辅助线是：连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形〔或特殊三角形、矩形〔梯形等图形,为证明解决问题创造条件。第一类：连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。经典例题1.如左下图1,在平行四边形中,点在对角线上,且,请你以为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等〔只需证明一条线段即可⑴连结⑵⑶证明：连结,设交于点O∵四边形为平行四边形∴∵∴即∴四边形为平行四边形∴第二类：平移对角线,把平行四边形转化为梯形。经典例题2.如右图2,在平行四边形中,对角线和相交于点O,如果,,,那么的取值围是〔ABCD解：将线段沿方向平移,使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中,,,∴,即解得故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。经典例题3.已知：如左下图3,四边形为平行四边形求证：证明：过分别作于点,的延长线于点F∴则∵四边形为平行四边形∴∥且,∴∵∴∴∴第四类：延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。经典例题4.已知：如右上图4,在正方形中,分别是、的中点,与交于点,求证：证明：延长交的延长线于点∵四边形为正方形∴∥且,,∴又∵,∴≌第五类：延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。经典例题5.如左下图5,在平行四边形中,点为边上任一点,请你在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长与的延长线相交于,则有∽,∽,∽第六类：把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线经典例题6.已知：如右上图6,在平行四边形中,,,交于,求解：连结交于点,连结∵四边形为平行四边形专题二梯形中的辅助线常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化,变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:经典例题1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．已知：如图2,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于E.∵AB平行于CD,且,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又,∴∴.经典例题2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若.AD=7,BC=15,求EF．分析：由条件,我们通过平移AB、DC；构造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中线．解：过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵,∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．经典例题3.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴∴.同理,∵故得∴此题仅做参考3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．经典例题4.如图,在梯形中,.求证：.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.∵,∴.又,∴≌.∴4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．经典例题5.如图,等腰梯形中,,,且,是高,是中位线,求证：．分析：由梯形中位线性质得,欲证,只要证．过点作,交的延长线于,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．证明：过点作交的延长线于点,则四边形是平行四边形．∴,∵四边形是等腰梯形,∴,∴又∵,∴,∴,

∴.∵,∴又∵,∴.经典例题6.已知：如图,在梯形中,.求证：梯形是等腰梯形.证明：过D作,交BA延长线于E.则四边形是平行四边形.∴.∴又,∴于是,可得∴∴梯形ABCD是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系.或利用"等积变形",连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．经典例题7.已知：如图4,在梯形中,是的中点,且.求证：.证明：取的中点F,连结FE.则∵,∴.∴.经典例题8.已知：梯形ABCD中ADBC,E为AB中点,且AD＋BC=DC,求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线∴EF∥AD∥BCEF=<AD＋BC>∴∠1=∠5,∠3=∠6∵DC=AD＋BC∴EF=DC=DF=CF∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠2=∠5,∠4=∠6∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180°∴∠1＋∠3=90°∴DE⊥C,DE平分ADC,CE平分∠CD证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略．证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、F解决.6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.经典例题9.已知：如图5,在梯形ABCD中,M、N分别是BD、AC的中点.求证：.证明：连结并延长,交于E.则.∴又N是AC的中点,∴,故取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形．经典例题10.如图,梯形中,,、分别平分和,为中点,求证：．分析：要证明,可以利用为中点,延长与的延长线交于,,得到,再证明即可．证明：延长、交于点F,显然．∴,.又∵,,,∴,∴∴是线段的垂直平分线．∴,∴.评注：添加辅助线后,沟通了、与的联系,由线段垂直平分线性质得出,从而问题获得解决．利用一腰中点旋转经典例题11.已知：如图,在梯形中,是CD的中点.求证：.证明：延长AE、BC相交于点F.易证.∴,∵,∴即.∴BE是等腰底边上的高.∴.说明：在图5中,相当于由绕点E旋转得到；在图6中,是由绕点E旋转得到.经典例题12.如图,梯形中,,为腰的中点,求证：.分析：与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了．梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰．证明：延长,使,延长,使；则,则四边形是平行四边形．为的中点,连结,与交于点.连结、,则.∵,是中点,∴为中点且是中点．∴四边形是平行四边形,∴,∴通过解决以上问题可以看出,添加辅助线有助于把复杂的梯形问题转化为简单的平行四边形或三角形的知识解决.虽然解决梯形问题时,辅助线千变万化,形状各异,使人眼花缭乱,不容易掌握,但正是这些地形形色色的梯形辅助线给同学们解决梯形问题提供了快捷和方便.相信通过以上对梯形辅助线的介绍和归纳,你已经掌握了分析思考梯形辅助线的方法."专题三和矩形有关的折量问题经典例题1.〔2012•如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E．〔1求证：BD=BE；〔2若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积．思路分析：〔1根据矩形的对角线相等可得AC=BD,然后证明四边形ABEC是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE,从而得证；〔2根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度,然后利用勾股定理求出BC的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．解答：点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键．经典例题2.〔2012•如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为．1．考点：矩形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG,然后根据等边对等角的性质可得∠ADG=∠DAG,再结合两直线平行,错角相等可得∠ADG=∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和可得∠AGE=2∠ADG,从而得到∠AED=∠AGR,再利用等角对等边的性质得到AE=AG,然后利用勾股定理列式计算即可得解．解：故答案为：．点评：本题考查了矩形的性质,等边对等角的性质,等角对等边的性质,以及勾股定理的应用,求出AE=AG是解题的关键．专题四和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题经典例题1.〔2012•如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为cm2．思路分析：连接AC交BD于点O,则可设BO=3x,AO=4x,继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB,结合菱形的周长为20cm可得出x的值,再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．解答：解：连接AC交BD于点O,则AC⊥BD,AO=OC,BO=DO,设BO=3x,AO=4x,则AB=5x,又∵菱形ABCD的周长为20cm,∴4×5x=20cm,解得：x=1,故可得AO=4,BO=3,AC=2AO=8cm,BD=2BO=6cm,故可得AC×BD=24cm2．故答案为：24．点评：此题考查了菱形的性质,掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质,及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键．经典例题2.〔2012•如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是〔A．5cmB．2cmC．cmD．cm2．考点：菱形的性质；勾股定理．分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长,在RT△BOC中求出BC,利用菱形面积等于对角线乘积的一半,也等于BC×AE,可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形,故选D．点评：此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法,及菱形的对角线互相垂直且平分．专题五和正方形有关的证明题经典例题1.〔2012•黄冈如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE=CF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据DE=CF,可得出OE=OF,继而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,然后利用等角代换可得出∠DME=90°,即得出了结论．解答：点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE=∠ODF,利用等角代换解题．经典例题2.〔2012•如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．〔1求证：CE=CF；〔2若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．分析：〔1根据正方形可知AB=AD,由等边三角形可知AE=AF,于是可以证明出△ABE≌△ADF,即可得出CE=CF；〔2连接AC,交EF与G点,由三角形AEF是等边三角形,三角形ECF是等腰直角三角形,于是可知AC⊥EF,求出EG=1,设BE=x,利用勾股定理求出x,即可求出BC的上,进而求出正方形的周长．解答