专题04圆的方程九个重难点归类（解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

第第页专题04圆的方程九个重难点归类一、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径注：当时，方程表示一个点；当时，方程没有意义，不表示任何图形．二、直线与圆的位置关系的判断方法判断方法几何法由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断代数法联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断相离相切相交三、圆与圆位置关系的两种判断方法（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）．图示d与的关系位置关系外离外切相交内切内含（2）代数法：设圆①，圆②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．四、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆①，圆②，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．【重难点一求圆的方程】例1．圆关于直线对称的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过求圆的圆心和半径求得正确答案.【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径.设圆的圆心为，则，解得，圆的半径为，所以圆的标准方程为.故选：A例2．（多选）若，，，四点共圆，则m的值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】AD【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或.【详解】根据题意可设圆方程为，将点，，代入可得，解得；即圆方程为，又点在圆上，所以，整理得，解得或.故选：AD确定圆的方程的方法确定圆的方程的方法（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程．（2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可【跟踪练习】练习1．圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（

）.A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆心在射线上，设出圆心坐标，利用圆心到原点距离等于半径求得圆心坐标，即可求出圆的方程.【详解】因为圆心在射线上，故设圆心为，又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得或（舍去），即圆的圆心坐标为，则圆的方程为，即.故选：C练习2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据为直径得到圆心坐标和半径，然后求圆的方程即可.【详解】由题意得圆心为，即，半径，所以圆的方程为.故选：B练习3．中，．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求的外接圆的方程．【答案】(1)(2)．【分析】(1)求出边的斜率，即可得到高线的斜率，用点斜式即可求得方程.(2)设圆的方程为一般式，代入点的坐标即可求出方程.【详解】（1）直线的斜率所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为．（2）设的外接圆的方程为，则解得所以的外接圆的方程为．练习4．分别根据下列条件，求圆的方程：(1)过点，，且圆心在直线上；(2)过、、三点．【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程；（2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可.【详解】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，圆过点，，则有即，解得，可得圆心坐标为，圆的半径，所以圆的方程为.（2）设过、、三点的圆的方程为，则有，解得，故所求圆的方程为.【重难点二点与圆的位置关系】例3．已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合点在圆外条件，及表示圆的方程可得答案.【详解】因在圆外，则，得.又表示圆，则，得.综上：.故选：D例4．若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二元二次方程表示圆的条件及点与圆的位置关系即得.【详解】由圆，可知圆，∴，又∵直线，即，恒过定点，∴点在圆的内部，∴，即，综上，.故选：A.判断点与圆的位置关系的方法：判断点与圆的位置关系的方法：（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断．【跟踪练习】练习1．若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.【详解】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.故选:C.练习2．已知点在圆的外部，则k的取值范围是.【答案】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件以及点在圆外，列出不等式求解，即得答案.【详解】由题意圆满足，点在圆的外部，得，即的取值范围是故答案为：练习3．若点在圆内，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由关于的二次方程表示圆可得或，又由点在圆内可得，取交集即可.【详解】解：由题可知，解得或，又因为点在圆内，所以，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：.练习4．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围.【答案】【分析】由题意可知，方程表示圆，点在圆外，列出不等式组，求解即可.【详解】因为方程表示圆，过点可作圆的两条切线，则点在圆外，所以，解得：.故答案为：.【重难点三直线与圆的位置关系】例5．若点在圆上，则直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切C．相交 D．不确定【答案】B【分析】利用点线距离公式求圆心与直线的距离，结合半径长即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由圆的圆心为，半径为2，所以到直线的距离，又在圆上，则，故，所以直线与圆相切.故选：B例6．已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案.【详解】由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2，若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，又直线的一般方程为，，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.判断直线与圆位置关系的两种方法：判断直线与圆位置关系的两种方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．【跟踪练习】练习1．已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】C【分析】根据题意，由点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系.【详解】因为点在圆内，则，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.故选：C练习2．已知，则圆与直线的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】B【分析】由题意，可判断直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.【详解】，直线转化为，所以直线恒过定点，由，所以点在圆内，故直线与圆相交.故选：B.练习3．直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，先由得，表示以为圆心，以为半径的半圆，画出图像，由图像，根据直线与圆位置关系，即可得出结果.【详解】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆，其图象如下：由图像可得，当直线过点时，直线与曲线恰有一个公共点，此时；当直线过点时，直线与曲线恰有两个公共点，此时；当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径，即，且，解得，因此，由图像可得，为使直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.故选：D.练习4．若直线与两个圆都相离，则的取值范围是．【答案】【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于半径可求解.【详解】点到直线的距离，解得．点到直线的距离，解得．故的取值范围是．故答案为：【重难点四圆的切线问题】例7．已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解．【详解】易知圆在点处的切线的方程为，所以，，，所以，当且仅当，时，等号成立．所以的最小值为.故选：C.例8．已知直线，圆，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的性质，得到直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，结合点到直线的距离公式和圆的切线长公式，即可求解.【详解】由圆的性质，可得当直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，因为圆，可得圆心，半径为，则圆心到直线的距离为，即，所以切线长的最小值为.故选：D.求切线方程的常用方法求切线方程的常用方法（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或.（2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．【跟踪练习】练习1．已知圆心为的圆经过.两点，且圆心在直线上(1)求的标准方程；(2)过点作的切线，求切线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设圆心，根据，可得，解得的值，可得圆心的坐标和半径CA，从而得到圆C的方程．（2）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时由点斜式设出直线方程，圆心到切线的距离等于半径，得到方程，注意斜率不存在的情况．【详解】（1）∵圆心C在直线上，设圆心，∵圆C经过点，

∴∴，解得,∴圆心C(−3,−2)，半径，∴圆C的方程为（2）若直线的斜率存在时，设所求的切线方程的斜率为，则切线方程为，即，又圆心到切线的距离又由，即，解得∴所求的切线方程为或若直线的斜率不存在时，即不满足要求.∴综上所述，所求的切线方程为或练习2．已知圆：．(1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程和切线长；(2)设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标．【答案】(1)切线方程为或，切线长为1(2)的面积最小值为2，此时【分析】（1）由题意，利用分类讨论的解题思想，结合切线的性质以及点到直线的距离公式，根据勾股定理，可得答案；（2）由题意，利用数形结合的解题思想，求得点，可得答案.【详解】（1）由题意，可作图如下：

当切线斜率存在时，设切线的方程为，即，圆心到切线的距离是，，解得，切线方程为，即．当切线斜率不存在时，又与圆也相切，故所求切线方程为和．由圆的性质可知，切线长为．（2）由题意，可作图如下：（3）（4）

当时，的面积最小值．又因为，所以直线的方程为．由，解得，即点的坐标为．此时的面积最小值为．练习3．已知圆求过点且与圆相切的直线方程．【答案】或【分析】根据圆切线的斜率是否存在分类讨论进行求解即可.【详解】由可知该圆的的圆心为，半径为，当过点且与圆相切的直线不存在斜率时，方程为，因为，所以直线与圆相切，符合题意；当过点且与圆相切的直线存在斜率时，设为，方程为，所以有，即，综上所述：圆相切的直线方程为或故答案为：或练习4．（忽视割线斜率不存在）已知圆，过点的切线方程是；过点的切线方程是.【答案】或【分析】求出圆的圆心和半径，判断点的圆的位置关系，再借助直线方程的点斜式求出切线方程；判断点的圆的位置关系，分斜率存在与否求出切线方程作答.【详解】圆的圆心，半径，点在圆上，直线斜率为，因此过点的圆的切线斜率为，方程为，即；显然点在圆外，圆心到直线的距离为5，即直线是圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，于是，解得，切线方程为，即，所以过点的切线方程是或.故答案为：；或【重难点五圆的弦长问题】例9．已知圆，若过点的直线与圆相交于，两个不同点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，圆的圆心为，分析圆的圆心以及半径，求出到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当最大时，弦长最小，而的最大值为，据此计算可得答案．【详解】根据题意，设，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，则，

当最大时，弦长最小，在圆内部，故的最大值为，则的最小值为.故选：B．例10．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.(1)求圆的方程；(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），所以圆的方程为.（2）设圆心到直线的距离为，则，即，解得，又，所以，解得，所以直线的方程为或由于半径由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解【跟踪练习】练习1．已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切(1)求圆的方程；(2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）过点且斜率为1的直线方程，再求出圆心到直线的距离即圆的半径，从而得到圆的方程；（2）设到直线的距离为，由面积求出，再分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论.【详解】（1）过点且斜率为1的直线为，则圆心到直线的距离，所以半径，则圆的方程为；（2）设到直线的距离为，则，解得，若直线斜率不存在，方程为，满足题意；若直线斜率存在，设为，直线的方程为，因为，所以，解得，直线的方程为，即；综上，直线方程为或.

练习2．直线被圆截得的最短弦长为.【答案】【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.【详解】直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.

故答案为：练习3．已知圆，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是．【答案】【分析】求出圆心和半径，根据垂径定理得到⊥，从而求出，得到弦所在直线方程.【详解】圆变形为，圆心为，半径为2，因为圆的弦被点平分，所以⊥，其中，故，所以弦所在的直线方程是，即.故答案为：练习4．已知点，是圆C上的两点，写出满足“被直线截得的弦长为”的一个圆C的标准方程.【答案】（答案不唯一）【分析】计算，确定垂直平分线方程，计算平行直线的距离得到圆半径，确定圆心得到圆方程.【详解】，则的垂直平分线斜率为，且过中点，故垂直平分线方程为，即，和平行，平行直线的距离为，故圆半径，取圆心为满足条件，故.故答案为：.【重难点六圆与圆的位置关系】例11．圆与圆的位置关系不可能是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．内切【答案】C【分析】利用圆的圆心在圆的内部，进行判断即可.【详解】圆的标准方程为，因为，所以圆的圆心在圆的内部，所以两圆的位置关系不可能是外切．故选：C例12．已知圆：与圆：外离，则的取值范围（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先根据圆的方程得到两圆的圆心和半径，根据两圆的位置关系为外离得到圆心距大于半径之和，进而列出不等式可得.【详解】圆：，圆心坐标为，半径为圆：即，则，圆心坐标为，半径为，因圆与圆外离，所以圆心距大于半径之和，即，得，故选：D判断圆判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系．【跟踪练习】练习1．已知圆，圆，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数.【答案】或0【分析】根据题意，分两圆内切与外切，即可得到结果.【详解】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，可得，当两圆外切时，可得，∴或0.故答案为：或0练习2．已知直线与圆始终有公共点，则圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】B【分析】求出圆与圆的圆心和半径，由直线与圆始终有公共点，求出的范围即可判断得解.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，直线与圆始终有公共点，得，解得，因此，而，显然，所以圆与圆相离.故选：B练习3．（多选）已知，圆O：与圆：，则圆O与圆M的位置关系可能是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】CD【分析】分别求出圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，根据圆心距与两圆半径之间的关系即可得出结论．【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，圆O与圆M的半径之和为，因为，所以，即，所以圆O与圆M的位置关系是外切或外离，故选：CD．练习4．若是圆上一动点，是圆上一动点，则的最小值是.【答案】【分析】首先判断圆与圆之间的位置关系，然后根据点与点之间的距离求解；【详解】圆的圆心，半径,圆的圆心半径，所以两圆的位置外离，又在圆上，在圆上，则的最小值为，故答案为：5.【重难点七两圆的公共弦和公切线问题】例13．“”是“圆与圆不存在公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用两圆内含的定义以及充分必要条件关系判断即可.【详解】当两圆无公切线时，即两圆内含，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以两圆的圆心距，则，解得，所以是圆与圆不存在公切线的既不充分也不必要条件.故选：D.例14．（多选）已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是（

）．A．直线AB的方程为B．过A，B两点，且过点的圆的方程为C．与的公切线的长度为D．以线段AB为直径的圆的方程为【答案】AD【分析】由圆与圆的位置关系，直线方程，圆的方程对选项逐一判断，【详解】由解得或，即，，对于A，直线AB的方程为，故A正确，对于B，设过A，B两点，且过点的圆的方程，得，解得，圆的方程为，故B错误，对于C，的圆心为，半径为，的圆心为，半径为2，两圆半径相等，则与的公切线的长度为，故C错误，对于D，中点为，，则以线段AB为直径的圆的方程为，故选：AD【跟踪练习】练习1．（多选）已知圆和圆相交于A，两点，则下列说法正确的是（

）A．B．直线的方程为C．线段的长为D．到直线的距离与到直线的距离之比为【答案】ABC【分析】利用圆的性质可判定A项，利用两圆的公共弦方程公式计算可判定B项，利用弦长公式可判定C项，利用点到直线的距离公式可判定D项.【详解】对于A项，因为两个圆相交，所以圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B项，因为圆和圆相交于A，两点，所以两圆方程相减得到，即，故B正确；对于C项，圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以，故C正确；对于D项，因为圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故D错误．故选：ABC．练习2．（多选）已知圆，圆（

）A．若，则圆与圆相交且交线长为B．若，则圆与圆有两条公切线且它们的交点为C．若圆与圆恰有4条公切线，则D．若圆恰好平分圆的周长，则【答案】AD【分析】A、B将圆化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D由题意相交弦所在直线必过，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A：时圆，则，半径，而圆中，半径，所以，故，即两圆相交，此时相交弦方程为，所以到的距离为，故相交弦长为，对；B：时圆，则，半径，同A分析知：，故两圆相交，错；C：若圆与圆恰有4条公切线，则两圆相离，则，而圆，即，所以，错；D：若圆恰好平分圆的周长，则相交弦所在直线必过，两圆方程相减得相交弦方程为，将点代入可得，对.故选：AD练习3．两相交圆与的公共弦所在的直线方程为，以公共弦为直径的圆的方程为.【答案】【分析】将两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程；设所求圆的方程为：，得圆心，代入直线，求解即可.【详解】解：将与的方程相减，得，即两圆的公共弦所在直线方程为：；因为不在直线上，所以设所求圆的方程为：，即：，其圆心，因为圆心在直线上，所以，解得，故所求方程为，即.故答案为：；练习4．已知圆与圆(1)求经过圆与圆交点的直线方程：(2)求圆与圆的公共弦长．【答案】(1)(2)【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆即，圆心为，半径为，则，故圆与圆相交；将圆与圆的方程相减，得，即经过圆与圆交点的直线方程为；（2）圆的圆心为，半径为1，到直线的距离为，故圆与圆的公共弦长为.【重难点八与圆有关的轨迹问题】例15．已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，由动点转移法求得点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设，，由得是线段中点，∴，又在圆上，，即，∴点轨迹是半径为1的圆，面积为，故选：A．例16．在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．(1)求圆C的方程；(2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得，从而有，解得：．于是圆C的圆心，半径．所以，圆C的方程为,（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，又点D在圆C：上，所以有，化简得：．故所求的轨迹方程为．求轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．（2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程．【跟踪练习】练习1．已知定点，点B为圆上的动点．(1)求AB的中点C的轨迹方程：(2)若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到的轨迹方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心距，半径，半弦长的关系，即可求解.【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，点为圆上的动点，化简得，故的轨迹方程为．（2）由圆可得，圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，化简得，因为，故圆心到直线的距离，由圆心到直线的距离公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或．

练习2．已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为．【答案】/【分析】先通过直线和过的定点以及垂直关系求出点轨迹，然后根据阿波罗尼斯圆的特点找到使恒成立的点，最后根据两点之间线段最短求最小值即可.【详解】直线：即，过定点直线：即，过定点又，故，则点在以线段为直径的圆上，即点的轨迹为，即，假设存在点，使恒成立，设则，整理得，与的轨迹对照得，解得，即存在点，使，即，所以，即的最小值为.故答案为：.练习3．设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是．【答案】【分析】利用两点距离公式先求得P轨迹方程，结合圆的位置关系计算即可.【详解】设点，由，可知，整理可得点的轨迹方程为，即与存在交点，易知，圆心距为，因此，解得．故答案为：.练习4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，若动点P满足．(1)求动点P的轨迹方程；(2)若直线l过点M，且点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与动点P的轨迹方程所表示的曲线C的位置关系．【答案】(1)(2)；相交【分析】（1）设点P坐标，直接代入，整理可得动点P的轨迹方程.（2）设出直线l的方程，由点N到直线l的距离为1，可计算得直线l的方程，再根据（1）问所得曲线C为圆，由圆心到直线的距离可判断两者位置关系.【详解】（1）设，由题意得.又，N（1，0），所以，整理得.故动点P的轨迹方程为.（2）显然圆的圆心坐标为C（2，0），半径为，当直线l的斜率不存在时，不符合题意.设直线l的方程为，即因为点N到直线l的距离为1，所以，解得，所以直线l的方程为，即，所以圆心C到直线l的距离为，因为，所以直线l与曲线C相交.【重难点九圆的最值问题】例17．已知是实数，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线与圆相切时直线的斜率取到最值，即可求解.【详解】实数，满足方程，即，表示以为圆心，半径等于的圆．过原点作圆的切线，由，求得，由于可看作时圆上一点与原点的斜率，故其最大值为，的最小值为，故选：A

例18．（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别切圆C于点A，B．则下列说法正确的是（

）A．四边形PACB的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为C．的最小值为 D．最短时，PC长度最短【答案】ACD【分析】对于选项ACD：根据切线性质可知，，结合圆的性质分析求解；对于B：根据圆的性质结合点到直线的距离分析求解.【详解】对于选项ACD：由切线长定理可得，且，则，所以四边形的面积，因为，可知取到最小值等价于取到最小值，等价于取