2023-2024学年四川省宜宾重点中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省宜宾重点中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若P(AB)=19，P(A−A.事件A与B互斥不对立 B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立 D.事件A与B不相互独立2.在四面体OABC中，空间的一个点M满足OM=14OA+15OBA.1221 B.1120 C.353.无论k为何值，直线(k+2)A.(−2,0) B.(04.已知实数x，y满足方程(x−1)2+A.2 B.4 C.2 D.5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1A.−23a−13b+16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为A.2 B.52 C.53 7.如图，二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，

A.23 B.22 C.8.已知F1、F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1A.33 B.32 C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.与直线3x−4y+1=0A.4x+3y−3=0 10.已知点P是椭圆E：x28+y24=1上一点，F1，F2A.点P的纵坐标为4 B.∠F1PF2=π2

C.11.甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A：抽取的两个小球标号之和大于5，事件B：抽取的两个小球标号之积大于8，则(

)A.事件A与事件B是对立事件 B.事件A−与事件B是互斥事件

C.事件A⋃B发生的概率为1120 D.12.若两定点A(−2,0)，B(2A.点M的轨迹所围成区域的面积为32π

B.△ABM面积的最大值为82

C.点M到直线x−y+4=0距离的最大值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知圆C1：x2+y2=r2，圆C214.已知直线l：3x+2y−1=0与直线l115.若双曲线y2−x2m2=1(16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，A四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

设直线l1：x−2y−1=0与l2：(3−m)x+my+m18.(本小题12分)

甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

(1)求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；

(219.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB=2，AD=20.(本小题12分)

已知双曲线C和椭圆x24+y2=1有公共的焦点，且离心率为3．

(1)求双曲线C的方程．

(2)经过点M(1,2)21.(本小题12分)

已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为23．

(1)圆C的方程；

(2)设P是直线x+y+22.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且△DF1F2为等边三角形.经过焦点F2的直线l与椭圆C相交于答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵P(AB)=19，∴A与B能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件，故AB正确；

∵P(A−)=23，得P(A)=13，P(B)=13，

∵P(AB)=192.【答案】B

【解析】解：因为在四面体OABC中，空间的一个点M满足OM=14OA+15OB+λOC，且M，A，B，3.【答案】C

【解析】解：直线(k+2)x+(1−k)y−2k−4=0整理得k4.【答案】B

【解析】解：(x−1)2+y2=1，表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆．

而x2+y2表示圆上的点A(x,y)到原点O(0,5.【答案】D

【解析】解：如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c.点M在棱BC上，若以a,b,c为基底，

因为BM=2MC6.【答案】B

【解析】解：若双曲线上存在点P满足|PF1|：|PF2|：|F1F2|=4：6：5，

可设|PF1|=4t，|PF2|=6t，|F1F2|=5t，t>7.【答案】C

【解析】解：由二面角的平面角的定义知〈BD,AC〉=120°，

∴BD⋅AC=|BD||AC|cos〈BD,AC〉=8.【答案】B

【解析】解：不妨设|PF1|=m，|PF2|=n(m>n)．

椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c，

由椭圆及双曲线的定义得m+n=2a1，m−n=2a2，

于是，m=a1+a2，9.【答案】AB【解析】解：设与直线3x−4y+1=0垂直的直线方程为4x+3x+m=0，

则点(−1,−1)到该直线的距离为d=10.【答案】BC【解析】解：∵椭圆方程为x28+y24=1，

∴a=22，b=2，c=2，又P为椭圆上一点，不妨设P(x,y)，

∴△F1PF2的面积为12×2c×|y|=2|y|=4，∴|y|=2，故A选项错误；

设|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ，θ∈[0,π)，则根据题意可得：

11.【答案】BC【解析】解：由题可知，事件A的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，

甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个；

事件B的所有基本事件为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，

甲4乙5，甲4乙6，共8个；所以事件A与事件B有“公共部分”，事件A−与事件B有“公共部分”，故A错误，B正确；

所以事件A∪B的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，

甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个；

又从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共4×5=20个基本事件，

所以事件A∪B发生的概率为1120，故C正确；

事件A∩B−发生的事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲4乙2，共3个，所以事件A∩B12.【答案】AB【解析】解：设M(x,y)，由|MA|=2|MB|得：|MA|2=2|MB|2，

∴(x+2)2+y2=2[(x−2)2+y2]，整理可得：(x−6)2+y2=32，

∴点M的轨迹是以点S(6,0)为圆心，42为半径的圆；

对于A，点M轨迹围成的区域面积为π×(42)2=32π，A正确；

对于B，∵|AB|=4，∴若△ABM取得最大值，则点M到直线AB的距离最大，即到x轴的距离最大，

∴点M到直线AB的距离的最大值为42，

∴△ABM面积的最大值为13.【答案】2

【解析】解：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径为r，

将C2化成标准方程为：(x−4)2+(y−3)2=9，

∴圆C2的圆心为C2(4,14.【答案】2x【解析】解：联立方程3x+2y−1=0x+y=0，解得x=1y=−1，

∴直线l：3x+2y−1=0与直线x+y=0的交点坐标为(1,−1)，

∴直线l1过点(1,−1)，

在直线l：3x+2y−1=0上取一点A(3,−4)，则点A(3,15.【答案】3【解析】解：双曲线y2−x2m2=1(m>0)的渐近线方程为y=±xm，

又双曲线y2−x2m216.【答案】45【解析】解：如图，

以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，B1(2,3,2)，P(1,3,0)，

设Q(x,0,z)，

则AQ=(x−2,0,z)，B1P=(−1,0,−2)，

17.【答案】解：(1)若l1//l2，则13−m=−2m≠−1m2−3m，∴m=6，

∴l1：x−2y−1=0，l2【解析】(1)若l1//l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；18.【答案】解：5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，

把3个选择题记为x1、x2、x3，2个判断题记为p1、p2．

“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：

(x1,p1)，(x1,p2)，(x2,p1)，(x2,p2)，(x3,p1)，(x3,p2)，共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：

(p1,x1)，(p1,x2)，(p1,【解析】本题考查等可能事件的概率，关键是不重不漏的列举满足条件的基本事件，属于基础题．

共有5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，把3个选择题记为x1、x2、x3，2个判断题记为p1、p2．

19.【答案】解：(1)证明：由题意，在矩形ABCD中，AB=2，AD=AP=4，AB⊥AD，

M，N分别是BC，PD的中点，

∴BM=CM=12BC=12AD=2，AB=CD=2，

在四棱锥P−ABCD中，面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AB⊥AD，

∴AB⊥面PAD，

∵PA⊂面PAD，∴PA⊥AB，

取AP中点E，连接BE，由几何知识得BE//MN，

∵AD⊥MN，∴AD⊥BE，AD⊥AB，

∵BE⊂面PAB，AB⊂面PAB【解析】(1)以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明MN/​/平面PA20.【答案】解：(1)由题意得椭圆x24+y21=1的焦点为F1(−3,0),F2(3,0)，

设双曲线方程为x2a−y2b2=1，a>0，b>0，

则c2=a2+b2=3，∵e=ca=3，∴c=3a，

解得a2=【解析】(1)根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程；

(2)首先利用点差法求直线21.【答案】解：(1)设圆C的圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．

由题意可得，d2+(3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a=2或a=−12(舍)．

∴圆C的方程为(x−2)2+y2=4；

(2)【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是较难题．

(1)由已知结合垂径定理列式求得a值，则圆的方程可求；

(2)由已知设出P点坐标，再由已知可知