闭区间上连续函数的性质(详细版)

第十节一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质第一章1编辑课件学习指导１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。２．根本练习：了解并通过一定的练习学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。3．本卷须知：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．2编辑课件如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b]上连续的。3编辑课件

并非任何函数都有最大值和最小值

例如，函数f(x)=x在开区间(a

b)内既无最大值又无最小值

应注意的问题:一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))那么称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)4编辑课件例如,5编辑课件说明:定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一点x2

[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一点x1

[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理说明

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

那么6编辑课件应注意的问题:

如果函数仅在开区间内连续

或函数在闭区间上有间断点

那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例如

函数f(x)=x在开区间(a

b)内既无最大值又无最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

7编辑课件又如如下函数在闭区间[0

2]内既无最大值又无最小值

应注意的问题:

如果函数仅在开区间内连续

或函数在闭区间上有间断点

那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

8编辑课件定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

证明设函数f(x)在闭区间[ab]上连续根据定理1存在f(x)在区间[ab]上的最大值M和最小值m使任一x[ab]满足mf(x)M上式说明f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

9编辑课件有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意:1.假设区间是开区间,定理不一定成立;2.假设区间内有间断点,定理不一定成立.10编辑课件二、零点定理与介值定理注:如果x0使f(x0)=0那么x0称为函数f(x)的零点定理3(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)与f(b)异号

即f(a).f(b)<0，那么在开区间(a

b)内至少存在一点x

使f(x)=0

11编辑课件例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x3-4x2+1那么f(x)在闭区间[01]上连续并且f(0)=1>0f(1)=-2<0根据零点定理在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)与f(b)异号

即f(a).f(b)<0,那么在开区间(a

b)内至少存在一点x

使f(x)=0

12编辑课件定理4(介值定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)

f(b)

那么

对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C

在开区间(a

b)内至少有一点x

使得f(x)=C

二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)与f(b)异号

即f(a).f(b)<0,那么在开区间(a

b)内至少存在一点x

使f(x)=0

13编辑课件二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)与f(b)异号

那么在开区间(a

b)内至少一点x

使f(x)=0

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

定理4(介值定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)

f(b)

那么

对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C

在开区间(a

b)内至少有一点x

使得f(x)=C

14编辑课件证MBCAm15编辑课件由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.几何解释:16编辑课件例2证由零点定理,17编辑课件三、一致连续性定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续.不管在区间I的任何局部，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值到达所指定的接近程度。定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1,x2，当|x1-x2|<δ时，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。18编辑课件思考题下述命题是否正确？19编辑课件思考题解答不正确.例函数20编辑课件五、小结关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理：有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，注意条件：1．闭区间；2．连续函数．这两点不全满足时上述定理不一定成立．它们是研究连续函数性质的重要工具。21编辑课件内容小结在上到达最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有