测量平差基础

误差理论与测量平差SurveyingAdjustment

编辑课件误差理论与测量平差第六章附有参数的条件平差第二章精度指标与误差传播第三章平差最小二乘模型与最小二乘原理第四章条件平差第五章间接平差第一章绪论第七章附有限制条件的间接平差第八章概括平差函数模型退出第九章误差椭圆编辑课件测绘工程专业主干课：专业根底主要课程：测量学〔5〕、测量平差根底〔5〕、控制测量学〔5〕、摄影测量学〔4〕、测绘数据计算机处理〔3〕专业课：GPS〔4〕、GIS〔3〕、工程测量〔4〕、数字制图〔3〕、近代平差〔2〕等编辑课件测绘科学与技术

大地测量与测量工程摄影测量与遥感地图制图与地理信息系统工程

数学政治英语测量平差编辑课件课程安排前修课程：高数、几何与代数、概率与数理统计课程分两个学期进行：第二学年上学期：3学分第三学年下学期：2学分后续课程：测绘数据的计算机处理、控制测量、近代平差编辑课件教学方式与内容讲授为主，例题、习题相结合。内容：本学期主要讲前五章的内容。参考书目：测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社误差理论与测量数据处理，测量平差教研室，测绘出版社。编辑课件第一章绪论第一节观测误差第二节补充知识停止返回编辑课件第一章绪论第一节：概述1、测量平差的研究对象——误差任何量测不可防止地含有误差

闭合、附合水准路线闭合、附合导线距离测量角度测量………..停止返回编辑课件误差：测量值与真值之差由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。停止返回编辑课件产生误差的原因测量仪器：i角误差、2c误差观测者：人的分辨力限制外界条件：温度、气压、大气折光等三者综合起来为观测条件停止返回编辑课件误差的分类系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。停止返回系统误差的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数编辑课件误差的分类偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。不可防止，测量平差研究的内容粗差：错误停止返回编辑课件停止返回测量平差的任务：

对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。

评定测量成果的质量编辑课件停止返回测量平差产生的历史

最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最正确估值？

最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘1806年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。?决定彗星轨道的新方法?1809年，C.F.GUASS，?天体运动的理论?编辑课件停止返回测量平差产生的历史

最小二乘法原理的两次证明形成测量平差的最根本模型1912年，A.A.Markov，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：测量平差理论的扩展编辑课件补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵〔1〕由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：停止返回编辑课件(2)假设m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann称为对角元素。(3)假设一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，假设a11=a22=……=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。停止返回编辑课件〔6〕假设aij=aji，那么称A为对称矩阵。停止返回编辑课件矩阵的根本运算：〔1〕假设具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，那么：〔2〕具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。〔3〕设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,那么A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A〔B+C〕=AB+AC，ABC=A〔BC〕停止返回编辑课件二、矩阵的转置对于任意矩阵Cmn:将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：停止返回编辑课件矩阵转置的性质：〔6〕假设那么A为对称矩阵。停止返回编辑课件三、矩阵的逆给定一个n阶方阵 A，假设存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I〔E〕，称B为A的逆矩阵。记为：A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否那么为奇异矩阵停止返回编辑课件矩阵的逆的性质停止返回编辑课件矩阵求逆方法：〔1〕伴随矩阵法：设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，那么由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。停止返回编辑课件矩阵求逆方法那么：〔2〕初等变换法：经初等变换：停止返回编辑课件概率与数理统计内容随机变量误差分布曲线概率密度曲线数学期望方差停止返回编辑课件第一节概述第二节偶然误差的规律性第三节衡量精度的指标第四节协方差传播律停止返回第五节协方差传播律在测量上的应用第六节协方差传播律第七节权与定权的常用方法第八节协因数与协因数传播律编辑课件第二节偶然误差的规律性观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用表示。一、几个概念真误差：观测值与真值之差，一般用

i=-Li表示。第一节概述停止返回编辑课件观测向量：假设进行n次观测，观测值：L1、L2……Ln可表示为：停止返回编辑课件二、偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。

误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495

停止返回编辑课件例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501停止返回编辑课件(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:停止返回面积=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1编辑课件频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。编辑课件1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，即Lim——n

i=1nni=Limn

——n[]=0偶然误差的特性：停止返回编辑课件第三节衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。编辑课件频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低且平缓，精度低编辑课件一、方差/中误差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

面积为1第三节衡量精度的指标停止返回方差：中误差：提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。编辑课件方差的估值：编辑课件二、平均误差停止返回在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。与中误差的关系：编辑课件三、或然误差f()0闭合差50%停止返回编辑课件四、极限误差四、相对误差中误差与观测值之比，一般用1/M表示。编辑课件第四节协方差传播律一、协方差对于变量X，Y，其协方差为：停止返回编辑课件表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。表示X、Y间相关编辑课件对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的方差、协方差阵表示为：停止返回矩阵表示为：方差协方差阵编辑课件特点：I对称II正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元相等时，为等精度观测。编辑课件假设：假设DXY=0，那么X、Y表示为相互独立的观测量。编辑课件二、观测值线性函数的方差：那么：停止返回证明：设：那么：编辑课件停止返回编辑课件

例1:设，已知，求的方差。例2:假设要在两点间布设一条附和水准路线,每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长度最多可达几公里?停止返回编辑课件二、多个观测值线性函数的协方差阵已知：停止返回编辑课件停止返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求编辑课件四、非线性函数的情况设有观测值X的非线性函数：：编辑课件停止返回将Z按台劳级数在X0处展开：编辑课件编辑课件例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。ABP

mssmump停止返回编辑课件协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播停止返回编辑课件a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-1协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度停止返回编辑课件作业1、在高级水准点A、〔高程为真值〕间布设水准路线，如以以下图，路线长分别为，设每公里观测高差的中误差为，试求：〔1〕将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差；〔2〕分配闭合差后P1点的高程中误差。AP1P2B作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度〔中误差〕为3，问观测9个测回的精度为多少？停止返回编辑课件第七节权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。编辑课件〔三〕权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。〔四〕只要事先给定一定的条件，就可以定权。编辑课件二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权或编辑课件2、边角定权停止返回编辑课件第八节协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵编辑课件不难得出：QXX为协因数阵编辑课件特点：I对称，对角元素为权倒数II正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。编辑课件二、权阵编辑课件第一节测量平差概述第二节测量平差的数学模型第三节参数估计与最小二乘原理停止返回编辑课件一、必要观测、多余观测

确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有种选择第一节测量平差概述

确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。停止返回编辑课件必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等

确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示。停止返回特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数编辑课件多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。n<t，那么无法确定模型n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。编辑课件二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见假设有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3停止返回实际上：编辑课件第二节测量平差的数学模型一、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。

条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法

选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。停止返回编辑课件三、附有参数的条件平差法

设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，那么可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。

上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。上式为附有参数的条件平差法的函数模型。

此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。停止返回编辑课件四、附有限制条件的间接平差法如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个独立参数，那么多项选择的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。停止返回编辑课件五、平差的随机模型数学模型停止返回函数模型随机模型：编辑课件第三节函数模型的线性化条件方程的综合形式为：为了线性化，取X的近似值：取的初值：将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：编辑课件停止返回编辑课件一、条件平差法二、间接平差法编辑课件三、附有参数的条件平差法四、附有限制条件的间接平差法编辑课件第四节参数估计与最小二乘原理

为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。

一、参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：条件的个数r=n-t<n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。停止返回编辑课件例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：实际上：编辑课件写成矩阵：间接平差函数模型编辑课件编辑课件二、最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和到达最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准那么的估值相同。

设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：停止返回编辑课件其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E〔〕=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的作为X的估计量。停止返回编辑课件由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原那么。停止返回编辑课件第四章条件平差第一节条件平差原理第二节条件方程第三节精度评定第四节水准网平差例如停止返回编辑课件第一节条件平差原理一、根底方程和它的解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：停止返回数学模型编辑课件求其一阶偏导数，并令其为0：上式也称为法方程式停止返回编辑课件二、条件平差的计算步骤停止返回根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。解算法方程，求出联系数K值。将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。编辑课件BADh1h4h2h3C编辑课件BADh1h4h2h3C编辑课件h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123编辑课件第二节条件方程一、水准网列条件的原那么：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的线路数最少为原那么停止返回编辑课件h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回编辑课件二、测角网4个必要的起算数据为：一个点〔2个坐标〕一个方位〔1个〕一个尺度〔1个两点〔4个坐标〕停止返回编辑课件列条件的原那么：将复杂图形分解成典型图形。条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角形大地四边形中心多边形扇形停止返回编辑课件AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T编辑课件第三节精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵

停止返回编辑课件第四节水准网平差例如例：如图，A、B是的高程点，P1、P2、P3是待定点。数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回编辑课件解：1、列条件方程停止返回编辑课件2、定权取C=1，那么：3、形成法方程停止返回编辑课件4、解算法方程5、计算改正数6、计算平差值7、计算高程平差值停止返回编辑课件作业1：如以下图的水准网，A、B、C水准点，P1、P3、P3为待定点，水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表。线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002

53.4042

63.4524

A

oooBC123456P1P2P3如以下图的水准网，A、B、C水准点，P1、P3、P3为待定点，水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值。编辑课件第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评定第四节平差例如第五章间接平差停止返回编辑课件第一节间接平差原理一、根底方程和它的解按函数极值的求法，极值函数：求其一阶偏导数，并令其为0：停止返回编辑课件代入误差方程：即为法方程式停止返回编辑课件二、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定编辑课件一、确定待定参数的个数水准网测角网测边网边角网第二节误差方程停止返回GPS网采用GPS尺度与方位不采用GPS尺度与方位编辑课件二、参数的选取高程控制网：待定点的高程平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标停止返回编辑课件三、误差方程的组成1、水准路线的误差方程ijXiXjhij当i点时：当j点时：停止返回编辑课件2、方向的误差方程N零方向jkl——定向角未知数设j、k的坐标为未知参数：即：零方向的方位角jk的方位角为：停止返回编辑课件为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回编辑课件停止返回编辑课件停止返回编辑课件停止返回编辑课件停止返回编辑课件停止返回编辑课件当j点时：停止返回编辑课件当k点时：停止返回编辑课件2、距离的误差方程jk设j、k的坐标为未知参数：jk的距离为：停止返回编辑课件为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回编辑课件停止返回编辑课件停止返回编辑课件停止返回编辑课件当j点时：停止返回当k点时：编辑课件第三节精度评定二、协因数阵一、计算单位权中误差停止返回编辑课件测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的坐标及精度。数据见下表。第四节平差例如停止返回编辑课件点名坐标（m）边长方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.60274°39’38.4"C19063.6637818.8610232.1634°40’56.3"D17814.6349923.1912168.6095°53’29.1"A10156.11216°49’06.5"角度编号观测值角度编号观测值角度编号观测值1126°14’24.1"722°02’43.0"1346°38’56.4"223°39’46.9"8130°03’14.2"1466°34’54.7"330°05’46.7"927°53’59.3"1566°46’08.2"4117°22’46.2"1065°55’00.8"1629°58’35.5"531°26’50.0"1167°02’49.4"17120°08’31.1"631°10’22.6"1247°02’11.4"1829°52’55.4"停止返回编辑课件解：n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标：根据角度的误差方程：停止返回编辑课件VBxl停止返回编辑课件定权，P为单位阵，形成法方程为：停止返回编辑课件精度评定：停止返回编辑课件例：如图，A、B是的高程点，P1、P2、P3是待定点。数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B编辑课件解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设P1、P2点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B编辑课件写成矩阵的形式：定权，取C=1编辑课件编辑课件例：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.8

5-0.5774.2

6-0.7862.5

B

oooAC165423P1P2P3如以下图的水准网，A、B、C水准点，P1、P3、P3为待定点，水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用间接平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度。编辑课件解：1、列误差方程n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3设P1、P2、P3点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：

B

oooAC165423P1P2P3编辑课件定权，取C=1编辑课件编辑课件编辑课件第一节根底方程和它的解第二节精度评定第六章附有参数的条件平差停止返回编辑课件一、测量平差方法回忆〔1〕条件平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。停止返回在最小二乘原那么下有：编辑课件〔2〕间接平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，那么条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程：在最小二乘原那么下有：编辑课件〔3〕附有参数的条件平差法

设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，那么可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。

上式为附有参数的条件平差法的函数模型。

此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。停止返回编辑课件设定未知参数的目的：〔2〕为了在条件平差过程中，直接估计一些量以及其精度。如：〔1〕为了方便列立条件。ABDC123456789121110131415161718P2P1编辑课件如图：条件平差：123456其中：其它条件如何列？编辑课件设未知参数X1123456X1编辑课件将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条件进行线性化，可形成根底方程。123456X1X2特点：方程中即有观测量又有未知参数。采用改正数表示。编辑课件二、根底方程和它的解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：根底方程：停止返回编辑课件求其一阶偏导数，并令其为0：联立即为法方程式停止返回编辑课件将法方程写成矩阵的形式：也可分别求解：编辑课件第二节精度评定一、计算单位权中误差编辑课件二、协因数阵三、平差值函数的协因数线性化：编辑课件四、附有参数的条件平差的计算步骤根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小于t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r与设定未知参数之和。根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。解算法方程，求出联系数K与x值。将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。精度评定。为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。编辑课件第一节根底方程和它的解第二节精度评定第七章附有限制条件的间接平差停止返回编辑课件间接平差：观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，那么条件个数c=n+t-t=n，即n个误差方程：从而可以唯一求出一、根底方程和它的解由于未知参数u>t，那么u个未知参数间肯定存在u-t个函数关系，称为约束条件。编辑课件联合根底方程编辑课件根底方程线性化形式：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：停止返回编辑课件求其一阶偏导数，并令其为0：法方程式停止返回编辑课件写成矩阵形式：编辑课件显式表示：编辑课件第二节精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵停止返回编辑课件三、平差值函数的协因数编辑课件四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与限制条件。根据观测值的权组成法方程式。解算法方程，求出联系数X与K值。将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。精度评定。编辑课件例：如图，A、B是的高程点，P1、P2、P3是待定点。数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016hAB=1.0002+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.4