平面向量及运算法则

平面向量及运算法则1、 向量：（1） 概念：既有 又有的量叫做向量（2） 表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素：、和；记为AB或a（3） 模：AB的长度叫向量的模，记为IABI或IaI（4） 零向量：零向量的方向是任意的 一-单位向量是的向量.（5） 相等向量：的向量叫相等向量了（6） 共线向量：的向量叫平行向量，也叫共线向量2、 向量运算的两个法则：加法法则：（1） 平行四边形法则，要点是：统一起点；（2） 三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从指向。3、 实数人与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作人a，其长度与方向规定如下：（1）以aI=IXIIaI；（2）人＞0时，人a与a同向；人＜0时，人a与a反向；（3）人=—► ―►0时，人a=04、 向量的线性运算满足： -- --（1） X（口a）—―►―►（2） （人+日）a=—►（3） X（a+b）=5、 a//b。b=Xa（a丰0）其中XeR且唯一随堂练习一1.给出下列命题：—► —►—►—►—►—►向量aB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；若a=b,b=c,则a=c；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若IaI=IbI,则a=b。错误!未找到引用源。若a与b共线，b与c共线，则a与c共线其中正确命题的个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个CA的中点，则AF-DB=（D卜列各式中成立的是（2、如图所示，D、E、CA的中点，则AF-DB=（D卜列各式中成立的是（A.FD B.FCC.FE D.B3、在平行四边形ABCD中,A.AB+BC=CAb.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DC4.下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（）A.AB+BC+CA b.OA+OC+BO+COC.AB-AC+BD-CDD.NQ+QP+MN-MP5.在平行四边形ABCD中，若AB+AD=AB-AD则必有（ ）A.AD=0 B.AB=0或AD=0C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形一—16、如图所示，OADB是以向量OA=a，OB=b为边的平行四边形，又BM=^BC,1CN=^CD.试用a，b表示OM，ON，MN.7、设两个非零向量匕、7、设两个非零向量匕、e2不是平行向量• ► ► , I- 4; 4;（1） 如果AB=匕+。2，BC=2匕+8e2，CD=3（匕一%），求证A、B、D三点共线; F F h F（2） 试确定实数k的值，使ke/e2和匕+k%是两个平行向量.

变式：已知OA、OB不共线，OP=aOA+bOB.求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1.平面向量的基本定理：如果［,%是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量“，有且只有一对实数'，七使a=平面向量的坐标运算：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若A(x,y),B(x,y)，则AB=OB—OA=(x,y)—(x,y)=(x—x,y—y)；实数与向11 22， 2，y2 1，y1'V21，y2yV；量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.向量共线的两种判定方法：a〃b(b丰0)。a=Xb。xy—xy=0。12 21.平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是。，则数量lallblcos0叫a与b的数量积，记作a・b，即有ab=lallblCos。，(0^03。并规定0与任何向量的数量积为。。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cose的符号所决定.向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影lblcose的乘积.两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是单位向量；1°e-a=a・e=lalcose；2。 aVb=a-b=0；3°当a与b同向时，a・b=lallbl；当a与b反向时，a・b=—lallbl.特别地a-a=lal2或lal^\aa4°a-b4°cose=allbl5°5°la-bl Wlallblo向量的数量积满足下列运算律已知向量a,bc与实数人。律)以).c=平面向量数量积的坐标表示已知^胃向量a=(x.y),b=(x.y),a.b=1 1 2 2平面内两点间的距离公式2设a=(x,y),a：= 或a二一一_。3.向量垂直的判定a=(x,y),b=(x,y)，贝Ua^b_^a-b=0；=xx+yy=0TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 - 12 12小结：向量共线的两种判定方法a=(x,y),b=(x,y),11 22」 a〃b-(b丰0)=a-Xb=xy-xy=0。12 21向量垂直的两种判定方法a=(x,y),b=(x,y),则alb=a-b=0；11 22=xx+yy=b12 124-平面向量的应用 一一(1)能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。(2)用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。随堂练习1.下列说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量。A.①②B.①③C.②③D①②③2.若向量a=(1,1),b=(1,—1),c=(—1,2),则c等于( )A、D、C、D、TOC\o"1-5"\h\z3.已知向量a=(—2,4)b=(1,-2)则a与b的关系是( )A.不共线 ：8.相等 C.同向D.反向4.已知a=(—L3),b=(x,—1)，且a//b，则x=( )A.3B.-3C.-D.—-3设牛e2是同一平面内所有向量的一殂基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是()—— ——A.—— ——A.e+e和e-e1 2 1 2B.3e1-2e2和4e1-6e2C.e+2e和2e+eD.e+e和e1 2 1 2 1 2 26.已知：I“l=3，lb1=6，当①a〃b，②alb，③a与b的夹角是60°时，分另U求ab与Ia+bl7.设向量a,b满足a=b=1及3a—2b=J7求a,b所成角的大小。求3a+b的值。平面向量的应用能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。随堂练习—— r1.已知AM为AABC的BC边上的中线，若AB=a，AC=b，则AM=( )1 - —1 - —A.—(a—b)21/- —、B. (a—b)2—二 1 —丁C.——(a+b—二 1 —丁C.——(a+b)D.—(a+b)22.已知也1=3,网=5,如果allb，则a-b=—3.(安徽卷理3文3)设向量a=(1,0)，b=，则下列结论中正确的是()A、Ia|=^|2B、a•b 2C、a-b与b垂直D、a〃b4.在△ABC中，AB=a，BC=b，且a・b〈0，则^ABC的形状是( )A.锐角三角形C.钝角三角形B.直角三角形D.不能确定5、设a表示“向东走3km”b表示“向北走3km”则a+b表示] ——6.设AB=a+5b] ——BC=-2a+8b, ——CD=3a-3b，那么下列各组的点中二点一定共线的是()A.A，B，CC.A，B，DB.A，C，DD.B，C，D7.设向量a，b满足lal=lbl=1及13a—2bl=3,求I3a+bl的值.在△ABC中，AB=(1，1)，AC=(2，0，若4ABC中有一个角为直角，求实数k的值.某人在静水中游泳，速度为W3千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少?

10.已知a=(2,1)与b=(1,2)，要使a+tb最小，则实数t的值为11.(重庆卷理2)已知向量a,b满足a-b=0,a=1,b=2,，则2a-b=( )A.0B. 2如2 C.4D.8课后习题一、选择1、下列命题正确的个数是()①AB+BA=0；②0•AB=0；③AB-AC=BC；@0•AB=0A、1B、2A、1B、2C、3D、42、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于()一十吊，-一1 "—»f1,D、A、一—a+—bB、—a——bC、—a——bD、TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 23、已知a=(1,2),b=(2x,-3)且a〃b，则x%()3A、一3-一B、一=一C、0—一D、一44、下列命题中：①若a•b=0,>a=0或b=0；②若不平行的两个非零向量a,b满足a=b，则(a+b)•(a-b)=0；③若a与b平行，则a•b=a•b；④若a〃b,b〃c,则a〃c；其中真命题的个数是()A、1 一B2 --弋、3 D、45、 已知a=J3,b=2J3，a•b=-3，一则a与b的夹角是(一)一一A、150° B、120。 C、60° D、30°f f f f ff6、 若a=(3,4),b=(2,-1),且(a+xb)1(a-b)，则实数乂=()A、23 B、号 C、与 D、与2 3 47、 在AABC中，若\A^=3,AC=4,ABAC=600，则BA•AC=()A、6B、4C、-6D、-4A、6B、4C、-6D、-4二、填空题8、 已知a=(5,x),a=13,则1=9、 已知MA=(-2,4),MB=(2,6)，则1AB=10、 若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三点共线，则x=11、 已知向量a=(6,2)与b=(-3,k)的夹角是钝角，则k的取值范围是 三、解答题12、向量OA