专题02 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型（原卷版）

专题02模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【类型二不含特殊角的非直角三角形】 10【类型三“独立”型】 15【类型四“背靠背”型】 19【类型五“叠合”型】 25【类型六“斜截”型】 29【典型例题】【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖（垂直于地面）的高度，小明从点看向无人机的仰角为．从无人机处测得看山崖顶端的仰角为，测得看山崖底部处的俯角为，无人机与山崖的水平距离为50米．（图中各点均在同一平面内）．

(1)求山崖的高度（结果保留根号）；(2)若点距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，）【变式训练】1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处．

(1)在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）2．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．

(1)填空：度，度；(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；(3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼EF楼顶E处的俯角为．已知楼和楼之间的距离HF为90米，楼的高度为12米，从楼的E处测得楼的D处的仰角为30°，．（点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内）．（参考数据：）

(1)求楼的高度；(2)求此时无人机距离地面的高度．4．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

(1)求屋顶到横梁的距离；(2)求房屋的高（结果精确到）．5．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点在同一平面内，参考数据：）．

(1)填空：______________度；(2)求楼的高度；(3)求此时无人机距离地面的高度（结果精确到1米）．【类型二不含特殊角的非直角三角形】例题：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在的方格中，两条线段的夹角（锐角）为，则．

【变式训练】1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则．

2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则．3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在中，，，为锐角且．(1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值．4．（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.

(1)若，求的长度；(2)若，求．5．（2023·宁夏吴忠·校考二模）问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，和相交于点P，求的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得，则，连接DM，那么就变换到中，

问题解决：(1)求出图1中的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出．

阅读以上内容，回答下列问题：在中，，．(1)如图3，，，若，则______，______；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．【类型三“独立”型】例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）【参考数据：，，】

【变式训练】1．（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；

3．如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

【类型四“背靠背”型】例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：，，，，）．

【变式训练】1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为．

2．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C两点间的距离：（结果保留根号）(3)求这座大楼的高度．（结果保留根号）3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

(1)填空：______度，______度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度．【类型五“叠合”型】例题：（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【变式训练】1．（2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．

(1)求小明从点A到点的过程中，他上升的高度．(2)大树的高度约为多少米参考数据：，，2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【类型六“斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．

(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，）【变式训练】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结