专题4.8 实数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.8实数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点提醒：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【知识点2】实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【知识点3】实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.【知识点4】实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【考点一】有理数与无理数【例1】（2023秋·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）把下列各数填入相应的数集内．正数集合：｛

…｝无理数集合：｛

…｝分数集合：｛

…｝非负整数集合：｛

…｝【答案】；；；；【分析】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可．解：∵，，，正数集合：无理数集合：分数集合：非负整数集合：．【点拨】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·广东河源·八年级统考期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1），∴无理数的个数是4个，故选：C．【点拨】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键．【变式2】（2023秋·福建漳州·八年级统考阶段练习）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则．【答案】256【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可．解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为，∴符合题意，故答案为：256．【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键．【考点二】实数的性质【例2】（2023春·吉林松原·七年级校考阶段练习）已知x、y都是实数，且，求的平方根【答案】【分析】先根据算术平方根的意义求出x的值，进而求出y的值，然后求出的值，再求平方根即可．解：根据题意得∵，，和互为相反数，∴，，∴∴∴．∴16的平方根是．【点拨】本题考查了算术平方根和平方根的意义，以及相反数的定义，由算术平方根的意义得出，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】A【分析】根据算术平方根、立方根的定义结合相反数的定义逐项判断即得答案.解：A、，2与互为相反数；B、，，所以；C、与互为倒数；D、；故选：A.【点拨】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握二者的概念、正确判断是关键.【变式2】（2023春·湖北孝感·七年级校考期中）（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；（2）若，则的值是；（3）的相反数是．【答案】或/或/【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；（3）根据相反数的定义，即可求解．解：（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；故答案为：．（2）∴，解得：或，故答案为：或．（3）的相反数是，故答案为：．【点拨】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点三】实数的大小比较与估算【例3】（2023秋·江西九江·八年级统考阶段练习）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则.例如：比较与1的大小由“作差法”得，∵，∴，∴，∴．请根据上述方法解答以下问题：（1）的整数部分是________，小数部分是________；（2）比较与的大小．【答案】（1）3，；（2）．【分析】（1）估算出范围，从而得到答案；（2）根据例题提供的作差法，即可得到答案．（1）解：∵，∴，∴的整数部分是3，小数部分是，故答案为：3，；（2）解：由“作差法”得，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，解题的关键是正确估算出和的范围．【举一反三】【变式1】（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知，，那么约等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据无理数的估算，求一个数的算术平方根的计算方法即可求解．解：∵，∴，故选：．【点拨】本题主要考查无理数的估算，掌握其估算方法解题的关键．【变式2】（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）比较大小：．（填“>”或“<”号）【答案】【分析】先估算，再进行比较即可．解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了实数比较大小，熟练掌握估算知识是解本题的关键．【考点四】无理数的整数部分与小数部分的运算【例4】（2022春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知的小数部分为，的小数部分为，求：（1）的值；（2）的值．【答案】（1）1；；（2）【分析】（1）先估算的大小，求得m、n的值，即代数式的值可求；（2）代入，，再利用同底数幂的乘法得到，把代入即可求解．（1）解：∵，∴，，∴，，∴，，∴；（2）解：∵，，，∴．【点拨】本题主要考查了估计无理数的大小，同底数幂的乘法，求得m、n的值是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·广东潮州·统考一模）如图，数轴上有三个点，点表示的数为2，点表示的数为，且，则点表示的数的整数部分为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用数轴上两点的距离求出，进而求得点C表示的数，再利用无理数的估算求解即可．解：由题意，得，∴点C表示的数为，∵，即，∴，∴点表示的数的整数部分为1，故选：A．【点拨】本题考查数轴上两点的距离、无理数的估算、不等式的性质，正确得到点C表示的数是解答的关键．【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知a，b是两个连续的正整数，，则的值为．【答案】7【分析】估算出，得到，即可得到答案．解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：7【点拨】此题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．【考点五】实数的混合运算【例5】（2022春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）计算：（1）； （2）．【答案】（1）9；（2）【分析】（1）先将乘方，立方根，算术平方根化简，再进行计算即可；（2）先将立方根，绝对值，算术平方根化简，再进行计算即可．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键熟练掌握算术平方根和立方根的化简方法，以及实数混合运算的运算顺序和运算法则．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中点得，然后从点向左平移即可；解：点A是的中点，，点C所表示的数为：．故选：C．【点拨】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键．【变式2】（2023秋·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）若，则．【答案】【分析】根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出的值．解：，，，，，．故答案为：【点拨】本题考查了对非负数的性质，立方根，二次根式的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算．【考点六】实数的混合运算的实际应用与规律题【例6】（2023·全国·八年级假期作业）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号）【答案】【分析】先在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，进而可知BC的长，再在Rt△BCD中，根据勾股定理求出BD的长即可.解：∵CD是中AB边上的高，∴△ACD和△BCD都是直角三角形.在Rt△ACD中∴，∵,∴，在Rt△BCD中，.【点拨】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能正确的计算是解题的关键.【举一反三】【变式1】（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校联考期中）如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（）1

第一排

第二排

1

第三排

1

1

第四排

…………第四列

第三列

第二列

第一列A． B． C． D．1【答案】B【分析】观察数列可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案．解：由题意可得：每三个数一循环，1、、，则前7排共有个数，在排列中是第个数，，表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是，前2014排共有个数，而，表示的数正好是第676369轮的第一个数，即表示的数是1，，与表示的两个数的积是，故选：B．【点拨】本