第1讲函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质真题感悟2.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(

)答案

C3.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.解析依题意得，当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.答案－31.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.考点整合2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.易错提醒

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示答案

(1)D

(2)D探究提高1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】(1)(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(

) A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1解析(1)依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.(2)令m＝f(a)，则f(m)＝4.当m>0时，由2m＝4，得m＝2.当m≤0时，由－m2－2m＋1＝4知方程无解.故f(a)＝2.①当a>0时，由2a＝2，得a＝1.②当a≤0时，由－a2－2a＋1＝2，解得a＝－1.综上可知a＝1或a＝－1.答案

(1)D

(2)±1所以f(x)是奇函数，排除选项C.答案

(1)B

(2)D(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.探究提高1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.(2)若当x∈(1，2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________.(2)如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象.答案

(1)B

(2)(1，2]热点三函数的性质与应用角度1函数的奇偶性、周期性则ln(1＋4x2－a2x2)＝0恒成立，因此a＝±2.(2)法一

∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.答案

(1)A

(2)C角度2函数的单调性与最值(2)由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).所以f(c)>f(|a|)>f(b).又由题意知，f(a)＝f(|a|)，所以f(c)>f(a)>f(b).答案

(1)D

(2)C探究提高1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】(1)(2019·衡水调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(

) A.－3 B.－3 C.－2 D.2 (2)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝|ln(x－1)|，满足f(a)>f(4－a)，则实数a的取值范围是(

) A.(1，2) B.(2，3) C.(1，3) D.(2，4)解析

(1)由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x).∴函数y＝f(x)是周期为8的函数.又函数f(x)是偶函数，且x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)∴f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)＝f(2)＝log24＝2.故ln(－a2＋4a－3)<0，又1<a<3，解得1<a<2，当2≤a<3时，1<4－a≤2，若f(a)>f(4－a)，则ln(a－1)>－ln(3－a)，即ln(－a2＋4a－3)>0，又2≤a<3，解为空集.综上可知，a的取值范围是(1，2).答案

(1)D

(2)A