二次函数总动员（解析版）

二次函数考点总动员

【考纲要求】................................................................2

一、聚焦考点................................................................2

知识点1二次函数的定义.................................................2

知识点2二次函数图像的性质.............................................2

知识点3二次函数的平移.................................................3

知识点4求解析式方法...................................................3

知识点5二次函数的应用.................................................3

知识点6二次函数与一元二次方程的关系...................................3

二、名师点睛................................................................4

题型1二次函数图像及其性质.............................................4

一、顶点............................................................4

二、最值............................................................4

三、比较大小........................................................8

四、二次函数图像与抛物线系数关系...................................9

题型2二次函数的平移..................................................11

题型3求函数解析式....................................................12

一、已知解析式，求点坐标...........................................12

二、己知点，求解析式..............................................13

三、挖掘条件求解析式..............................................15

题型4二次函数的应用..................................................16

一、利润问题.......................................................16

二、面积问题.......................................................19

三、二次函数模型问题..............................................21

题型5二次函数与一元二次方程的根......................................23

一、已知根的条件，求系数值或取值范围..............................23

二、求根或近似根..................................................24

题型6综合应用........................................................25

三、能力提升...............................................................32

I

【考纲要求】

要求1.根据条件确定二次函数表达式一掌握

要求2.二次函数的图像及其性质一掌握

要求3.运用二次函数及其图像解决简单的实际问题一灵活运用

要求4.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解一掌握

聚焦考点

一、聚焦考点

知识点1二次函数的定义

二次函数的定义：一般地，形如_R%2+bx+c_（a,>c是常数，aWO）的函数,叫做二.次函数。

知识点2二次函数图像的性质

①图形形状：抛物线

②开口方向：a>0,开口向上；a<0,开口向下

③开口大小：⑶越大，开口越小

表达式(X-h)y=ax2+bx+c

y=y=a

b

④顶点(0,0)(h,k)(F)

⑤最值

‘当a>0时,开口向（向上，最（大.）值

（顶点纵坐标）、当aVQ时,开口向（向下3最（小）值

⑥对称轴

y轴(x=0)x=h

（x=顶点横坐标）h=

⑦增减性：根据图像性质和判断，具体步骤为：

（1）根据a判断开口方向；

（2）根据顶点横坐标求出对称轴，判断增减性的分界点;

（3）画图判断增减性

2

i.a>0,x=nii.a<0,x=n

x<n,y随x的增大而《减小

x>ny随x的增大而（增大)

即：i.a>0,对称轴为x=n,则r

x<n,y随x的漕大而《增大)

.x>n,y随x的增大而《减小)

ii.a<0,对称轴为*』，则

⑧对称性点性质：°】与（

*2'丫2）是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对

x

i+X2=(2n)

-yi=(yz>

称。则

⑨与y轴交点为：（0,c）

知识点3二次函数的平移

“左加右减，上加下减”,左右平移是针对：上，上下平移是针对：上

知识点4求解析式方法

①已知三点坐标，求解析式用一般式，即设二次函数为：_曰^+bx+c_

/、2

（x—h）+k

②已知顶点（h,k）,求解析式用顶点式，即设二次函数为：y=a------------_

③已知抛物线与x轴的两个交点为A（々'°）,B（*2,°）,则此抛物线可表示为：Y=a（x-2）

（x—%,其中a为不为。的常数。

知识点5二次函数的应用

①销售利润问题，利润=单件利润X件数

3

②面积问题，长方形面积=长X宽

③二次函数模型的建立，通常将纵坐标建立在函数的对称轴处。

知识点6二次函数与一元二次方程的关系

二次函对=ax?+bx+c与一元二次方程/+bx+c=。关系：

①二次函数与上交点的横坐标为一元二次方程的解

②当△>()时，函数与x轴有个交点，即一元二次方程有2解；

当△=()时，函数与x轴有」_交点，即一元二次方程有」—解；

△<0时，函数与x轴有交点，即一元二次方程「解。

4

二、名师点睛

题型1二次函数图像及其性质

一、顶点

（X—h）+k,

求顶点方法：此类题型，湖北中考惯常考顶点式。顶点式y=a的顶点坐标为（h,k）。在顶

点式中，h前面的符号是这点考生需要额外关注。

・2

-G+3）+5,

【例1】.（2017湖北武汉元调）抛物线y=2的顶点坐标是（）

A.（3,5）B.（-3,5）C.（3,-5）D.（一3,—5）

【答案】B

【解析】顶点坐标为（h,k）

.2

G+3J+

在二次函数y=25中，h前面的符号为“+”，因此h=-3。在函数中，k=5

顶点坐标为（一3,5）

【举一反三】

.2

,（x-1）+3

1.（2019浙江衢州）二次函数丫=的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（1,-3）C.（-1,3）D.（-1,-3）

【答案】A

【解析】顶点坐标为（h,k）

在二次函数y=J'+,h前面的符号为因此h=l。在函数中，k=3

顶点坐标为（1,3）

二、最值

5

求最值方法：最值即最大值或最小值。在二次函数中，最值会出现在3处位置，下面以y=ax?+bx+cc

<0),取值范围为mVx<n,求函数最大值为例分析，则a>0时，最小值有相同的分析方法。

bb4ac-b)

(1)当对称轴x=一三在取值范围内，即mV一三<n时，如下图所示，则最大值为顶点纵坐标，y=F-

一之一之<'Tn

(2)当对称轴*=3a在取值范围左侧，即33,如下图所示，则顶点处的最大值不在函数取值范围

内。根据图像，在m<x<n的范围内，函数值随x的增大而增大，则最大值为当*=01时-。

-^->n

(3)当对称轴x=*在取值范围右侧，即上,如下图所示，则顶点处的最大值不在函数取值范围

内。根据图像，，在mVx<n的范围内，函数值随x的增大而减小，则最大值为当x=n时。

6

在求最值问题时，题干若未明确给出对称轴与取值范围的关系，我们需要分上述3中情况进行分析讨论。

若题干已明确对称轴与取值范围关系，则根据关系，可明确为上述3中情况中的一种，直接可求解出最值。

技巧：在选填题中，有时未避免分析麻烦，我们知道，最值必定在上述3处中得出，我们可以直接求出上

述3处的值，然后比较这3个值的大小，从而得出最值。

（x-h）

【例2】（2017湖北武汉四调）已知关于x的二次函数y=+3,当1WXW3时;函数有最小值

2h,则h的值为（）

3333

A.2B.2或2C.2或6D.2、2或6

【答案】C

【解析】函数的对称轴为h,此题不确定h是否在取值范围内，因此要分3类进行讨论。

情况一：当h在取值范围内，即l〈hW3时，函数的最小值为顶纵坐标，为：3.

3

则3=2h,解得:h=2

3

因为h=2满足i<h<3

3

所以h=2成立

7

情况二：当h在取值范围左侧时，即h<l,函数最小值为当x=l时

<1-h)

当x=l时，最小值y=+3

.2

<1-h)

则y=+3=2h

一元二次方程解得：h=2

因为h=2不满足h<l

所以h=2不成立，舍去

情况三：当h在取值范围右侧时，即h>3时，函数最小值为当x=3时

2

,L，土(3-h)

当x=3时，最小值y=+3

2

(3-h)

则y=+3=2h

一元二次方程解得：八12,"邑6

"工2不满足h>3,舍去；”乙6满足h>3,成立

3

综上得：当h=2或h=6时，条件成立

所以答案为：C

【举一反三】

G-3J2

1.(2018湖北武汉元调)二次函数y=2-6()

A.最小值为一6B.最大值为一6C.最小值为3D.最大值为3

【答案】A

【分析】二次函数a>0,开口向上，则有最小值

题干中未限定取值范围，则最小值为顶点纵坐标，为一6

所以答案为A

8

Y2

2.（2018湖北武汉元调）二次函数y=--2x+c在-3WxW2的范围内有最小值一5,则c的值是（）

A.-6B.-2C.2D.3

【答案】D

—=1

【分析】对称轴X=2M-D,对称轴在取值范围内。

但因为二次函数a<0,则开口向下，顶点为最大值，不满足题意。

则最值在x=-3或x=2处取得（具体分析思路在比较大小题型中列举），此处，我们按照小技巧的方式，

分别求出x=-3和x=2处的值，比较二者的大小，从而得出最小值。

当x=-3时，y=——2X（—3）+c=­3+c

22

当x=2时，y=——2X2+c=—8+c

因为-3+c>—8+c

所以最小值为当x=2时，y=-8+c

贝ij-8+c=-5

解得：c=3

3.（2018湖北武汉四调）已知二次函数y="2—2hx+h,当自变量x的取值在一IWxWl的范围中时，

函数有最小值n.则n的最大值是.

1

【答案】*

_-2h

【分析】对称轴x=双Lh

情况一：当一iWhWl时，对称轴在取值范围内，则最小值为顶点纵坐标

2

Aac-b4xlxh-"J,L

-----=--------------胪+/I=71

即丫=4a4X1二

_M+力---__=2

二次函数开口向下，最大值为顶点纵坐标，即当h=2X（“）2时

9

而h=2在取值范围一iWhWl内，求得当h,时，=4

1

所以当一IWhWl时，n的最大值为4

情况二：当hV—l时，对称轴在取值范围左侧，则函数最小值为当x=-l时

2

当x=-1时，y=—2hX(—1)+h=3h+l=n

3h+l为一次函数，最大值为当h=-1时，求得最大值n=-2

情况三：当x>l时，对称轴在取值范围右侧，则函数最小值为当x=l口寸

当x=l时，y=—2hX1+h=—h+l=n

一h+1为一次函数，最大值为当h=l时，求得最大值片0

1

综合上述3中情况，则n能够取到的最大值为n=4

三、比较大小

比较大小方法：在二次函数中，函数值随x的变化与开口方向和对称轴位置有关系，下面以丫=+bx+c

%2

(a<0),比较AJi,%)，B(,%),c(X,>'3)三点中y值的大小为例。则a>0时,大小比较

有相同的分析方法。

解题步骤：

(1)判断抛物线开口方向：因为a<0,则抛物线开口向下

(2)求对称轴位置：对称轴x=加，则函数草图如下：

10

(3)求A、B

山=Ib

一五

A与对称轴的距离1

d=

B与对称轴的距离"2120

d3=|-^--x3|

C与对称轴的距离I20

(4)比较三个距离的大小：假设di>d2>d3

(5)判断y值的大小：如草图，函数开口向下，则对称轴处取得最大值，离对称轴距离越远，则y值越小。

因为di>d2>d3,所以以〈丫2〈%

【例3】.(2017湖北武汉元调)在抛物线丫=2厂-加、上有A(—0.5,yi),B(2,y2),C(3,V3)

三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴，则门，,2和>’3的大小关系为()

Ay3守1<丫2B73<ya<yiA/2<yiA%<yz<y3

【答案】A

【分析】因为抛物线与y轴的交点在正半轴上

所以c=—3a>0,即aVO,开口向下

-2a

2o"[

对称轴x=

11

A与对称轴距离山=I1-I=L5

B与对称轴距离心=口-2|=1

C与对称轴距离色=I1-31=2

所以d2<di<d3

因为开口向下，则在对称轴处有最大值，离对称轴越远，则取值y越小

所以丫3〈力92

【举一反三】

6+2,2+3

1.已知A（-Lyi）,B（2,X2）是抛物线y=-X+2J+3上的点，贝/】、丫2之间的大小关系为：_

【答案】以"

【分析】抛物线开口向下

对称轴x=—2

A与对称轴距离山=1一2-1=1

B与对称轴距离心=卜2-2|=4

所以d2Adi

因为开口向下，所以在对称轴处取得最大值，则离对称轴越远，取值y越小

所以以"

四、二次函数图像与抛物线系数关系

二次函数图像与抛物线系数关系解题方法：涉及二次函数的图像问题，要抓住几个关键点：（1）开口方向;

（2）顶点坐标；（3）对称轴；（4）与y轴交点；（5）与x轴交点。具体要考虑哪些量，需要视题目而定。

、__b4ac-b"__b4ac-bz

2

在二次函数一般式y=ax+bx+c中，顶点坐标为（2a,F-）,对称轴为x=2*最（大或小）值为y=F",

与y轴的交点坐标为（0,c）。

12

【例4】(2019湖北鄂州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=l.下列结论：①abc

<0②3a+c>0③(a+c)2-b2<0④a+bSm(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】二次函数图像张口向上，故a>0

对称轴x=o,故b<0

-2a

图像与y轴的交点在x轴下方，则c<0.

，abc>0;

由图像可知x=-l时，y>0,即a-b+c>0

当x=l时,y〈0,即a+b+c<0,贝ij(a-b+c)(a+b+c)=(a+c)2-b2<0;

x=。

-2a=1=b=-2

Va-b+c>0,得3a+c>0;

当x=l时,y最小=a+b+c,又当x=m时,y=am2

+bm+c,・,・a+b+c<am2+bm+c,得a+b<m(am+b)

故正确的个数有三个。

答案为C

【举一反三】

1.(2018湖北荆州)二次函数y=ax?+bx+c(a^O)的大致图象如图所示，顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:

①4a+2b+c>0；②5a-b+c=0；③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和X2，且x】Vx2，则-5Vx〔V

x2<l;④若方程lax,bx+ckl有四个根，则这四个根的和为-4.其中正确的结论有()

13

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】•••抛物线的开口向上

，a>0,

♦.,抛物线的顶点坐标(-2,-9a),

b

%=-2,4a=-9a,

4a

b=4a,c=-5a,

二抛物线的解析式为y=ax?+4ax-5a,

/.4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正确，

5a-b+c=5a-4a-5a=-4a<0,故②错误,

:抛物线丫=2*?+42*-5a交x轴于(-5,0),(1,0),

...若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根X|和X2，且X|<X2,则-5<X]Vx2V1,正确，故③正确,

若方程|ax2+bx+c|=l有四个根，则这四个根的和为-8,故④错误，

故答案为：B.

题型2二次函数的平移

二次函数的平移解题方法：二次函数的平移，关键记住八个字：左加右减，上加下减。但需要注意，左右

移动，是针对x而言，函数中所有的x都要相应变化；上下平移针对-y而言，仅需对应加减函数即可。

G-2J2

[例5](2017湖北武汉元调)抛物线y=一向右平移2个单位得到抛物线的解析式为()

222

dG-41G-2J+2G-2J-2

A.y=—B.y=一C.y=—D.y=—

【答案】B

14

【分析】向右平移2个单位，则针对x减2

2

(x-2-2)_(x-4?

即y=一

【举一反三】

1.（2018湖北武汉元调）把抛物线y=2片先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的

解析式是.

(x+2J2-1

【答案】y=2

【分析】先将函数向下平移1个单位，即针对y减1

2

得：y=2尸X-1

再向左平移2个单位，即再针对x加2

,2

G+21-1

得：y=2

2.（2019湖北武汉元调）若将抛物线y=片先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到

抛物线（）

22

+2-2

A.y=B.y=

22

G+l）+2（x+lJ-2

C.y=D.y=

【答案】A

【分析】将抛物线向右平移1个单位，即针对x减1

,2

得：y=

再向上平移2个单位，即针对y加2

,2

+2

得：y=

15

(X-1J好

3.(2019湖北武汉真题)(12分)已知抛物线Cl：y=-4和C2：y=

(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?

【答案】先将C1向左平移1个单位，再将函数向上平移4个单位。

【分析】要想将C1变为C2形式，则x处需要变化，后面的“一4”也需去掉

首先先变x,需要加1,则将函数向左平移1个单位

然后需要针对y加4,即将函数向上平移4个单位

题型3求函数解析式

一、已知解析式，求点坐标

已知解析式，求点坐标方法：该类题型，题干会告知函数的解析式，我们需要根据题干内容求出相应点的

坐标。最常见的题型是求函数与x轴的交点，则与x轴的交点即为当y=0时，x的值，转化为求一元二次方

程。再则，求与y轴的交点，则该点的横坐标为0,代入即可求解出对应纵坐标。或根据函数图像特点，与

y轴的交点坐标为(0,c)

^x2+mx-2m-2

【例6】.(2017湖北武汉元调)(12分)已知抛物线y=2(m20)与x轴交于A,B两

点，点A在点B的左边，与y轴交于点C.

(1)当m=l时，求点A和点B的坐标；

【答案】A(-4,0),B(2,0)

二%2+x-4

【分析】当m=l时，抛物线为y=2

^-x2+x-4=0

求与X轴的交点，则交点纵坐标为0,即求2

根据一元二次方程的十字相乘法，化简为：(X-2)(x+4)=0

解得：4=4力=-4

因为点A在点B的左边

所以A(-4,0),B(2,0)

16

【举一反三】

1.(2017湖北武汉四调)(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=2经过点A("1,八)、［冷，^),其

中修、必是方程片-2*—8的两根，且过点A的直线1与抛物线只有一个公共点

(1)求A、C两点的坐标

【答案】A(-2,2),B(4,8)

【分析】因为孙、必是方程好—zx—8的两根

必

先求解一2x-8=0

化简得：(x+2)(x-4)=0

解得：勾=-2,电=4

1-2

Y_力=不”《—2》=2

将与一,代入函数，求得2

所以A(-2,2)

Y_4丫2=。*42=

将2T代入函数，求得：28

所以B(4,8)

2.(2019湖北武汉元调)(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y='~+(l-m)x-m交x轴于A,

B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C

(1)当m=3时，直接写出A,B,C三点的坐标

【答案】A(-1,0),B(3,0)、C(0,-3)

【分析】当m=3时，抛物线为：

A,B两点为抛物线与x轴的交点，则纵坐标为0

即：—2x-3=0

化简得：(X—3)(x+1)=0

解得：*1=3,*2=-1

17

因为点A在点B的左边

所以A(一1,0)、B(3,0)

点C的坐标为与y轴的交点，即(0,-3)

二、已知点，求解析式

已知点，求解析式方法：即待定系数法，常见方法有3中：

2

(x—h)+k

方法一：若告知顶点坐标，则用顶点式求解：y=a,仅再需要根据题干列写一个方程，求

解出a即可。

方法二：若告知与x轴的交点A(M'°),B(孙‘0),则用交点式：y=a(x—M)(x—42),仅再需要

根据题干列写一个方程，求解出a即可。

方法三：若题干为告知特殊点坐标，则用一般式：y=ax?+bx+c,根据题干条件，列写3个方程，

求解三元一次方程组得出函数解析式。

【例7】(2017湖北武汉真题)(12分)已知点A(-1,1)、B(4,6)在抛物线y=a'°”上。

(1)求抛物线的解析式。

【答案】y=2.2

【分析】题干中函数为一般式，且仅有2个未知数a,b

所以仅需要2个点，列写2个方程即可。

将A(—1,1)、B(4,6)代入抛物线，可得方程

2

l=a*(~1}+bx(­X)

6=ax4^+bx4

fa=i

2

b=-：

解得：2

所以函数为：

18

【举一反三】

第2_

1.(2018湖北武汉元调)(12分)已知抛物线y=a+2x+c与x轴交于A(—1,0)、B(3,0)两点，一

次函数y=kx+b的图象1经过抛物线上的点C(m,n)

⑴求抛物线的解析式

-X2+2X-3

【答案】y=

【分析】题干中函数为一般式，且仅有2个未知数a,c

所以仅需要2个点，列写2个方程即可。

将A(—1,0)、B(3,0)代入抛物线，可得方程

2

O=ax(-1)+2x(-l)+c

0=ax32+2X3+c

［Q=-1

解得Jc=-3

-x2+2x-3

所以函数为：y='

2.(2018湖北武汉四调)(12分)已知抛物线丫=°炉+8"+3行与乂轴交于点人(1,o),B(3,0)两点，

与y轴交于点C.P为抛物线的对称轴上的动点，且在x轴的上方，直线AP与抛物线交于另一点D.

(1)求抛物线的解析式；

［答案］y=V3x2-4V3X+3V3

【分析】题干中函数为一般式，且仅有2个未知数a,b

所以仅需要2个点，列写2个方程即可。

将A(—1,0)、B(3,0)代入抛物线，可得方程

2

0=ax(-l)+hx(-l)+3V3

0=ax32+bX3+3V3

(a=V3

解得：2=3v,3

19

所以函数为：y=、*_4信+3H

3.(2019湖北武汉四调)(12分)如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),

与y轴交于点C(0,3),与直线1：y=k(x-3)+3(k>0)交于D,E两点.

(1)求抛物线的解析式；

-x2+2x+3

【答案】y=

【分析】已知3点，用一般式求解

y=ax2+bx+c

设函数为y-

将点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入得方程：

2

0=aX(-1)+bX(-1)+c

0=aX32+bX34-c

3=aX()2+bX0+c

a=-1

b=2

解得：'c=3

-x2+2r+3

所以函数为：y=

三、挖掘条件求解析式

需挖掘条件求解析式方法：该类题型，往往有一个条件比较隐晦，难以直接列写方程，利用待定系数法求

解函数。此时，我们需要根据函数的性质，挖掘分析这个条件，将这个条件转化为方程，最终求解出函数。

【例8】(2018湖北武汉真题)(12分)抛物线L：y=一必+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线

x=l交于点B

(1)直接写出抛物线L的解析式

-x2+2x+1

【答案】y=

【分析】此题仅知道一点坐标，而函数有2个未知数

所以还需要挖掘一个条件，并列写一个方程

20

因为函数的对称轴为X=l

m.li-2XC-1J

则X=l=

解得：b=2

再将点A(01)代入方程得：l=c

-x2+2x+1

所以函数为：y=

【举一反三】

,2

(%+2J-1

1.已知抛物线y=a交x轴于A、B两点(A点在B点的左边)，且AB=2,求解析式。

.2

(x+2)-1

【答案】y=

【分析】函数有一个未知数a,但未直接告知点的坐标，仅告知AB=2

所以需要根据这个条件挖掘出一个条件，并列写出一个方程

-2

函数的对称轴x=

因为A、B两点交于x轴

2

则A、B两点关于对称轴对称，且两点到对称轴的距离都是：2

所以A(-3,0),B(-1,0)

,2

--3+2)-1

将点A的坐标代入函数得：0=a

解得：a=l

(x+2J2-1

所以函数为：y=

题型4二次函数的应用

一、利润问题

21

利润问题解题方法：利润问题，关键抓住公式：利润=单件利润x售出件数，此类题型，有2种考法：

类型一：给出销售件数的儿组数据，先求解出销售件数的函数，再乘单件利润即总利润。

类型二：告知初始售出件数，当降价时，在销售件数对应增加，则销售件数=（初始件数+增加件数）

在求解最大利润时，需要注意，在实际问题中，函数是有取值范围的。求最大值，按照题型1中最值求

法进行求解。

[例9]（2017湖北武汉元调）（10分）某公式产销一种商品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制

在100以内，产销成本C是商品件数x的二次函数，调查数据如下表:

产销商品件数（X/件）102030

产销成本（C/元）120180260

一x

商品的销售价格（单位：元）为P=35—i°。（每个周期的产销利润=Px-C）

（1）直接写出产销成本C与商品件数x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）

（2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到220元？

（3）求该公司每个周期的产销利润的最大值。

-x2+3r+80

【答案】（1）C=10

（2）10件

（3）当x=90时有最大利润，为1180元

【分析】（1）因为C是x的二次函数,读表得:A（10,120）,B（20,180）,C（30,260）

设函数为：C=ax?+bx+c,利用待定系数法，将3点代入得:

120=aX102+bX10+c

180=aX202+bX20+c

260=aX302+bX30+c

a=­

io

b=3

解得：（c=80

^-x2+3x+80

所以函数为：

22

（2）因为产销商品控制在100以内

所以OVxWlOO

^-x^-x2+3x+80

设利润w为：W=（35-）X-（）

-J-x2+32x-80

化解得：W=5

利润为220

-1x2+32%-80=220

则5

解得：叼=叫"2=

因为OVxWlOO

所以4=1°满足，"2="（J需要舍去

所以当周销售10件时，利润为220元

-J-x2+32%-80

（3）W=5

a<0,开口向下，顶点处为最大值

32

顶点横坐标为x=2X^=9。

x=90在取值范围内，即最大值就是函数在顶点处的值

-1X902+32X90-80

y=5=1180

所以当周销售量为90件时，利润有最大值，为1180元。

【举一反三】

1.（2019湖北武汉元调）（10分）某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销

量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=25时，y=550；当x=30时，y

=500.物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件。

（1）求出y与x的函数关系式

23

(2)问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

(3)直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润

【答案】(1)y=-10x+800

(2)当售价为40元时，利润为8000元

(3)当售价为48元时，有最大利润，为8960元

【分析】(1)销量和售价为一次函数，利用待定系数法

设一次函数为y=kx+b,则

(SS0=2Sk+b

1500=30k+b

解得:k=-10,b=800

一次函数为：y=­10x+800

(2)设利润为W,则盯=(-lOx+800)(x-20)

-lo^+iooox-ieoo

化简得：w=

-lOx2+1000x-1600=8000

令

解得产=叫沏=60

因为该商品的销售单价不能超过48元/件，所以20<xW48

*1=4。符合条件，*2=60不符合条件，舍去

所以当售价为40元时，利润为8000元

-lo^+iooox-ieoo

(3)W=

二次函数开口向下，最大值为顶点处

1000

顶点横坐标x=7"=50

发现顶点在取值范围右侧，则根据函数图像性质，最大值为当x=48时

_10X4呼+1000X48-1600

当x=48时，y==8960

所以当售价为48元时，有最大值，为8960元

24

2.（2019湖北武汉真题）（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）

是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：

售价X（元/件）506080

周销售量y（件）1008040

周销售利润W（元）100016001600

注：周销售利润=周销售量X（售价一进价）

（1）①求y关于X的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元

（2）由于某种原因，该商品进价提高m元/件（m>0）,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店

在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是140（）元，求m的值

【答案】（1）@y=-2x+200

②进价为：40售价是：70最大利润是：1800

（2）m=5

【分析】（1）y是x的一次函数，利用待定系数法求解

设y=kx+b,则

（100=50k+ft

180=60k

（k=-2

解得：5=200

所以y=-2x+200

设利润为W,则亚=（-2x+200）（x-40）

-2X2+280X-8000

化简得：W=

售价必须高于进价，即x>40

售