等腰三角形的性质与判定(解析版)

考点05等腰三角形的性质与判定1.（2020·湖南·期末试卷）等腰三角形的两边长分别为3cm，6cm，则该三角形的周长为（

）A.12cm B.15cm C.12cm或【答案】B【解析】当相等的两边是3时，3+3=6，不能组成三角形，应舍去；

当相等的两边是6时，能够组成三角形，此时周长是6+6+3=15．

2.（2020·河南·期中试卷）等腰三角形的一个角是70∘，则它的底角是(

)A.70∘ B.40∘ C.55∘或70∘【答案】C【解析】当70∘为顶角时，底角为：(180∘-70∘)÷2=55∘．70∘为底角时，70∘+70∘<180∘，故成立．

3.（2020·山东·月考试卷）在等腰△ABC中，A.9 B.13 C.9或13 D.10或12【答案】C【解析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．4.（2020·湖南·月考试卷）如图，已知AB=AC，∠A=36∘，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∼△BCD；④△AMD≅△A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】解：∵AB的中垂线MD交AC于点D，交AB于点M，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=36∘，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72∘，

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36∘，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD是∠ABC的平分线；故①正确；

∴∠BDC=180∘-∠DBC-∠C=72∘，

∴∠BDC=∠C=72∘，

∴△BCD是等腰三角形，故②正确；

∵∠CA.315∘ B.240∘ C.135【答案】B【解析】解：如图，

∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60∘.

∵∠BDE+∠BED=6.（2020·山东·期末试卷）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60∘得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是(

)

A.∠ABD=∠E B.∠CBE【答案】C【解析】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60∘得△DBE，

∴∠ABD=∠CBE=60∘，AB=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB=60∘，

∴∠DAB=∠CBE，

∴AD // BC，

7.（2020·广西·月考试卷）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE、CD，AE交BD于点P，CD交BE于点N，AE与CD交于点F，连接PNA.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，

∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60∘，BE=BC，

∴∠ABE=∠DBC，∠PBN=60∘，

在△ABE和△DBC中，

∵AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，

∴△ABE≅△DBC(SAS)，

∴①正确；

∵△ABE≅△DBC，

∴∠BAE=∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD=180∘-60∘【答案】11或13【解析】解：(1)当等腰三角形的腰为3，底为5时，

3，3，5能够组成三角形，此时周长为3+3+5=11．

(2)当等腰三角形的腰为5，底为3时，

3，5，5能够组成三角形，此时周长为5+5+3=13．

则这个等腰三角形的周长是11或13．

9.（2020·四川·月考试卷）等腰三角形的一个底角为50∘，则它的顶角的度数为________.【答案】80∘【解析】解：因为其底角为50∘，所以其顶角=180∘-50∘×2=80∘．

10.（2020·江苏·期中试卷）如果实数a、b满足|a-2|+b-4【答案】10【解析】解：∵|a-2|+b-42=0，

∴a-2=0，b-4=0，

∴a=2，b=4，

当a=2为腰时，三边分别为2，2，4,

∵2+2=4，

∴不能构成三角形，舍去；

当b=4为腰时，三边分别为2，4，4，周长为10.

11.（2020·江苏·【答案】50∘【解析】解：∵MN是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD.

∵∠DBC=15∘，

∴∠ABC=∠A+15∘.

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=∠A+15∘，

∴∠A+∠A+15∘+∠A+15∘【答案】52∘【解析】解：∵AC=AD=DB，

∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，

设∠ADC=α，

∴∠B=∠BAD=α2，

∵∠BAC=102∘，

∴∠DAC=102∘-α2，

在△ADC中，

∵∠ADC+∠C+∠DAC=180∘，

∴2α+102∘-α2=【答案】50【解析】解：∵点B在点A的南偏西45∘方向上，点C在点B的北偏西15∘方向上，

∴∠ABC=45∘+15∘=60∘.

∵AB=BC=50，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=50.

14.（2019-2020·湖南·期末试卷）如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=3(1)求△EBC(2)求∠EBC【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA=(2)根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB，

∴△BEC(2)∵AB=AC，∠A=20∘，

∴∠ABC=1215.（2020·江苏·月考试卷）(1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED//BC.指出图中的等腰三角形，并说明理由．(2)如图②，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC【解答】解：(1)△BED为等腰三角形.

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD.

∵DE//BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠ABD(2)∵BD平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC.

∵EF//BC，

∴∠OBC=∠EOB，

∴∠EBO=∠16.（2020·江苏·月考试卷）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E.

(1)若AC=12，BC=10，求(2)若∠A=40∘【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴△EBC的周长为：BC+CE+(2)∵AB的垂直平分线DE交AB，AC于D，E，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=40∘.

∵17.（2020·福建·期中试卷）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=100∘，当DE⊥AC时，求∠【解析】首先利用等腰三角形的性质得出∠ADE=∠E=50∘，∠【解答】解：当DE⊥AC时，

∵AD=AE，∠DAE=100∘，

∴∠ADE=∠E=40∘，∠DAF=∠EAF=50∘，

18.（2020·江西·期末试卷）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110∘，∠BOC＝α，△BOC≅△ADC，∠OCD＝60∘（1）求证：△OCD（2）当α＝150∘时，试判断△（3）探究：当α为多少度时，△AOD【解析】（1）根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形可得证；

（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150∘，结合（1）中的结论可得∠ADO为90∘，那么可得所求三角形的形状；

（【解答】∵△BOC≅△ADC，

∴OC＝DC，

∵∠OCD＝60△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC＝60∘，

∵△BOC≅△ADC，α＝150∘，

∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150∘，

∴∵△OCD是等边三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60∘．

∵∠AOB＝110∘，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360∘-∠AOB-∠BOC-∠COD＝360∘-110∘-α-60∘＝190∘-α，

∠ADO＝∠ADC-∠ODC＝α-60∘，

∴∠OAD＝180∘-∠AOD-∠ADO＝180∘-(190∘-α)-(α-60∘)＝50∘．

①当10.（2020·重庆·中考模拟）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．

（1）求证：BE＝DC；（2）求证：△AMN（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90∘，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（【解析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60∘，则∠DAC＝∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≅△ADC，则BE＝DC；

（2）由△ABE≅△ADC得到∠ABE＝∠ADC，根据“AAS”可判断△ABM≅△ADN(ASA)，则AM＝AN；∠DAE＝60∘，根据等边三角形的判定方法可得到△AMN是等边三角形．

（3）判定结论1是否正确，也是通过证明△ABE≅△ADC求得．这两个三角形中AB＝AD，AE＝AC【解答】∵△ABD，△AEC都是等边三角形，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60∘，

∴∠DAC＝∠BAE，

在△ABE和△ADC中，A