北师大版九年级上第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定“衡水杯”一等奖

1.2矩形的性质与判定第一课时

三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点O处，这样的队形对每个人公平吗？

情

境

导

学请从对称性、边、角、对角线四个方面回顾平行四边形有哪些性质？中心对称图形；对边平行且相等；对角相等，邻角互补；互相平分．对称性：边：角：对角线：

勤思

巧

学定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．演示：生活中的矩形：矩形与平行四边形之间的关系矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质（共性），还具有自己特殊的性质（个性）．

DCBA动手折一折，看矩形是否是轴对称图形，如果是，有几条对称轴？矩形是轴对称图形，有2条对称轴观察并猜想矩形角的特殊性．ABCD证明定理1:矩形的四个角都是直角.∠A=∠B=∠C=∠D=90

已知:如图,四边形ABCD是矩形，∠A=90

求证:∠B=∠C=∠D=90

.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是矩形，∠A=90

∴∠C=∠A=90

,∠B=180

-∠A=90

,∠D=180

-∠A=90

.DBCA∴∠B=∠C=∠D=90

.ABCDO观察和猜想矩形对角线的特殊性．证明定理2:矩形的两条对角线相等.

AC=BD已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD.填一填：如图，在矩形ABCD中，Rt△ABC斜边AC上的中线是BO，它与斜边的关系是BO=

AC．问：是否所有的三角形都有这样的关系?证明：∵ABCD是矩形∴AC=BD

BO=

BD∴BO=AC定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点O处，这样的队形对每个人公平吗？公平理由：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回

学

反

馈

已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形.∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).∴AC=BD,且OA=OC=AC

OD=OB=BD∵∠DAB=90°DBCAO∵∠AOD=120°∴∠ODA=∠OAD=例题:∴OA=OD你还有其他解法吗？对称性：轴对称图形，有2条对称轴角：四个角都是90°对角线：相等.对称性：中心对称边：对边平行且相等角：对角相等对角线：互相平分矩形的特殊性质平行四边形的性质归

纳

结

论巩固

练

习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角线相等B.对边相等

C.对角相等D.对角线互相平分A2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，D是BC中点，E是AC中点，则DE＝

．解析：三线合一，AD为BC边上的高，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半.4ABCDE3.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4.求BD与AD的长.DBCAO解：(1)∵OA=OC∴AC=4+4=8又∵BD=AC∴BD=8(2)∵△ABD是Rt三角形∴AB2+AD2=BD2∴小

有

收

获1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.矩形的性质（重点）：定理（1）：矩形的四个角都是直角；定理（2）：矩形的两条对角