华中师大一附中2024届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

华中师大一附中2024届高一数学第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：/℃/百元对上述数据进行分析发现，与之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（）参考公式：A． B．C． D．3．如图，在矩形中，，，点满足，记，，，则的大小关系为()A． B．C． D．4．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知集合，集合为整数集，则（）A． B． C． D．6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1=pan＋q，且a2＝3，a4＝15，则p，q的值为()A． B． C．或 D．以上都不对7．已知锐角满足，则（）A． B． C． D．8．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．9．已知满足条件，则目标函数的最小值为A．0 B．1 C． D．10．在中，角的对边分别为，且，，，则的周长为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为______．12．已知向量，，则在方向上的投影为______.13．设数列的前项和为满足：，则_________.14．已知，且，则________.15．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．16．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，，求.18．已知函数．（1）求（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．（1）求数列和数列的通项公式；（2），求正整数n的值．20．“中国人均读书本（包括网络文学和教科书），比韩国的本、法国的本、日本的本、犹太人的本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这名读书者中年龄分布在的人数；（2）求这名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书者年龄在的人数恰为的概率.21．已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.【题目详解】设球心为，的中心为，则，，球的半径，所以球的表面积为.故选：C【题目点拨】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.2、B【解题分析】

计算出，，把数据代入公式计算，即可得到答案．【题目详解】由题可得：，，，，；所以，，则线性回归方程为；故答案选B【题目点拨】本题考查线性回归方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题．3、C【解题分析】

可建立合适坐标系，表示出a,b,c的大小，运用作差法比较大小.【题目详解】以为圆心，以所在直线为轴、轴建立坐标系，则，，，设，则，，，，，，，，故选C.【题目点拨】本题主要考查学生的建模能力，意在考查学生的理解能力及分析能力，难度中等.4、A【解题分析】

首先注意到，是函数的一个零点.当时，将分离常数得到，构造函数，画出的图像，根据“函数与函数有一个交点”结合图像，求得的取值范围.【题目详解】解：由恰有两个零点，而当时，，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.故实数的取值范围是.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5、A【解题分析】试题分析：，选A.【考点定位】集合的基本运算.6、C【解题分析】

根据数列的递推公式得、建立方程组求得.【题目详解】由已知得：所以解得：或.故选C.【题目点拨】本题考查数列的递推公式，属于基础题.7、D【解题分析】

根据为锐角可求得，根据特殊角三角函数值可知，从而得到，进而求得结果.【题目详解】，又，即本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够熟悉特殊角的三角函数值，根据角的范围确定特殊角的取值.8、D【解题分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【题目点拨】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.9、C【解题分析】作出不等式区域如图所示：求目标函数的最小值等价于求直线的最小纵截距.平移直线经过点A(-2,0)时最小为-2.故选C.10、C【解题分析】

根据，得到，利用余弦定理，得到关于的方程，从而得到的值，得到的周长.【题目详解】在中，由正弦定理因为，所以因为，，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周长为.故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0.56【解题分析】

根据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【题目详解】由题意，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，所以两人均中靶的概率为，故答案为0.56【题目点拨】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、【解题分析】

由平面向量投影的定义可得出在方向上的投影为，从而可计算出结果.【题目详解】设平面向量与的夹角为，则在方向上的投影为.故答案为：.【题目点拨】本题考查平面向量投影的计算，熟悉平面向量投影的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.13、【解题分析】

利用，求得关于的递推关系式，利用配凑法证得是等比数列，由此求得数列的通项公式，进而求得的表达式，从而求得的值.【题目详解】当时，.由于，而，故，故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14、或【解题分析】

利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间与区间内各有一值，从而求出。【题目详解】因为函数的周期为，而且在内单调增，所以有两个解，一个在，一个在，由反正切函数的定义有，或。【题目点拨】本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用。15、【解题分析】

根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.【题目详解】由，得：且中点坐标为和关于直线对称且在上的方程为：，即：本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.16、【解题分析】

利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.【题目详解】在长方体中，设平面为平面，平面为平面，直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，因为，由线面垂直的性质定理，可得.【题目点拨】空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、11【解题分析】

根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得，和，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.【题目详解】由，由，可得又由，所以，由，得，可得，所以，即.【题目点拨】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.18、（1）,的增区间是．（2）．【解题分析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，再求的单调性．（3）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．试题解析：（1）因为－1＝－1，故最小正周期为得故的增区间是．（2）因为，所以．于是，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值－1．考点：（1）求三角函数的周期和单调区间；（2）求三角函数在闭区间的最值．19、（1）；；（2）n的值为1．【解题分析】

(1)根据等比数列与等差数列,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.(2)分别利用等差等比数列的求和公式求解得与,再代入整理求解二次方程即可.【题目详解】解：（1）设等比数列的公比为q,由,,可得．∵,可得．故；设等差数列的公差为d,由,得,由,得,∴．故；（2）由是等差数列,且,得由是等比数列,且,得．可得．由,可得,整理得：,解得（舍）或．∴n的值为1．【题目点拨】本题主要考查了等比等差数列的基本量法以及的等差等比数列的求和计算.属于中档题.20、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.【题目详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为所以，名读书者年龄分布在的人数为人.（2）名读书者年龄的平均数为：设中位数为，解之得，即名读书者年龄的中位数为岁.（3）年龄在的读书者有