天津市第三中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

天津市第三中学2023~2024学年度第一学期高二年级期中检测试卷（2023.11）数学第I卷选择题一、选择题（共9题，每题4分，共36分）1.设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（）A.26 B.36 C.50 D.52【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知三角形的周长为，再由椭圆的方程可得.【详解】由得，，所以，，三角形的周长为，故选：B2.抛物线x2=－4y的准线方程为（）A.x＝1 B.x＝2 C.y＝1 D.y＝2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的方程即可求出准线方程.【详解】，，抛物线的准线方程为.故选：C.3.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为．A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：双曲线方程变形为焦点为考点：双曲线方程及性质4.设O为坐标原点，直线与抛物线C:交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出两点坐标，根据垂直得到方程，求出，得到答案.【详解】令中得，解得，不妨设，因为OD⊥OE，所以，解得，故C标准方程为.故选：B5.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的焦点和顶点，即可由此求出椭圆方程.【详解】双曲线焦点为，顶点为，设所求椭圆方程为，则由题可得，则，故所求椭圆方程为.故选：A.6.设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】B【解析】【分析】根据圆的方程，分别找出圆心，的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M的轨迹属性，根据已知条件即可求出轨迹方程.【详解】解:由圆:，圆心，，圆:，圆心，半径，设动圆圆心，半径为，根据题意可得整理得，所以圆心的轨迹是以，为焦点，，的椭圆，，动圆圆心的的轨迹方程，所以轨迹为椭圆.故选：B7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.是椭圆两个焦点，为椭圆上一点，且，则三角形的面积为（）A.7 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义结合余弦定理求得，再由三角形面积公式求解即可.【详解】由已知，，设，则，由余弦定理得，解得，则三角形的面积.故选：C．9.设双曲线=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【详解】双曲线＝1的一条渐近线设为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e＝＝＝＝.第II卷非选择题二、填空题（共6题，每题4分，共24分）10.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．【答案】4【解析】【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，所以，解得.故答案为：4.11.抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______．【答案】7【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设，抛物线的焦点为，则由抛物线的定义可得，所以，故点到轴的距离为7，故答案为：7.12.双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点坐标是，则该双曲线的标准方程是__________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.【详解】由于双曲线的一个焦点坐标是，所以且双曲线的焦点在轴，设双曲线的标准方程为，依题意，解得，所以双曲线的标准方程为.故答案为：13.抛物线关于直线对称之后的抛物线焦点坐标是___________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标为，然后求对称点即可.【详解】抛物线关于直线对称则两抛物线的焦点也关于直线对称，抛物线的焦点坐标为，设对称后的抛物线的焦点坐标为，则，解得，所以抛物线关于直线对称后的抛物线焦点坐标为.故答案为：.14.如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是边长为2的正三角形，则的值是________．【答案】【解析】【分析】根据是边长为2的正三角形可得，同时可得到点P的坐标，将点P的坐标代入椭圆方程，再结合就是可以求出的值.【详解】因为是边长为2的正三角形可得，同时可得到点P的坐标为，因为点P在椭圆上，所以，又因为，即，所以由方程组，解得.故答案为：15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..考点：双曲线与抛物线的几何性质.三、解答题（共4题，每题10分，共40分）16.已知两圆和.（1）分析两圆位置关系并确定公切线数量；（2）求公切线所在直线方程.【答案】（1）两圆内切，只有一条公切线（2）【解析】【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数（2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线【小问1详解】，圆心，半径；，圆心，半径，，所以两圆内切，只有一条公切线.【小问2详解】与，两圆方程相减得：，化简即为：，所以两圆公切线直线方程：.17.已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段的长．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据题意及椭圆方程的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【小问1详解】由已知可得且，解得，则，所以椭圆方程：.【小问2详解】由已知可得直线斜率，方程为，联立得，设，，则，，则，所以线段的长为.18.已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为．（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据椭圆方程求出椭圆的离心率，再根据椭圆和双曲线离心率之和为求出双曲线的离心率，依据椭圆和双曲线有公共焦点，以及双曲线基本量的关系就可以得到双曲的方程.（2）先考虑直线l斜率不存在时，点不为的中点，所以设直线l的方程为，将直线和双曲线联立得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系结合的中点为列方程，解方程得到k的值就可以得到直线l的方程.【小问1详解】设椭圆和双曲线的离心率分别是和，椭圆的方程为，双曲线方程为；椭圆中，即，，，由已知，所以；又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以；因此，双曲线中，所以即，又，故双曲线方程为.【小问2详解】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，根据椭圆的对称性可知此时的中点为而不是点，故直线l的斜率一定存在；因此，设直线l的方程为即，，，将直线和双曲线的方程联立，整理得，得，又因为为中点，所以，即，所以，解得，将代入方程即，此时判别式，方程有两个实数根，所以直线l的方程为，即.19.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ），或.【解析】【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.试题解析：（Ⅰ）解：设坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.