高考数学考点33 空间向量与立体几何

考点33空间向量与立体几何

1.空间向量及其运算

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

2.空间向量的应用

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.

（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立

体几何问题中的应用.

一、空间直角坐标系及有关概念

1.空间直角坐标系

坐标原点点。

以空间一点。为原点，具有相同的单位长度，给定正方

坐标轴x轴、y轴、Z轴

定义向，建立两两垂直的数轴：X轴、y轴、Z轴，建立了一

个空间直角坐标系。-qZ通过每两个坐标轴

坐标平面

的平面

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向），轴的正方向，如果中指指向z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.

2.空间一点M的坐标

（1）空间一点例的坐标可以用有序实数组（x,y,z）来表示，记作M（x,y,z）,其中x叫做点M的横坐

标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组（x,y,z）可建立一一对应的关系.

3.空间两点间的距离公式、中点公式

（1）距离公式

①设点A（X］，X，Z|）,8（々,%，22）为空间两点，

则A,B两点间的距离|AB1=依-"+⑶-%）2+（Z「Z2）2.

②设点P（x,y,z）,

则点P（X,y,Z）与坐标原点。之间的距离为I。尸|=G+y2+z2

（2）中点公式

工

2

设点P（x,y,z）为4（X］，x，Z1）,.（孙，2,22）的中点，则.y=y+%.

2

4.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

单位向量长度（或模）为1的向量

零向量长度（或模）为0的向量

相等向量方向相同且模相等的向量

二、空间向量的有关定理及运算

1.共线向量定理

对空间任意两个向量”，仇厚0）,。〃6的充要条件是存在实数人使得”=助.

牢记两个推论：

（1）对空间任意一点。，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t,使OP=（1-f）OA+rOB或

OP=xOA+yOB（其中x+y=l）.

（2）如果/为经过已知点4且平行于已知非零向量a的直线，那么对空间任意一点。，点尸在直线/上

的充要条件是存在实数r,使OP=QA+s，其中向量。叫做直线/的方向向量，该式称为直线方程的

向量表示式.

2.共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a,6共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使

p-xa+yb.

牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使=+或

对空间任意一点0,有0P=0A+xA8+yAC.

3.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

注意：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成基底.

(2)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

(3)0不能作为基向量.

4.空间向量的运算

(1)空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.

夹角土“5-*，1乙AOB称为向植a与

八"》1/，b的夹角.记作,〈，•/>〉

U

理+10W如“〉W7T特第胧如“〉=费0。"

fllllil——------------------=--------

处良小b1a||bW'Q")

①结合律八mb

•至mit=a•(-b)=入(a•b)

•②交换律:a-b=b-a

3；分配律:a•(b+c)

=a•b+a•c

(2)空间向量的坐标运算

设a=(4，。2，。3)，办=(4，4/3)，则a±〃=(q±4，g土〃2,%±4)，

Aa=(%q,Aa2,Aa3)(AeR),ab=%1入+a2b2+a3b3,

ab<=>b=Aa<=>b1-Aa^b2-Aa2,h3-Aa3(2GR),

a-Lba-b=a]h]+a2h2+a3b3=0,

同=4c^=4a；+a；+a；,

rns/„M=-=她+%>+%」

<'?|刑&:+a；+d荷+片+不

三、利用空间向量解决立体几何问题

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作/,显然一条直线的方向向量可以有

无数个.

(2)若直线/_La,则该直线/的方向向量即为该平面的法向量,平面的法向量记作,，有无数多个，任

意两个都是共线向量.

平面法向量的求法：设平面的法向量为■=(%,',z).在平面内找出(或求出)两个不共线的向量

■a=0

。=(%，4，4),分=(4，/也)，根据定义建立方程组，得到—通过赋值，取其中一组解，得

到平面的法向量.

2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直

设直线的方向向量分别为1,，〃，平面a,£的法向量分别为■.

(1)线线平行：若/〃加，则/mI=eR)；

线面平行：若"/a,贝I"_L・H^=0；

面面平行：若a〃夕，则

(2)线线垂直：若1-Lm,则，_L=/-“z=0；

线面垂直：若/la,则/

面面垂直：若a_L£,则=

3.利用空间向量求空间角

设直线/,加的方向向量分别为1,/〃，平面a,£的法向量分别为〃1,%.

(1)直线］,团所成的角为。，则04。(四，计算方法：cos6»=t^);

2I帆

兀IZ-w,I

(2)直线/与平面a所成的角为8,则—,计算方法：sine=M;；

214间

(3)平面a,万所成的二面角为8,则0＜。＜兀，

如图①，AB,CD是二面角a―/一4的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=〈A3,C。).

如图②③，外,%分别是二面角a-1-fi的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小。满足|cosd|=

，二面角的平面角大小是向量用与«2的夹角(或其补角).

阿㈣

4.利用空间向量求距离

（1）两点间的距离

设点A（X|，X，Z|）,8（*2,%，Z2）为空间两点，

则A,B两点间的距离|AB1=1AB1=｛（内一々）2+（四一%）2+（4—22）2.

（2）点到平面的距离

如图所示，已知A8为平面a的一条斜线段,"为平面a的法向量，则8到平面a的距离为|B。|='''

|〃|

考向一空间直角坐标系

对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组（即坐标）表示出来，通过坐标

的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题（形）与代数问题（数）的结合.

典例1如图，以长方体ABC。-AgG"的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建

立空间直角坐标系，若。片的坐标为（4,3,2）,则的坐标为.

【答案】（-4,3,2）

【解析】如图所示，以长方体A5CD-4与G。的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在直线为坐标轴,

建立空间直角坐标系，因为空用的坐标为（4,3,2）,所以4（4,0,0）,G（0,3,2）,所以4G=（—4,3,2）.

1.如图所示，在长方体ABC。-4B1CQ中，\AB\=\AD\=3,|44i|=2,点M在4G上，\MCi\=2\AiM\,

N在。C上且为。iC中点，求M、N两点间的距离.

考向二共线、共面向量定理的应用

1.判断两非零向量区。平行，就是判断。=2。是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.

2.证明空间三点P、4、8共线的方法：

①PA=/lPB(/iGR);

②对空间任一点O,OP=OA+tAB(reR)；

③对空间任一点。，OP-xOA+yAB{x+y=1).

3.证明空间四点P、M、A、8共面的方法：

①MP=xM4+yM8；

②对空间任一点。，OP=0M+xMA+yMB；

③对空间任一点0,0P=x0M+y0A+z08(x+y+z=l)；

④PM〃AB（或PA//MB或PB//AM）-

典例2如图所示，在正方体A8CC-A出JCQI中，E在上，且A1E=2EDi，尸在体对角线4c上，且

2

4/=—bC.求证：£尸,8三点共线.

3

【解析】^AB=aAD=b.AA^=c.

___>___>2

'：A1E=2EDl,A]F=-FC,

___,2___,2-2八2―.——、2—，—>——222

••A^E=-/4尸=14。=~(AC-AAy)=—(AB+AD-AA{)=--a+—b--c.

-424222

:.EF=A]f—Aj£=—a--h--c=—(a--b-c).

515553

―>—►—―»22

又EB=EA1+A^A+AB^—b-c+a=a--b-c,

/.EF^-EB.

5

...E,尸,8三点共线.

2.如图，已知。、a、B、。、D、E、F、G、H为空间中的9个点，且OE=ZQA，OF=kOB，

OH=kOD，AC=AD+mAB>EG=EH+mEF，k手0,w^O.

求证：（1）.、B、C、

⑵AC//EG；

⑶OG=kOC

考向三利用向量法证明平行问题

1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.

2.证明线面平行：

（1）该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.

典例3如图，已知长方体48皿一4出。。|中,E、M、N分别是8C、AE、的中点AD=44i=a,A8=2a.

求证：MN〃平面ADQAi.

•••M、N分别为AE、CA的中点，

3„„«，…，3Ca、

A7(—a,a,O),N(O,a,—).MN=(a,0,—).

4242

取”=(0,1,0),显然平面4GD4,且方力尸。,

A/WVln.

又MNU平面ADDIAI,〃平面AOOiAi.

3.已知正方体ABC。-的棱长为2,E,尸分别是。口的中点，求证：

(1)FG〃平面ADE：

(2)平面AOE〃平面BiGF.

考向四利用向量法证明垂直问题

1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

典例4如图,已知正四棱锥V-ABC。中,E是VC的中点，正四棱锥的侧面VBC为正三角形.求证:平面

平面EBD.

【解析】如图，以V在底面ABCD内的射影0为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,

设VB=VC=BC=2a,^.RtAVOC^,VO=JcV2-CO2=J4a2-2a=必，

...”0,0,、2。）工（必,0,0）,（?（-@,0,0）,8（0,必,0）,。（0,-5,0）,E（—注a,0,注a）,

_r历___>

则DE=（—芋a,也a,券a）,BD=（0「2Pa,0）,VC=（-也a,Q,-也a）.

,/DF-VC^i2+O-a2^OjD-7f=0,

•••DEIVC.BDIVC.BPDE^VC,BDLVC.

'：DEHBD=D,

：.UC_L平面EBD.

又VCu平面VAC,

平面VACJ_平面EBD.

典例5如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PAL底面A8CDAB，4O,ACJ_CQ,NABC=6()o,PA=AB=8C,E是PC

的中点.

B

求证：(1)AE±CD;

(2)PCJ_平面A8E.

【解析】（1）易知尸两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.

设PA=AB=BC=lM4(0,0,0),8(1,0,0)1(0,0,1).

ZABC=60°,

△4BC为正三角形,

1J3161

.­.C(-,2<2.,0),£(-,22-).

22442

设。（0,州,0）,由ACJ_C£>,得正带0,即（L,（））•（-■!■,州一走,0）=0,解得州=述,

22223

.,.而=（-！，且0）.

26

■■AECD=-^xxf+0=0,

2464

.•.荏，①即AE1CD.

（2）方法一：由（1）知所=（0,述,-1）,

二AE-丽=0+—x毡+1x（-1）=0,

432

二方，而即PDLAE.

,・•荏=（1,0,0）,，而荏=0,

/.PD1.AB.

又ABHAE=A,

力_L平面ABE.

方法二:由⑴知4B=（l,0,0）,4E=（：，2=）.

442

x=0

设平面ABE的法向量为〃=（x,y,z）,则nAB=^AE=0^<

y+—z=0

2

令尸2,则2=-、同，

.•.平面ABE的一个法向量为"=（02-邪）.

•；pp=（o.巫1）,显然方=

33

：.~PD//n,

.•.而J■平面4BE,即POJ_平面ABE.

4.如图，正方体ABC。—4用GQ中，E,F,〃分别为A4,Bg,Cq的中点.

（1）证明：BE1AH；

（2）在棱上是否存在一点G,使得AG〃平面8EF?若存在，求出点G的位置；若不存在，请

说明理由.

考向五用向量法求空间角

1.用向量法求异面直线所成的角

（1）建立空间直角坐标系；

（2）求出两条直线的方向向量；

（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC,的夹角£的余弦值为cos£=

\AC\\BD\

2.用向量法求直线与平面所成的角

（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平

面所成的角.

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹

角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

典例6如图，在五棱锥P-ABCDE中,PAL平面ABCDE,PA=AB=AE=2BC=2DE=2,ZDEA^

NEAB=/ABC=90°.

E

（1）求二面角P—OE—A的大小；

（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.

【解析】由题可知，以AB、AE、AP分别为x轴,），轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则A(0,0,0),E(0,2,0),0(1,2,0),P(0,0,2),C(2,1,0).

设平面PDE的法向量为n=(x,y,z)，又前=(1,0,0),在(0,-2,2).

n-ED=x=0fx=O/、

由〈，得《，令尸1,得〃=(0,1,1).

n-EP=-2v+2z=01y=z

⑴由于PAL平面ABCDE,则平面ADE的一个法向量为据(0,0,2),

—.n-AP2、5

于由。s<〃,AP>=j^=F=E'

所以<”,语=45。，

则二面角「一DE-A的大小为45°.

(2)由于裕(2,1,-2),

一PCn2x0+lxl+(-2)xlJ?

所以cos<PC,n>=II..=---------广------=---.

|「。口〃|3xV26

故PC与平面PDE所成角的正弦值为注.

6

典例7如图，在五面体A8CCEF中，E4_L平面ABC。，AD//BC//FE,ABLAD,M为EC的中点，AF=

(1)求异面直线B尸与。E所成角的大小;

(2)证明：平面AM£>_L平面C£>E；

(3)求二面角A—CQ—E的余弦值.

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A一盯2

设48=1,依题意得3(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,2,0),E(0,l,l),F(0,0,D，M(-,1,-).

22

(1)Q=(-l,0,l)，痂=(o，—1,1)，

_,_.BFDE0+0+11

于是cosDE>=^pi=-^T=5'

所以异面直线BF与OE所成角的大小为60°.

(2)由前=(［，1，［),屈=(一1。1)，而=(020),可得丽丽=0,CEAD=0.

22

因此，CEVAM,CE±AD.

又A£)nAM=A,

故CE_L平面AMD

而CEu平面CDE,

所以平面平面CDE.

〃CE=0-x+z-0

(3)设平面CDE的法向量为“=(x,y,z),则*,于是

u-DE=0_y+z=0，

令x=l,可得"=(1,1,1).

又由题设，可知平面AC。的一个法向量为y=(0Ql).

U-V0+0+16

所以cos(u,v)

|u||v|6x13

因为二面角A-CQ-E为锐角,

所以其余弦值为@.

3

5.如图，在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，BB]=3,Ag=Jid,

NCBB]=60.

(1)求证：平面ABC,平面BCC/i；

(2)求二面角8—C的正弦值.

考向六用向量法求空间距离

1.空间中两点间的距离的求法

两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为

求向量的模.

2.求点P到平面a的距离的三个步骤：

(1)在平面a内取一点A,确定向量PA的坐标.

(2)确定平面a的法向量”.

\PA-n\

(3)代入公式d求解.

典例8如图，已知长方体ABCfMiBCQi中,44=5,48=12,则直线B\C\到平面A\BCD\的距离是

A.5

C.竺

D.8

13

【答案】C

【解析】•:B\C\〃BC,且4GZ平面A\BCD\,BCU平面A\BCD\,.'.B]C]//平面A\BCD\,从而点B\到平面

A山C9的距离为所求距离.

方法一：过点Bi作BiElAiB于点E：BC_L平面AiAB即且BiEu平面AiABBi,：.BC±BiE.

AB.xB.B12x560

又BCn48=8,；.8EJ_平面A山C£h.在RtAA4B.B中,BC=>J=-/,—,

V52+12213

直线BiCi到平面AiBCA的距离为竺.

13

方法二：以。为坐标原点,D4DC,DDI的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则

C(0,12,0),Di(0,0,5),

设B(x』2,0)B(x,12,5)(#0),平面AiBCDi的法向量为n=(a,b,c),

_,___._,___.5

由/I_LBC,"_LCD1，得“•BK”力,c)・(-x,0,0)=-ax=0,a=0,n-CDj=(a力,c>(0,-12,5)=-12h+5c=0,b--c,令

c=12,则6=5,5,12)为平面A8C。的一个法向量.

又B]B=(0,0,-5),.•.点Bi到平面AxBCDy的距离内60

«13

典例9如图，直三棱柱ABC-AMG中,4C=BC=1,/L4i=3,乙4cB=90。，。为CG上的点，二面角A-A1—。

的余弦值为-@

6

(1)求证:CD=2;

(2)求点A到平面A3。的距离.

【解析】(1)以C为坐标原点，分别以CA、CB、CG所在直线为x轴、)轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,

则A(l,0,0)、8(0,1,0)、A(1,0,3).设0(0,0,a).

川=(1,1,0)是平面4/18的一个法向量,设〃=(%,%2)是平面48。的法向量.

西=(1,0,3"),砺=(0,1,-a),由〃=0,丽."=0,得x+(3-a)z=0,y-az=0,

取x=3—。,得＞=—a,z=—1,即〃=(3—0,—47,-1).

由题设，知|cos(帆,n)|=gjW=―—J32,===1-恪|=够，解得a=2或a=],

1|^||«|V2x7(3-«)2+a2+l66

所以。C=2或QC=1.

但当。C=1时，显然二面角A-48-。为锐角，故舍去.

综上QC=2.

(2)由(1),知"=(1,2-1)为平面AB。的一个法向量，

又441=(0,0,3),所以点A到平面\BD的距离kI：l=g

同2

6.如图，在四棱锥。-Z8CQ中，底面A8CD是边长为2的正方形，。4，底面43。£>,OA=2,M,N,R

分别为OA,BC,AO的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MVR与平面OCD的距离.

7.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CD为正方形，PB=PO=J5,AB=1,AP=2,。是CD中点.

(1)求点C到平面BPQ的距离；

(2)求二面角A—P。一8的余弦值.

考向七用向量法求立体几何中的探索性问题

1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的

数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说

明假设不成立，即不存在.

2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量.

典例10如下图所示,三棱柱ABC-4B1G中,44」平面ABC,BC_LAC,8C=AC=2A4i=3,Z)为AC的中点.

D

AA

（1）求二面角G-BO-C的余弦值；

（2）在侧棱A4i上是否存在点P,使得CPL平面BDG?并证明你的结论.

【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，

则G(0,0,0),2(0,3,2),C(0,3,0)4(2,3,0),0(1,3,0),所以于=(0,3,2),萃=(1,3,0).

\n-C-iB—0

设/i=(xi,yi,zi)是平面BDC\的法向量，则万不_门

IfltCyU—v

3yl+2z.=011

所以《、c，令xi=l,得〃=（L-一,一）是平面的一个法向量,

Xi+3y=032

易知录=（0,3,0）是平面ABC的一个法向量，

n,C|C—12

：

所以cos<〃，彳>=|„|.|C1C|=%=;，

2

而二面角G-BDC为锐角，故其余弦值为一.

7

（2）假设侧棱A4i上存在一点P（2,y,0）（0然3）,使得CPL平面BDCx.

因为丽=（2,广3,0）,

（CP-C?B=0]3(y-3)=o7

[2+353)=0,得产3且

切所以［-C-P»—C—?=0

所以方程组无解.

则假设不成立，即侧棱A4i上不存在点P,使CPL平面BDCx.

典例11已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC,ADAH=90°,PD1底面/1BCC,且

PD=DA=CD=2AB=2,M点为PC的中点.

（1）求证：BM〃平面240.

（2）在平面PAD内找一点N,使MN1平面PBD.

【解析】（1）因为底面ABCD,CD〃4B,CD_LA£>,所以以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙z（如

图所示）.

由于PD=CD=ZM=2AB=2,所以。(0,0,0),8(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),

所以商=（-2,0,1）,DC=（0,2,0）.

因为虎，平面PAC,

所以比是平面PAD的法向量,

又因为反•两=0,

所以前〃平面PAD,

所以3M//平面PAD.

(2)设N(x,0,z)是平面PAD内一点，

则而=(%,-l,z-1),DP=(0,0,2),DF=(2,1,0),

'M/V-DP=0

若MN,平面PBR则丽丽=0,

i

x=—

所以〈2,

2mz—1

（\\

所以在平面PAO内存在点N彳,0,1,使得MN,平面尸BD

\2）

8.如图，在四棱锥产一ABC。中，平面平面ABC。，PA±PD,PA=PD,ABLAD,AB=\,

AD=2,AC=CD=y/5.

p

(1)求直线PB与平面PC。所成角的正弦值.

(2)在棱PA上是否存在点“，使得8M〃平面PC。？若存在，求4”的值；若不存在，说明理由.

AP

1.向量a=(1,1,0),6=(0,1,1),c=(1,0,1),d=(l,0,-l)中，共面的三个向量是

A.a,b,cB.b,c,d

C.c,d,aD.d,a,b

2.已知向量a=(2,4,5),6=(3,尤,y)分别是直线4,4的方向向量，若I"I〉则

A.x=6,y=15B.x=3,y=—

C.x=3,y=15D.x=6,y=£

3.已知两平面的法向量分别为，"=(0,1,0),"=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,CA=CC,=2C3,则直线BG与直线AB夹角的余

弦值为

V5V5

B.

.丁3

2753

D.

,5

5.如图所示，在直二面角D-A8-E中，四边形ABC。是边长为2的正方形，AAEB是等腰直角三角形，其

中NAEB=90。,则点D到平面ACE的距离d为

A.2

3

c.V3

6.已知正四棱柱A2C£>-4BiGDi中,A4i=2AB,则CD与平面BDCi所成角的正弦值等于

2

A.

3

V2_1_

C.D.

V3

7.已知向量。=(1,0,-1),8=(-1,2,1),且切+8与2a-3。互相垂直，则攵的值是.

8.如图所示，在直三棱柱A8C-4BG中，底面是以NA8C为直角的等腰三角形,AC=2a,8B=3a,£>是4G的中

点，点E在棱A4i上，要使CEJ_平面8QE,则AE=.

9.如图，在直三棱柱ABC-48G中，N54C=90。，AB=AC=AAt=2,点G与E分别是A向和CG的中点,

点。与尸分别是AC和AB上的动点.若GDVEF,则线段DF长度的最小值为

10.在如图所示的几何体中，四边形4BCO为平行四边形，平面力EC1平面/BCO,^ACB=90°,EF//BC,

1

EF=—BC>AC=BC=2,AE=EC.

(1)求证：AF=CF.

（2）当二面角A-EC-D的平面角的余弦值为正时，求三棱锥EFC的体积.

3

11.如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面A8C。是矩形，平面A8CQ,PA=AD=4,AB=2.若M,N分别

为梭PD,PC上的点，。为AC的中点，且AC=2OM=2ON.

(1)求证：平面4BM_L平面PCD；

(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值;

(3)求点N到平面ACM的距离.

12.如图所示,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA_L底面ABCD,A4=AB=A£>=1,点F是PB的中点，点E

在边BC上移动.

(1)求证:无论点E在BC边的何处，都有PELAF;

(2)BC(包括端点8,0上是否存在一点E,使尸。〃平面4EF?若存在，求出点E的位置;若不存在,请说明

理由.

13.如图，矩形ABCZ)所在的平面和直角梯形COE尸所在的平面成60。的二面角

DE入D=2,EF=3也,CF=6,NCFE=45°.

(1)求证〃平面4DE;

⑵在线段CF上求一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值为:.

14.如图，在多面体ABCQEF中，四边形ABC。是正方形，8尸_L平面A5CD,。£，平面43。。,

8/=£）£,点M为棱AE的中点.

（1）求证：平面8Mo〃平面EFC；

（2）若DE=2AB,求直线AE与平面30M所成的角的正弦值.

1.（2018新课标全国H理科）在长方体ABC。—A旦G。中，AB=BC=\,AA=G，则异面直线A"

与所成角的余弦值为

1RV5

A.-

56

「V5

L•--------D,也

52

2.（2018新课标全国I理科）如图，四边形A38为正方形，E,尸分别为A。,3c的中点，以。尸为折

痕把折起，使点C到达点P的位置，且PFLBF.

（1）证明：平面PEFJ_平面ABFO；

（2）求DP与平面ABED所成角的正弦值.

3.（2018新课标全国n理科）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,O

为AC的中点.

（1）证明：PO1平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

4.(2018新课标全国HI理科)如图，边长为2的正方形A3。所在的平面与半圆弧CO所在平面垂直，M

是CO上异于c，。的点.

(1)证明：平面AMD_L平面BA/C；

(2)当三棱锥例-ABC体积最大时，求面也48与面MC。所成二面角的正弦值.

5.(2018江苏卷)如图，在正三棱柱ABC-4BC1中，A8=44=2,点P,。分别为BC的中点.

(1)求异面直线8P与AG所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面42G所成角的正弦值.

6.(2018北京理科)如图，在三棱柱ABC-44G中，CG，平面ABC,D,E,F,G分别为A4,,AC,4G,

明的中点，AB=BC=^,AC=M=2.

(1)求证：AC_L平面8EF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交.

7.（2018天津理科）如图，AO〃5c且AD=28C,AOJ,CO,且EG=AO,CD〃FG且CD=2FG,

OGL平面A8CO,DA=DC=DG=2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面COE；

(2)求二面角E-BC—F的正弦值；学#

(3)若点P在线段DG上，且直线8P与平面AOGE所成的角为60。，求线段OP的长.

8.(2017新课标全国I理科)如图，在四棱锥P-48C。中，AB//CD,且N8AP=NCDP=90.

(1)证明：平面以8,平面巩。；

(2)若B4=PD=A8=DC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.

1.【解析】如图所示，分别以刘、AD.441所在的直线为X轴、1轴、Z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知C(3,3,0),以030),

,.,|fl!Di|=|CCi|=|A4i|=2,

.,.Ci(3,3,2),5(032).

•.•N为Cd的中点，

3

：.N(-,3,I).

2

•••”是4c的三分之一分点且靠近4点,

1,2).

由两点间距离公式，得—1)+(3-1)2+(1-2)2=?•

【名师点睛】木题考查空间直角坐标系的建立、点坐标的求法以及距离公式，建系时注意要利用两两垂

直的三条线建系，由线段比例求坐标时，注意由坐标特征求，不要直接乘比例系数求坐标.建立空间直角

坐标系，分别由比例关系求出点M、点N的坐标，由两点间的距离公式求出线段长度，即可得到结果.

2.［解析］(1)AC=AD+mAB，物h0，

AC,AD,AB共面，即A、B、C、。四点共面.

VEG=EH+mEF-w*0)

EG,E",EF共面，即E、F、G、”四点共面.

(2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB-k(AD+mAB)-kAC.

AC//EG-

(3)OG^OE+EG^kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.

3.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系z,则有。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,

2),E(2,2,1),F(0,0,1),Bi(2,2,2),

所以FG=(021),0A=(2,0,0),A石=(0,2,1).

B

n,-DA=2x,=0,

(1)设小=(笛，”，z。是平面AOE的法向量，则〃nt±AE,即＜得

nfAE=2y1+4=0,

x=0,

令zI=2,则「=一1,

匕=-2网，

所以“1=(0,-1,2).

因为尸。［勺=-2+2=0,

所以斤

又因为尸GU平面血,

所以尸G"平面ADE

(2)易得。圈=(2,0,0),

M；FCi=2y2+z2=0,

设敝=(X1,yi,g)是平面BiCi尸的一个法向蚩，则生-FCi,叱—C遥,即＜

n2GBi=2为=0,

X")=0,

得*_令Z2=2,得二二一1,

Zn=12l'r.

所以®2=(0,—2),

因为ni=m,

所以平面ADEH平面BiCiF.

4.【解析】⑴建立如图所示的空间直角坐标系D-型，设AB=1,则A(l,0,0),3(1,1,0),E\1,rT

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