必修四平面向量基本概念、线性运算题型归纳总结

专题平面向量的基本概念、线性运算一、学法指导与考点梳理考点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为士〔；平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点二向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则⑴交换律：a+b=b+a；(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差上a三角形法则a—b=a+(—b)数乘求实数A与向量a的积的运算|Aa|=|A||a|，当A>0时，Aa的方向与a的方向相同；当A<0时，Aa的方向与a的方向相反；当A=0时，Aa=0A(^a)=(A^)a；(A+“)a=Aa+“a；A(a+b)=Aa+Ab考点三经典结论一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即硝+硫+—丸+…+力―X=—特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.在△ABC中，AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：(1)—7+—音+~G(C=0；(2)2G=；(—*+—2)；(3)反D=-(—^+~GCC)=1(—^+~A(C).考点四共线向量定理、平面向量基本定理及应用⑴判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数久使得b=扁，则向量b与a共线.(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数兀使得b=a考点五平面向量基本定理及应用如果弓，勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数久1，定，使a=A1e1+A2e2，其中e1，e2是一组基底.二、重难点题型突破重难点题型突破1平面向量的基本概念例1.(2020-宜宾市叙州区第二中学校高一月考)下列命题正确的是( )若a与b共线，b与c共线，则a与c共线—► —> —>―»- —>―►第2页/共15页三个向量共面，即它们所在的直线共面若a//b，则存在唯一的实数人，使a泌D.零向量是模为0，方向任意的向TOC\o"1-5"\h\z量 =【解析】A选项，若b=0，则根据零向量方向的任意性，可的a与b共线，b与c共线；但a与c不一定共线，故A错；B选项，因为向量是自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；~ ~C选项，共线向量定理，若a//b，其中b。0，则存在唯一的实数人使a泌；故C错；D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为0，方向任意向量；即D正确.故选：D.【变式训练11】、（2019•四川广安市•高一期末）有下列四个命题：互为相反向量的两个向量模相等；若向量AB与CD是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；若|a|=|b|，则a=b或a=-b；④若a・=0，则a=0或b=0；其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C2 D.1【解析】方向相反，模相等的两个向量是相反向量，故①正确；因为向量是自由移动的量，所以两向量共线，点不一定共线，故②错；向量有方向，因此模相等时，向量方向不确定，故③错；两向量垂直时，数量积也为0，所以④错.故选D【变式训练12】、（2019•四川成都市•石室中学高一期中）以下说法正确的是（）A.零向量没有方向 B,单位向量都相等C.共线向量又叫平行向量 D.任何向量的模都是正实数【解析】由于向量中规定共线向量又叫平行向量故应选C.重难点题型突破2平面向量的线性运算例2、（1）（2020•四川省泸县第四中学高一月考）已知O是平面上一点，TOC\o"1-5"\h\zOA=a,OB=b,OC=c,OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）—.ja+b七c+dm0__ B.a—b—c+d—0C.a+b—c—d—0 D.a—b+c—d—0―► —► ―► ► ―► —► ―► ―► ► ―►【详解】易知OB—OA—AB,OC—OD—DC,而在平行四边形ABCD中,AB—DC,—► —► —► ► —► —► ―► —► ► ―►所以OB—OA—OC—OD,即b—a—c—d，所以a—b+c—d—0，故选:D（2）在^ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB—1_ 1 3 - 3 1_ 1 3_A.—AB——ACb.AB——ACC.—AB+—AC d.—AB+—AC4 4 4 4 4 4 4【解析】根据向量的运算法则，BE—1BA+1BD—1BA+1BC—1BA+1(BA+AC)2 2 2 4 2 4111 31 31—_BA+-BA+-AC——BA+-AC，所以EB——AB——AC.故选a.W」顼4 4 4，4【变式训练2-1】、（2020•四川泸州市•泸县五中高一月考）如图所示，已知在ABC中，D是边AB的中点，则CD—（ ）△

。 。 。BC-1BA B.-BC+1BA C.-BC-1BA d.BC+1BA2 2 2 2【详解】囹D是边AB的中点，囹BD=1BA,囹CD=CB+BD=-BC+1BA.选：B.

—> —> —> —2 ———2 —【变式训练2-2】、(2020•眉山市东坡区永寿高级中学高一期中)如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=()A.0B.BEC.ADA.0B.BEC.ADD.CF【详解】将—•平移到=，二平移到二，故BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF,故选D.重难点题型突破3平面向量共线定理的应用一——————一————例3.(2020届安徽省合肥市高三第二次质检)在平行四边形ABCD中，若DE=EC,AE交BD于F点，则AF=()TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 12 12『一AB+-AD b-AB--ADCAB——ADd AB+—AD3 3十3 3 3 3［解柝口口图二.DE=EC，二E为CD的中点一 一一一. 」 1 、直 1 、人.设AF=人AE=XIAB+BC+-CD=XAB+AD--AB=-AB+XAD，且B，\* 2 ) \ 2 J2F,D三点共线，...§+人=1，解得X=2，二AF=1AB+2AD.故选D。⑵（2019•四川南充市•阆中中学高一月考）设两个非零向量a与b不共线.若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)，求证：A,b,D三点共线;―►―►试确定实数k，使ka+b和a+kb同向. ►——>—>—>►——TOC\o"1-5"\h\z【详解】(1)证明：囹AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),―►—►―► ―►BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB, ►—— > —>—>►——囹AB与BD共线，又它们有公共点B,财，B,D三点共线； ►►► ―>—► —►—► —►—► ►(2)解：若ka+b和a+kb同向，囹存在实数人〉0,使ka+b=X(a+kb),即ka+b=Xa+k人b,二k=人』=k人，解得k=—1(舍),k=1.【变式训练31】、（2018•四川攀枝花市•高一期末）已知向量a,b不共线，c=ka+b,―►—► —► —►d=a—b，如果cd，那么（）II 一一--一A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向—►―► ―► —►―►C.k=—1且c与d同向 D・k=—1且c与d反向f) fl=Xk【解析】c//d,•c=Xd,•a+b=X^ka—b,a,b不共线，.•.〈解得[1=—XTOC\o"1-5"\h\z'k=—1 f) ・.・〈 ,d=—a—b=—M+bJ=—c,选d.X=—1—一_一一一__ __重难点题型突破4平面向量基本定理及其应用

—► —► —►例4.(1)・(2019・四川雅安中学高一月考)以下四组向量能作为基底的是()A.A.e1=(1,2),e2=(2,4)C.ei=(2,1),e2=(-2,-1)ei=(3,-1),e2=(-1,3)D.[=(2,0),e2=(3,0)—A —A【解析】对于A, 1x4-2x2=0,.・.〈与e2共线，不能作为基底；TOC\o"1-5"\h\z—— —► 一对于B, 3x3-(-1)x(-1)=8更0,匕与e2不共线，能作为基底；\o"CurrentDocument" > >\o"CurrentDocument"对于C,•・•2x(-1)-1x(-2)=0,「・e1与e2共线，不能作为基底； ► >对于D，-2x0-0x3=0,.e1与e2共线，不能作为基底，故选B. >(2).(2019•江西高一期末(理))设e「e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中,能作为 >基底的是( )A.e一e与e一e2 112C.e+e与e-e十A.e一e与e一e2 112C.e+e与e-e十2FD.-—e+-e与e-—e之1一82妇1牛2【解析顼。匚匕是平面内的一组基底，所以匕和e2不共线，一一对应选项A：e-e=-(e-e)，所以这2个向量共线，不能作为基底；2 1 1 2 > > > >对应选项B：2e1+3e2=-2(^匕-6e2)，所以这2个向量共线，不能作为基底;对应选项D：一!e+1e=-1J-=e］，所以这2个向量共线，不能作为基底;走1气2 2烦142)对应选项C：e1+乌与亍e2不共线,能作为基底.故选：C.(3).(2019•内蒙古高三月考(理))在正方形ABCD中，点O为AABC内切圆的圆心，若AO=xAB+yAD,则勺的值为（ ）D.TOC\o"1-5"\h\z2>/^-1 3 +1D.A. B. C. 4 4 4【解析】连并延长到与相交于点H,设正方形ABCD的边长为1,则BH=-BD=—,设AABC内切圆的半径为,，贝（J2 2BH=0H+0B=r+HS+）r=^，可得r= .2 2设AABC内切圆在A8边上的切点为E,则A0=AE+E0=（l-r）AB+rADJi一g —>V2X妗7^—1有工=——，y=l———，故xy="-x1-—=—-—.故选：d2 2 21 2 2【变式训练11（2011-北京高三开学考试（理））在平行四边形ABCD中AB=e^AC=eNC=、AC,BM=}-MC,则MN= .（用表示）2 4 2 i2【解析】如图:【解析】如图:1 2 1MN=CN—CM=CN+2bm=CN+云BC=—-AC+—(AC—AB)=——^+4 3 4zTOC\o"1-5"\h\z2, 、 2 5 2 5*-<)=--e1+-2e2.故本题答案为--\+-2气.J J -LJ J -LJ【变式训练2】.(2020-四川雅安市•雅安中学高一月考)已知向量a=(-3,4)测下列能使 ► ► ► ► ► ►a=人匕+目％(人，目eR)成立的一组向量匕，e2是( )A.e1=(0,0),e2=(-1,2) B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)e=(-1,2),e=(3,-1) D.e=(--,1),e=(1,-2)1 2 1 2 2【解析】A中e1是零向量，与任何向量共线，B中e2=-2e1,匕,e2,d中。2=-2匕，e,e，只有C中e,e不共线，根据平面向量基本定理，存在人,H使得a=Xe+^e.故12 12 1 2选：C.一 一一一一一一为线段AD的中点，［变式训练3】(2020四川省绵阳南山中学高二开学考试)在△ABC中，D为BC为线段AD的中点，若2BD=DC，且BE=xAB+yAC，则x+y=( )2A A. 2A A. 31B・—2C.1D•—-【详解】由图可知，BE【详解】由图可知，BE=AE-AB，因为E为线段AD的中点，所以AE=；AD，因为2因为2BD=DC，所以BD=3bC，所以BE=AE-AB=1AD-AB=1(AB+BD)-AB=1AB+上(AC-AB)-AB2 2 2 62 1 2 1一3ab官'因为BE=XAB+ '岌以切-3,yZ6，21 1所以x+y=-立6=-2，故选：B重难点题型突破5综合应用例5.（1）（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图，在AABC中，点2为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PA+PC=（ ）A.1BA+-BC b5BA+-BC C1BA+10BCd-BA+-BCTOC\o"1-5"\h\z3 3 .9 9 •9 9 .9 92—［解析］PA+PC—BA—BP+BC—BP—BA+BC——BQ一2一一1一一」1一 ,—BA+BC—^(BA+AQ)—-BA+BC-成1AC3 3 33一?5 7一——BA+BC——(BC—BA)——BA+—BC3 9 9 9 •【变式训心1】、0020•仁寿县文宫中学高一月考(文))设D,E,F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC—2BD,CE—2EA,AF—2FB，则AD+BE+CF与BC△()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂「一一

【详解】AD=AB+BD=AB+1BC=AB+1CaC-AB）=-AB+-AC3 3 3 3同理.BE=2BA+1BC,CF=2CB+1CA,： »3 ,, —_x，所以AD±BE所以AD±BE±CF=（2 1 \二.二13 3 ）（2 1 \ .（2a*Acj±-BA+-bc+-C+-CA=1CB,

3所以AD+BE+CF与Bb反向平行故选：A【变式训练5-2】、（2019四川广安市高一期末）已知OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC.设OA=a,OB=b.△（1） 用a,b表示向量OC,DC；（2）若向量OC与OA+kDC共线，求k的值.【详解】解：（1）A为BC的中点，OA=1（OB+OC），1 A A匕r > A2—- 5-可得OC=2OA-OB=2a-b，而DC=OC-OD=OC-3OB=2a-3b（2） 由（1）得OA+kDC=（2k+1）a--kb， ►►► ―► ~—►OC与OA+kDC共线，设OC=人£+kDC），即2a-b=X（2k+1）a+--人kb，3TOC\o"1-5"\h\z2=X（2k+1） 3根据平面向量基本定理，得｛L 5八，解之得，k=-.-1=一一人k 4〔 3三、课堂定时训练（45分钟）

（2019•四川南充市•阆中中学高一月考）下列命题中正确的是（ ）A.共线向量都相等 B.单位向量都相等C.平行向量不一定是共线向量D.模为0的向量与任意一个向量平行【详解】对于A,共线向量大小不一定相等，方向不一定相同，A错误；对于B,单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B错误；对于C,平行向量一定是共线向量，C错误；对于D，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D正确.故选D.（2020四川绵阳市・三台中学实验学校高一开学考试）下列命题中正确的是（ ）A.OA-OB=AB B.AB=BAC.WB_=0AB+BC+CD=ADC.WB_=0【详解】对于A选项，OA-OB=BA，A选项错误;对于B选项，AB=-BA，B选项错误；对于C选项，0•AB=0，C选项错误;对于D选项，AB+BC+CD=AC+CD=AD，D选项正确.故选：D.B.2e—eB.2e—e，e-1e1 2 1 22A.e—e，e—e12 2 1C.2C.2e2—3e1，6匕—4e2D.e+e，e—e【详解】不共线的两个向量可以作为平面的一组基底对于A，e—e=—(e—e)不满足；对于B，2e—e=2(e—二e)不满足;2 1 12 12 122

对于C,6e—4e=—2（2e—3e）不满足；故选：D.1 2 2 1（2020-四川绵阳市•三台中学实验学校高一月考）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，一E,两别为BC,CD的中点，G为EF中点，则AG=（ ）ABABA.-AB+1AD b.1AB+-AD C.-AB+-AD d.2AB+-AD【详解】根据题意:AG=-\AE+AF)，又AE=AB+BE=AB+1AD【详解】根据题意:TOC\o"1-5"\h\z2一 一. 2一…_3 3…一AF=AD+DF=AD+-AB，所以AG=-AB+-AD，故选：C4>（2020・四川泸州市•泸县五中高一月考）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A.AB=DC B.AD+AB=AC C.AB—AD=BDD.AD+CB=0【解析】在平行四边形ABCD中,显然有AB=DC,AD+CB=0,故A,D正确；根据向量的平行四边形法则，可知AD+AB=AC,故B正确;根据向量的三角形法,AB—AD=DB,故C错误;故选:C.（2023四川成都市•棠湖中学高一月考（文））设AABC中BC边上的中线为AD，点O满足AO=2OD，则OC=( )A.--AB+-ACB.-AB-1A