专题03二次函数y=ax2+c(a≠0)的图像和性质（3个知识点4种题型）（原卷版）

专题03二次函数y=ax2+c(a≠0)的图像和性质（3个知识点4种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象知识点2：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质（重难点）知识点3：二次函数与之间的关系；（上加下减）.【方法二】实例探索法题型1：求二次函数解析式题型2：二次函数平移题型3：二次函数的实际应用题型4：二次函数与一次函数的综合【方法三】仿真实战法【方法四】成果评定法【学习目标】1．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；2.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）知识点2：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，知识点3：二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．【方法二】实例探索法题型1：求二次函数解析式例1.求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．题型2：二次函数平移例2.在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．例3.(1)抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．(3)抛物线向平移个单位后，得到抛物线.题型3：二次函数的实际应用例4.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．题型4：二次函数与一次函数的综合例5.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．例6.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．【方法三】仿真实战法一、单选题1．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对2．（2019·山东·统考中考真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；③抛物线的对称轴是y轴；④抛物线的顶点坐标是（0，1）；⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．其中正确的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个D．2个二、填空题3．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）二次函数的最小值为________．【方法四】成功评定法一、单选题1．（2023•庐阳区一模）抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（）A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）2．（2023•定远县校级一模）如图，在同一平面直角坐标系中，y＝ax+c与y＝ax2+c的图象为（）A． B． C． D．3．（2021秋•包河区校级月考）抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，0）4．（2021春•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A． B． C． D．5．（2023•南海区模拟）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝1 D．直线6．（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）7．（2022秋•曲阜市期末）二次函数y＝x2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）二．填空题8．（2023•五河县一模）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③若M＝2，则x＝1；④使得M大于4的x值不存在．其中正确的说法有．（请填写正确说法的番号）9．（2023•金山区二模）抛物线在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．10．（2021春·江苏·九年级专题练习）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为__________．11．（2021春·江苏·九年级专题练习）将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________．12．（2023·江苏南通·九年级专题练习）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______．13．（2022·江苏·九年级专题练习）对于两个实数，规定表示a，b中的较小值，当时，，当时，，例如：．则函数的最大值是_______．三、解答题14．（2022秋•滁州期末）如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．15．（2022春·江苏·九年级专题练习）不画函数和的图象，回答下面的问题：(1)抛物线1经过怎样的平移才能得到抛物线？(2)函数，当x时，y随x的增大而减小；当x时，函数y有最大值，最大值y是；其图象与y轴的交点坐标是；与x轴的交点坐标是．(3)试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．16．（2021春·江苏·九年级专题练习）把的图象向上平移2个单位.（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；（2）画出平移后的函数图象；（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.17．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数．（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？18．（2022·江苏苏州·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）．(1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中，的“变换点”在函数的图象上；(2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标；(3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围．19．（2021春·江苏·九年级专题练习）二次函数的图象经过点A（1，-1），B（2，5），(1)求函数的