与方程一课时

第2章圆与方程INNOVATIVEDESIGN2.1圆的方程第一课时圆的标准方程成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期课标要求1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.素养要求通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1一、圆的定义及标准方程1.思考

(1)圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

提示

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

确定圆的要素：圆心和半径，

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2)已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗？2.填空

(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.其中定点就是圆心，定长就是半径.(2)圆的标准方程

圆特殊情况一般情况圆心(0，0)(a，b)半径r(r>0)r(r>0)标准方程_______________________________x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2温馨提醒

(1)确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径.(2)下列情况比较适用圆的标准方程：①在已知圆心、圆的半径时，可以直接使用公式；②在已知圆心，圆经过一个定点时，可以先利用两点间的距离公式，求解半径.B3.做一做经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是(

)二、点与圆的位置关系1.思考点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？

提示

点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d____r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2>>在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2点在圆内d____r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2＝<<温馨提醒

点与圆位置关系的判断方法(1)几何法：根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据点的坐标与圆的方程的关系判断.3.做一做点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为(

)A.在圆上

B.在圆内C.在圆外

D.无法确定BHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2角度1直接法求圆的标准方程例1

(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.题型一求圆的标准方程(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x－2)2＋y2＝9角度2待定系数法求圆的标准方程例2

求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.解法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，法二(直接法)由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，1.用直接法求圆的标准方程的策略(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.思维升华2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤训练1

求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解(1)∵圆心为(4，－1)，且过点(5，2)，∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程.解设圆心为M(a，0)，∵MC＝MD，∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，例3

已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值

范围.题型二点与圆的位置关系的判断解由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：利用点到圆心的距离d与半径r比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.思维升华A题型三圆的标准方程的实际应用例4

如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2m时，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？(结果保留两位小数)解以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图，设圆拱所在圆的圆心为C，当水面距拱顶2m时，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，将A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1m后，可设点A′(x0，－3)·(x0>0)，解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面思维升华训练3

一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过多少米？(结果保留一位小数)解

建立如图所示的平面直角坐标系.设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为x2＋(y＋3.6)2＝3.62.因此这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过3.5米.课堂小结1.牢记2个知识点(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).(2)点与圆的位置关系.2.重点掌握2种方法(1)求圆的标准方程的方法.(2)判断点与圆的位置关系的方法.3.注意1个易错点本节课的易错点是求圆的标准方程时易漏解.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成3C2.圆心是C(－3，4)，半径长为5的圆的方程为(

)A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25D3.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(

) A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0 C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0D解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式，得直线l的方程为y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(

) A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限D解析

圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圆心在第四象限.5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(

)A.圆M的圆心为(4，－3)B.圆M的圆心为(－4，3)C.圆M的半径为5D.圆M被y轴截得的线段长为6ACD解析由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，得圆心为(4，－3)，半径为5，则A，C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确.6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是

________________.(x－2)2＋y2＝257.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是____________________.(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析

圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).法二设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，10.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4).(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.12712.已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为__________________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为____________.(x＋2)2＋(y－2)2＝4

x2＋y2＝4解析由题意可得圆心为C(－2，2)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.故所求圆