新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 第3讲 圆周运动 (含解析)

第3讲圆周运动学习目标1.掌握描述圆周运动的各物理量及关系。2.会分析向心力的来源。3.会利用圆周运动的相关知识处理生活中的圆周运动。一、描述圆周运动的物理量及关系定义、意义公式、单位线速度(v)1.描述圆周运动的物体运动快慢的物理量2.是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切1.v＝eq\f(Δs,Δt)(定义式)＝eq\f(2πr,T)(与周期的关系)2.单位：m/s角速度(ω)1.描述物体绕圆心转动快慢的物理量2.是矢量，但不研究其方向1.ω＝eq\f(Δθ,Δt)(定义式)＝eq\f(2π,T)(与周期的关系)2.单位：rad/s3.ω与v的关系：v＝ωr周期(T)转速(n)频率(f)1.周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率2.转速是单位时间内物体转过的圈数1.T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(1,f)(与频率的关系)2.T的单位：sn的单位：r/s、r/minf的单位：Hz向心加速度(an)1.描述线速度方向变化快慢的物理量2.方向指向圆心1.an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝ωv2.单位：m/s2二、匀速圆周运动及向心力1.2.三、离心运动1.思考判断(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×)(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度大小是不变的。(√)(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。(×)(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。(×)(5)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。(√)(6)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(×)(7)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(√)(8)变速圆周运动的向心力不指向圆心。(×)2.(2023·天津一中月考)如图1所示，甲、乙两车在水平面内的同心圆弧道路上转弯，甲行驶在内侧，乙行驶在外侧，它们转弯时线速度大小相等，则两车在转弯时，下列说法正确的是()图1A.角速度：ω甲＝ω乙B.向心加速度：a甲>a乙C.向心力：F甲<F乙D.地面对车的摩擦力：Ff甲>Ff乙答案B3.如图2所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的。其原理可简化为图中所示的模型。A、B是转动的齿轮边缘的两点，若A轮半径是B轮半径的1.5倍，则下列说法中正确的是()图2A.A、B两点的线速度大小之比为3∶2B.A、B两点的角速度大小之比为2∶3C.A、B两点的周期之比为2∶3D.A、B两点的向心加速度大小之比为1∶1答案B考点一圆周运动的运动学问题1.对公式v＝ωr的理解当r一定时，v与ω成正比。当ω一定时，v与r成正比。当v一定时，ω与r成反比。2.对an＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比。3.常见的传动方式及特点(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。图3(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。图4(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。图5例1游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图6所示，一小孩坐在旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为3.0m，小孩旋转5周用时1min，则下列说法正确的是()图6A.小孩做圆周运动的角速度为eq\f(π,3)rad/sB.小孩做圆周运动的线速度为2πm/sC.小孩在1min内通过的路程为15πmD.小孩做圆周运动的向心加速度为eq\f(π2,12)m/s2答案D解析小孩做圆周运动的周期T＝eq\f(t,n)＝12s，则角速度为ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)rad/s，A错误；线速度为v＝eq\f(2πr,T)＝eq\f(π,2)m/s，B错误；在1min内通过的路程s＝n·2πr＝30πm，C错误；向心加速度为an＝ω2r＝eq\f(π2,12)m/s2，D正确。跟踪训练1.(2022·湖北黄冈中学模拟)如图7是某电力机车雨刮器的示意图。雨刮器由刮水片和雨刮臂链接而成，M、N为刮水片的两个端点，P为刮水片与雨刮臂的链接点，雨刮臂绕O轴转动的过程中，刮水片始终保持竖直，下列说法正确的是()图7A.P点的线速度始终不变B.P点的向心加速度不变C.M、N两点的线速度相同D.M、N两点的运动周期不同答案C解析P点以O为圆心做圆周运动，线速度方向时刻变化，向心加速度方向与速度方向始终垂直，即向心加速度方向时刻变化，故A、B错误；刮水片始终保持竖直，各点的线速度与P点的线速度相同，故C正确；刮水片上各点的运动周期都相同，故D错误。2.(多选)如图8所示在半径为R的水平圆盘中心轴正上方a点水平抛出一小球，圆盘以角速度ω匀速转动，当圆盘半径Ob方向恰好转到与小球初速度方向相同的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b，重力加速度为g，则小球抛出点a距圆盘的高度h和小球的初速度v0可能满足()图8A.h＝eq\f(2gπ2,ω2)，v0＝eq\f(Rω,2π) B.h＝eq\f(8gπ2,ω2)，v0＝eq\f(Rω,4π)C.h＝eq\f(2gπ2,ω2)，v0＝eq\f(Rω,6π) D.h＝eq\f(32gπ2,ω2)，v0＝eq\f(Rω,8π)答案ABD解析由题意可知，小球做平抛运动在竖直方向上有h＝eq\f(1,2)gt2，水平方向上有v0t＝R，对圆盘有t＝eq\f(2kπ,ω)(k＝1，2，3，…)，经上述分析可解得v0＝eq\f(Rω,2kπ)(k＝1，2，3，…)，h＝eq\f(2gk2π2,ω2)(k＝1，2，3，…)，根据k的取值不同，经计算可知，A、B、D正确，C错误。考点二圆周运动的动力学问题1.匀速圆周运动的实例分析运动模型向心力的来源图示运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆飞车走壁汽车在水平路面转弯水平转台(光滑)2.变速圆周运动的向心力如图9所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，即FT－mgcosθ＝meq\f(v2,R)。图93.圆周运动的动力学问题的分析思路角度向心力的来源分析例2如图10所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑。下列说法正确的是()图10A.汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力B.汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力C.汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力D.汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变答案A解析汽车转弯时靠静摩擦力提供向心力，故A正确，B、C错误；根据静摩擦力提供向心力，有Ff＝Fn＝meq\f(v2,R)，半径不变，速度减小时，向心力减小，则汽车受到的静摩擦力减小，故D错误。角度圆周运动的动力学问题例3(2022·北京卷，8)我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验()图11A.小球的速度大小均发生变化B.小球的向心加速度大小均发生变化C.细绳的拉力对小球均不做功D.细绳的拉力大小均发生变化答案C解析角度圆锥摆(筒)模型例4(多选)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图12甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.5kg，绳长为0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，下列说法正确的是()图12A.匀速转动时，配重受到的合力恒定不变B.若增大转速，绳的拉力增大C.当θ稳定在37°时，配重的角速度为5rad/sD.当θ由37°缓慢增加到53°的过程中，配重的动能增加了eq\f(17,16)J答案BD解析设配重的质量为m、绳长为l、悬挂点P到腰带中心点O的距离为r1，对配重受力分析如图所示，由于配重做匀速圆周运动，其受到的合力提供向心力，即合力大小不变、方向改变，故选项A错误；若增大转速，θ增大，绳的拉力F＝eq\f(mg,cosθ)增大，B正确；根据牛顿第二定律有mgtanθ＝mω2(lsinθ＋r1)，代入数据可得ω＝eq\r(15)rad/s，故选项C错误；根据牛顿第二定律有mgtanθ＝meq\f(v2,lsinθ＋r1)，则v2＝g(lsinθ＋r1)tanθ，在θ由37°缓慢增加到53°的过程中，动能增加了ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(17,16)J，故D正确。圆锥摆(1)向心力F向＝mgtanθ＝meq\f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsinθ，解得v＝eq\r(gLtanθsinθ)，ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))。(2)稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq\f(mg,cosθ)和运动所需向心力也越大圆锥筒(1)筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即eq\f(mg,tanθ)＝meq\f(v2,r)＝mω2r，解得v＝eq\r(\f(gr,tanθ))，ω＝eq\r(\f(g,rtanθ))。(2)稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝eq\f(mg,sinθ)和向心力F向＝eq\f(mg,tanθ)并不随位置的变化而变化角度生活中的圆周运动例5(2023·福建福州高三期末)如图13甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙一件小衣物随着滚筒经过a、b、c、d四个位置，小衣物中的水滴最容易被甩出的位置是()图13A.a位置 B.b位置 C.c位置 D.d位置答案C解析水滴随衣物紧贴着滚筒壁做匀速圆周运动，转动过程中所需向心力大小相同，水滴所受合力提供向心力。设a、b、c、d四个位置水滴与衣物之间的附着力分别为Fa、Fb、Fc、Fd，因b、d两点，重力与向心力(合力)的方向夹角既不是最大，也不是最小，附着力不会出现极值，所以只分析a、c两点即可，设转动的角速度为ω，在a位置有mg＋Fa＝mω2R，则Fa＝mω2R－mg，此时所需附着力最小；在c位置有Fc－mg＝mω2R，Fc＝mg＋mω2R，此位置所需附着力最大，所以小衣物中的水滴最容易被甩出的位置是c位置，故C正确，A、B、D错误。跟踪训练3.(多选)如图14所示，若将运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为θ(蹬冰角)的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是()图14A.运动员转弯时速度的大小为eq\r(\f(gR,tanθ))B.运动员转弯时速度的大小为eq\r(gRtanθ)C.若运动员转弯速度变大，则需要增大蹬冰角D.若运动员转弯速度变大，则需要减小蹬冰角答案AD解析依题意，运动员转弯时，受力如图所示，根据牛顿第二定律有Fn＝eq\f(mg,tanθ)＝meq\f(v2,R)，可得其转弯时速度的大小为v＝eq\r(\f(gR,tanθ))，故A正确，B错误；由v＝eq\r(\f(gR,tanθ))可知，若运动员转弯速度v变大，则需要减小蹬冰角θ，故C错误，D正确。4.(2022·山东济宁模拟)如图15所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ光滑且足够长。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴先以角速度ω1匀速转动，然后提高转速以角速度ω2匀速转动。下列说法正确的是()图15A.小球的高度一定升高B.小球的高度一定降低C.两次转动杆对小球的弹力大小可能不变D.两次转动小球所受的合力大小可能不变答案C解析因为小球在水平面内做匀速圆周运动，则竖直方向受力平衡，设弹簧拉力为F，弹簧与竖直方向夹角为θ，则Fcosθ＝mg。若小球的高度变高，θ变大，cosθ变小，弹簧形变量变小，则F变小，竖直方向不平衡，同理可知，若小球的高度变低，θ变小，cosθ变大，弹簧形变量增大，则F变大，竖直方向也不平衡，所以小球高度不能改变，故A、B错误；当金属框绕MN轴以较小的角速度ω1匀速转动时，杆对小球的弹力可能垂直杆向外，满足Fsinθ－FN1＝mωeq\o\al(2,1)r，即FN1＝Fsinθ－mωeq\o\al(2,1)r，当提高转速以角速度ω2匀速转动时，杆对小球的弹力可能垂直杆向里，则Fsinθ＋FN2＝mωeq\o\al(2,2)r，即FN2＝mωeq\o\al(2,2)r－Fsinθ，因为ω1<ω2，所以两次转动杆对小球的弹力大小可能不变，故C正确；因为合外力提供向心力，即F合＝mω2r，所以角速度增大，合外力一定增大，故D错误。A级基础对点练对点练1圆周运动的运动学问题1.如图1所示，用起瓶器开启瓶盖时，起瓶器上A、B两点绕O点转动的角速度分别为ωA和ωB，线速度的大小分别为vA和vB，下列说法正确的是()图1A.ωA＝ωB，vA<vB B.ωA＝ωB，vA>vBC.ωA>ωB，vA＝vB D.ωA>ωB，vA<vB答案A解析A、B两点绕O点转动，相同时间转过相同的角度，由ω＝eq\f(Δθ,Δt)可知ωA＝ωB，因为rB>rA，由线速度和角速度的关系v＝ωr可知vA<vB，故A正确。2.(2021·全国甲卷，15)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图2，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点的向心加速度大小约为()图2A.10m/s2 B.100m/s2C.1000m/s2 D.10000m/s2答案C解析向心加速度的公式an＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an≈1000m/s2，C正确。3.(多选)(2022·广东佛山模拟)水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。图3为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小为v0，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，落点到轮轴间的距离为R。在水流不断冲击下，轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小，忽略空气阻力，有关水车及从槽口流出的水，以下说法正确的是()图3A.水流在空中运动时间为t＝eq\f(2v0,g)B.水流在空中运动时间为t＝eq\f(\r(3)v0,g)C.水车最大角速度接近ω＝eq\f(2v0,R)D.水车最大角速度接近ω＝eq\f(\r(3)v0,R)答案BC解析水流垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，水平方向速度和竖直方向速度满足tan30°＝eq\f(v0,gt)，解得t＝eq\f(\r(3)v0,g)，故B正确，A错误；水流到水轮叶面上时的速度大小为v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋（gt）2)＝2v0，根据v＝ωR，解得ω＝eq\f(2v0,R)，故C正确，D错误。4.(2023·湖北八市高三模拟)学校门口的车牌自动识别系统如图4所示，闸杆距地面高为1m，可绕转轴O在竖直面内匀速转动；自动识别区ab到a′b′的距离为6.9m。汽车以速度3m/s匀速驶入自动识别区，识别的反应时间为0.3s；若汽车可看成高1.6m的长方体，闸杆转轴O与车左侧面水平距离为0.6m。要使汽车匀速顺利通过，闸杆转动的角速度至少为()图4A.eq\f(π,8)rad/s B.eq\f(π,6)rad/s C.eq\f(π,4)rad/s D.eq\f(π,3)rad/s答案A解析闸杆转动时间为t＝eq\f(x,v)－t0＝eq\f(6.9,3)s－0.3s＝2s，汽车匀速顺利通过，闸杆转动的角度至少满足tanθ＝eq\f(1.6－1,0.6)，解得θ＝eq\f(π,4)，闸杆转动的角速度至少为ω＝eq\f(θ,t)＝eq\f(π,8)rad/s，故A正确。对点练2圆周运动的动力学问题5.分别用两根长度不同的细线悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则在运动过程中，两小球相对位置关系示意图正确的是()答案B解析设小球质量为m，细线长为L，当细线与竖直方向夹角为θ时，受力分析图如图所示，小球做匀速圆周运动，有mgtanθ＝mω2Lsinθ，整理得Lcosθ＝eq\f(g,ω2)是常量，即两小球时刻处于同一高度，故B正确。6.下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是()A.如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态B.如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用C.如图C所示，轻质细绳长为l，一端固定一个小球，绕另一端O点在竖直面内做圆周运动，在最高点小球的最小速度应大于eq\r(gl)D.如图D所示，脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出答案B解析如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，具有向上的加速度，则处于超重状态，故A错误；如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，外轨受到挤压，故B正确；如图C所示，在最高点，当小球的重力刚好满足向心力要求时，此时小球的速度最小为eq\r(gl)，故C错误；如图D所示，水滴和衣服间的作用力不足以提供水滴做圆周运动的向心力，水滴做离心运动，故D错误。7.(2023·湖南邵阳高三月考)内表面为半球型且光滑的碗固定在水平桌面上，球半径为R，球心为O，现让可视为质点的小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，小球与球心O的连线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，则()图5A.小球的加速度为a＝gsinθB.碗内壁对小球的支持力为FN＝eq\f(mg,sinθ)C.小球的运动周期为T＝2πeq\r(\f(Rcosθ,g))D.小球运动的速度为v＝eq\r(gRtanθ)答案C解析小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，受力如图，竖直方向有FNcosθ＝mg，水平方向有FNsinθ＝ma，联立解得a＝gtanθ，FN＝eq\f(mg,cosθ)，故A、B错误；又由a＝eq\f(4π2,T2)Rsinθ，小球的运动周期为T＝2πeq\r(\f(Rcosθ,g))，故C正确；又由a＝eq\f(v2,Rsinθ)，小球运动的速度为v＝eq\r(\f(gRsin2θ,cosθ))，故D错误。8.(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图6所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T。则下列说法正确的是()图6A.若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大B.若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大C.若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大D.若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变答案CD解析对飞机进行受力分析，如图所示，根据重力和机翼升力的合力提供向心力，得mgtanθ＝meq\f(v2,R)＝meq\f(4π2,T2)R，解得v＝eq\r(gRtanθ)，T＝2πeq\r(\f(R,gtanθ))。若飞行速率v不变，θ增大，由v＝eq\r(gRtanθ)知，R减小，再由T＝2πeq\r(\f(R,gtanθ))知，T减小，故A、B错误；若θ不变，飞行速率v增大，由v＝eq\r(gRtanθ)知，R增大，故C正确；若飞行速率v增大，θ增大，R的变化不能确定，则周期T可能不变，故D正确。B级综合提升练9.(2022·浙江温州模拟)如图7所示，场地自行车赛道与水平面成一定倾角，A、B、C三位运动员骑自行车在赛道转弯处以相同大小的线速度做匀速圆周运动(不计空气阻力)。则下列说法正确的是()图7A.自行车受到地面的静摩擦力指向圆周运动的圆心B.自行车(含运动员)受到重力、支持力、摩擦力、向心力C.A、B、C三位运动员的角速度ωA<ωB<ωCD.A、B、C三位运动员的向心加速度aA>aB>aC答案C解析自行车做匀速圆周运动，地面对自行车的摩擦力不可能是静摩擦力，故A错误；自行车和运动员整体受重力、支持力和摩擦力，合力提供向心力，向心力不是性质力，故B错误；三位运动员的线速度大小相等，根据ω＝eq\f(v,r)，可知半径大的，角速度小，故A、B、C三位运动员的角速度ωA<ωB<ωC，故C正确；三位运动员的线速度大小相等，根据a＝eq\f(v2,r)，可知半径大的，向心加速度小，A、B、C三位运动员的向心加速度aA<aB<aC，故D错误。10.(2022·河北张家口模拟)如图8所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度ω匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别