专题2.6乘法公式与几何背景大题专练（分层培优30题七下苏科）-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】（解析版）

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.6乘法公式与几何背景大题专练（分层培优30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)(1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；(2)请探究并直接写出a2(3)利用(2)中的结论，求542.72【答案】(1)a2-(2)a(3)85400【分析】（1）用a为边长的正方形面积减去小正方形面积即可得图①阴影部分面积，直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；（2）根据a2-b（3）根据a2【详解】（1）解：(1)a2(a+b)(a-b)；（2）a2（3）原式=(542.7+457.3)(542.7-457.3)=1000×85.4=85400．【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）图①、图②分别由两个长方形拼成：(1)图②中的阴影部分的面积是：(a+b)(a-b)，那么图①中的阴影部分的面积为______________．(2)观察图①和图②，请你写出代数式a2、b(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y=-6，x2【答案】(1)a(2)a(3)-5【分析】（1）由图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再结合正方形的面积公式即可解答；（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，从而可得出等式；（3）由平方差公式求解即可．【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：a2故答案为：a2（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，∴得出等式：a2故答案为：a2（3）解：∵x2∴(x+y)(x-y)=30．将x+y=-6代入上式，得：-6(x-y)=30，解得：x-y=-5．【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想是解题关键．3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)探究：上述操作能验证的等式是．(2)应用：利用（1）中得出的等式，计算：1-1【答案】(1)a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）(2)11【分析】（1）分别计算图1和图2中剩余部分的面积，根据面积相等即可得出答案；（2）逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．【详解】（1）解：第一个图形中剩余部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）解：1-===【点睛】本题主要考查了平方差公式应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．4．（2023春·江苏·七年级专题练习）在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a＞b），如图①．（1）由图①得阴影部分的面积为．（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为．（3）由（1）（2）的结果得出结论：＝．（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）4041【分析】（1）根据阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积和正方形的面积公式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据（3）所得的结论进行求解即可．【详解】解：（1）由图①得：阴影部分的面积为a2﹣b2．故答案为：a2﹣b2；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为：12（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）（2）的结果得出结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041．【点睛】此题考查了列代数式和含乘方的有理数混合运算，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．5．（2020春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在长方形ACDF中，AC=DF，点B在CD上，点E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S方法一：S=方法二：S=（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）（3）请直接运用（2）中的结论，求当c=5，a=3，S的值【答案】（1）ab+b2，ab+12b2-1【分析】（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可；（2）根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之间的等量关系；（3）先由（2）的结论求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出结论．【详解】（1）由题意，得：方法一：S1方法二：S2故答案为：ab+b2，（2）∵S1∴ab+b∴2ab+2b∴a2（3）∵a2+b2=∴b=c∴S=ab+=28．答：S的值为28．【点睛】本题考查了平方差公式以及整式的混合运算的运用，矩形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，化简求值的运用．6．（2018秋·江苏南京·七年级校联考期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．1画出拼好的长方形，并标注相应的数据；2求拼好后长方形的周长；3若a=9，b=3，求拼好后长方形的面积．【答案】（1）详见解析；（2）4a；（3）72.【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据矩形的周长公式计算即可；（3）根据矩形的面积公式计算即可．【详解】解：1如图所示；2拼好后长方形的周长=4b3拼好后长方形的面积=a当a=9，b=3，【点睛】本题考查平方差公式，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．7．（2020秋·江苏扬州·七年级校联考期中）图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的方法拼成一个边长为m+n的正方形．(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．(2)观察图2写出m+n2，m-n2，mn三个代数式之间的等量关系：(3)根据（2）中你发现的等量关系，解决如下问题：若a+2b=8，ab=72，求【答案】(1)m-n2，(2)m-n(3)36【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；（2）m+n2，m-n2，mn三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．【详解】（1）根据图形可得：方法1：m-n2方法2：m+n2故答案为：m-n2，m+n（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，可得：m-n2故答案为：m-n2（3）∵a+2b=8，ab=7∴==36．【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．8．（2020春·江苏南京·七年级南京市宁海中学分校校考期中）【知识生成】通常情况下、用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式.（1）如图1，请你写出a+b2,a-b【知识应用】（2）根据（1）中的结论，若x+y=4,xy=74，则【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式.如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（3）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以是（4）已知a+b=4，ab=1，利用上面的规律求a3【答案】（1）(a+b)2-4ab=(a-b)2.（2）x-y=3.（3）(a+b)3【分析】（1）根据两种面积的求法的结果相等，即可得到答案；（2）根据第（1）问中已知的等式，将数值分别代入，即可求得答案.（3）根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，则可得到等式；（4）结合a+b=4，ab=1，根据（3）中的公式，变形进行求解即可.【详解】（1）(a+b)2-4ab=（2）x+y=4,xy=74,x-y2=（3）(a+b)3（4）由a+b=4，ab=1，根据第（3）得到的公式可得a3【点睛】本题考查完全平方公式以及立方公式的几何背景，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键.9．（2022春·江苏·七年级专题练习）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______．（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．（3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式：m+n2，m-n2，（4）若x，y都是有理数，x-y=4，xy=5，求x+y的值．【答案】（1）m-n；（2）S阴=m-n2，S阴=m+n-4mn【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2；（4）根据（3）的结论得到（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x-y=4，xy=5代入计算．【详解】解：（1）由题意得：图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n．故答案为：m-n；（2）由题意得：S阴=m-n（3）观察图b，可得三个代数式之间的等量关系为：m-n2（4）∵x-y=4，xy=5，∴x+y2∴x+y=±6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．10．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出(a+b)2，a2，2ab，（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求a2（4）求3.142【答案】（1）a2+4×12ab+b2；(a+b)2；（2）a【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积，第一种用组成正方形的两个小正方形+4个三角形面积，第二种用正方形面积公式边长的平方即可；（2）根据各自表示的面积写出四个代数式之间的等量关系即可；（3）利用面积求出12ab=6，（a+b）2=49，把原式变形a2+b2=（a+b）2-2（4）将算式适当变形，利用完全平方公式进行解答即可．【详解】解：（1）方法一：a2+4×方法二：（a+b）2；

故答案为：a2+4×12ab+b2（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；（3）12ab=6，（a+b）2∴a2+b2=（a+b）2-2ab，=（a+b）2-4×12ab=49-4×6，=25；

（4）3.142=3.142=3.14=10=100．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．B卷能力提升卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）11．（2023春·江苏·七年级专题练习）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到(a+b)2（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a2+b2（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+2y+z=．（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（【分析】（1）依据正方形的面积=(a+b+c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积可表示为(a+b+c)2，正方形的面积也可表示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c=10，ab+ac+bc=35，∴102=a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2=100-70=30，故答案为：30；（3）由题意得：(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab，∴x=2，y=2，z=5，∴x+2y+z=11，故答案为：11；（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=(x+1)(x-1)x，∴x3-x=x(x+1)(x-1)．故答案为：x3-x=x(x+1)(x-1)．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．12．（2021春·江苏盐城·七年级校联考期中）有两根同样长的铁丝．（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．①若其中长方形的长为7cm，宽为3cm，则正方形的边长为cm；②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为cm（用含x、y的代数式表示）；③若长方形的长比宽多tcm，用含t的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；（2）若每根铁丝的长为32cm，现将一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形，拼成如图所示的形状（在同水平线上，两正方形无重叠），两个正方形面积和为34cm2，求阴影部分的面积？（单位【答案】（1）①5；②x+y2；③S=t24【分析】（1）①根据周长相等，可求出正方形的边长；②根据长方形的周长与正方形的周长相等，得出结果，③设出长方形的长，表示宽和周长，进而表示正方形的边长，（2）设两个正方形的边长为a、b，利用面积和，周长和，列方程组求出边长，进而计算出阴影部分的面积．【详解】（1）解：（1）①长方形的周长为：（7+3）×2=20，因此正方形的边长为：20÷4=5cm，故答案为：5；②由题意得，2（x+y）÷4=x+y2故答案为：x+y③设长方形的长为xcm，则宽为x-tcm，则正方形的边长为：2x-t2cm∴S=2x-t（2）设大正方形的边长为acm，小正方形的边长为bcm，由题意得，4a+∴a+b=8∵a2∴由a+b28ab=15∴S阴影部分【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，通过图形直观得出面积和周长的关系是解决问题的关键．13．（2021春·江苏镇江·七年级镇江市外国语学校校考阶段练习）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．（1）对于等式a+2ba+b=a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_____（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？方法1（从整体角度）：_________；方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；数学等式：______________________．（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c=7，a2+b【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15【分析】（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；（3）将（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，再整体代入求值即可．【详解】解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），故答案为：（a+2b），（a+b）；（2）方法1（从整体角度）：（a+b+c）2，方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，因此有数学等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2），∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19，∴2ab+2bc+2ac=49-19=30，∴ab+bc+ac=15．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1；A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为(a+b)的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S=S2-S1，则当a与b满足______时，S【答案】（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）见解析；（3【分析】（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解题；（2）利用因式分解将a2+5ab+6b（3）设DG=x，结合图形，计算S=S2-S1的值得到S【详解】解：（1）从个体看：大正方形面积为a2+2ab+b故得到乘法公式：(a+b)2=a故答案为：(a+b)2=a（2）∵a2+5ab+6；（3）设DG=x，由图可知S1=aS=S=2bx-2ab-(ax-=2bx-2ab-ax+=(2b-a)x+若S=S2-S1即2b-a=0，∴a=2b，此时S=故答案为：a=2b；a2【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．15．（2021春·江苏无锡·七年级校考期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)（1）观察图2请你写出(a+b)2,(a-b)（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，x⋅y=94，则x-y=（3）拓展应用：若(2019-m)2+(m-2021)【答案】（1）a+b2=a-b2+4ab；（2）【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为a+b2-b-a2=（2）根据（1）中的结论，可知x+y2-x-y代入计算即可得出答案；（3）将等式2019-m+【详解】（1）解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为a+b∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，∴a+b故答案为：a+b2（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2=4xy，∵x+y=5，∴52∴x-y∴x-y=±4，故答案为：±4；（3）∵2019-m+m-2021

∴2∴【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．16．（2019春·江苏连云港·七年级统考期中）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）∙（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．17．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是

．（请选择正确的选项）A、aB、a-bC、a(2)用你选的等式进行简便计算：1012(3)用你选的等式进行简便计算：20222【答案】(1)A(2)8(3)146927【分析】（1）根据图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等列出式子即可得到答案；（2）根据（1）的结论进行求解即可；（3）先推出n+12-n2=n+1+n，则可以得到所求式子=2022+2021+2020+⋯+1951+1950+1949【详解】（1）解：由题意得：图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积为：a2图2中图形面积为a+ba-b∵图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等，∴a2故选A；（2）解：101===200×2+196×=400-392=8；（3）解：∵202222020220182∴n+12∴2022=2022+2021+2020+⋯+1951+1950+1949，∵1+2=2×32=3，1+2+3=∴1+2+3+⋯+n=n∴1+2+3+⋯+1947+1948=1948×19491+2+3+⋯+2021+2022=2022×2023∴2022+2021+2020+⋯+1951+1950+1949==146927，∴原式=146927．【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，应用平方差公式进行简便计算，数字类的规律探索，正确理解题意掌握平方差公式是解题的关键．18．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．(1)设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝________，S2＝_______________；(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．【答案】(1)a2-(2)(a+b)(a-b)=(3)2【分析】（1）根据图形直接求面积；（2）根据（1）中的S1（3）根据（2）中的公式逐步运算即可．【详解】（1）解：图①中的面积S1＝a2图②中面积S2＝(a+b)(a-b)；故答案为：a2-（2）由（1）可知（1）S1∴(a+b)(a-b)=a故答案为：(a+b)(a-b)=a（3）(2+1)=(2-1)(2+1)====2【点睛】本题考查平方差公式，数形结合思想，熟练掌握平方差公式是解题的关键．19．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．(1)观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：____________________；(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为____________________；(3)两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你发现a，b，c之间具有的相等关系为____________________.（用最简形式表示）【答案】(1)(2a+b)(a+b)=2(2)(a+b)(a-b)=(3)a【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和即可得；（2）方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和；方法二；图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；（3）方法一：利用直角梯形的面积公式求出这个图形的面积；方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，由此建立等式，并利用完全平方公式进行化简即可得．（1）解：由图可知，大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和，则(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+（2）解：方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和，即a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)，方法二：图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2-b2，则可以得到的乘法公式为（3）解：方法一：这个图形是一个直角梯形，它的面积为(a+b)(a+b)2=a22+ab+b22【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积、乘法公式与图形面积，熟练掌握整式的乘法与乘法公式是解题关键．20．（2023春·江苏·七年级专题练习）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1

图2

图3

图4（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，

∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1

∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，

∴S大正方形=9，又∵ab＝1，

∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．【答案】（1）（a+b）2=a2＋2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）=a2－b2；（2）10；（3）7【分析】（1）图1和图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论；（2）仿照“方法一”进行计算求解即可；（3）根据（2）介绍的方法求出AC和CF边的乘积关系，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可．【详解】解：（1）图1：阴影部分面积等于两个较小正方形面积和两个相同长方形面积之和，即：（a+b）2=a2＋2ab+b2；图2：阴影部分面积等于大正方形面积减去最小正方形的面积以及两个小长方形的面积，即：（a－b）2=a2－2ab+b2；图3：左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即：（a+b）（a－b）=a2－b2；故答案为：图1：（a+b）2=a2＋2ab+b2；图2：（a－b）2=a2－2ab+b2；图3：（a+b）（a－b）=a2－b2．（2）∵（5﹣x）+（x﹣1）＝4，∴5-x+即：5-x2∵（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，∴5-x2故答案为：10；（3）设AC=x，则BC=CF=10-x，由题意，x2∵x+10-x∴x+10-x即：x2∴x10-x∴S阴影=∴图中阴影部分面积为7．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键．C卷培优压轴卷（限时80分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12【答案】（1）图①：a2﹣b2；图②：（a+b）（a﹣b）（2）(a+b)(a﹣应用：①4a2﹣b2+2bc﹣c2；拓展：①6；②20100【分析】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积为长为（a+b），宽为（a-b）的长方形的面积；（2）由图①和图②的面积相等，可得到(a+b)(a﹣b)应用：利用添括号法则，将b-c看做一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可；拓展：①在所求式子前面添加（2-1），利用平方差公式逐步计算即可；②利用平方差公式，每前后两个数的平方差先计算，再进行计算即可．【详解】解：（1）图①：a2﹣b2；

图②：(a+b)(a﹣（2）(a+b)(a﹣【应用】①（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）

＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=264∵24∴264的个位数是6②原式＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+…+（2+1）（2﹣1）＝200+199+198+197+…+4+3+2+1＝20100．【点睛】本题考查的平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．22．（2021春·江苏南京·七年级统考期中）探究活动：（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式__________．知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：（4）计算：①a+b-2ca+b+2c②2a+b-3c-2a+b+3c【答案】（1）a2-b2；（2）a+ba-b；（3）a2-b【分析】（1）阴影部分的面积是大正方形面积-小正方形面积即可；（2）长方形的面积长是（a+b），宽是（a-b），利用矩形面积公式计算即可；（3）利用同一图形变形前后面积不变可以得到公式：a2-b2=（a+b）（a-b），（4）计算：①根据公式的特征把多项式变形a+b-2c②根据公式的特征把多项式变形b+2a-3c【详解】解：（1）阴影部分的面积是：a2-b2，故答案是：a2-b2；（2）长方形的面积是（a+b）（a-b），故答案是：（a+b）（a-b）；（3）可以得到公式：a2-b2=（a+b）（a-b），故答案是：a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）计算：①a+b-2ca+b+2c=a+b=a②2a+b-3c-2a+b+3c=b=b【点睛】本题考查探究平方差公式推导以及应用公式解决问题，掌握平方差公式推导过程和特征会应用公式解决问题是解题关键．23．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；

方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系是：；（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式a2【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）证明见解析【分析】（1）方法一：根据大正方形面积公式可得；方法二：等于两个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的和；（2）根据（1）中两种表示方法可以得到（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系；（3）拼成一个正方形和一个梯形，根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．【详解】解：（1）由题意可得，方法一：（a+b）2；方法二：a2+12ab×4+b2=a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2；（2）由题意可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）用两个完全一样的直角梯形拼成如下两个图形，阴影部分的面积=a2-b2=12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b所以a2【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式、平方差公式及应用．由面积相等得到代数式相等是解决本题的关键．24．（2020春·江苏南京·七年级统考期末）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是．①a2＋ab＝a（a+b）②a2－2ab＋b2＝（a－b）2③a2－b2＝（a＋b）（a－b）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值；②计算1-【答案】（1）③；（2）①3；②101【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把4x2-9y2②利用（1）中的结论化成式子相乘的形式即可求解．【详解】解：（1）第一个阴影部分的面积是a2-则a故选：③

（2）∵4x∴(2x+3y)(2x-3y)=12又2x+3y=4∴2x-3y=12÷4=3故答案为：3②原式=(1-故答案为：101200【点睛】本题考查平方差的实际证明与运用，通过面积相等构造等量关系得出平方差公式，再运用平方差公式求解，属于找规律一般题型．25．（2023春·全国·七年级专题练习）综合与实践如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S(1)请直接用含a和b的代数式表示S1=__________，S2=(2)依据这个公式，康康展示了“计算：2+122解：原式=====2在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：23+1(3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．【答案】(1)a2-b2(2)3(3)证明见详解【分析】（1）根据图形可知S1=a（2）根据康康的演示，可知将2=3-1代入，即可求解；（3）根据（1）中结论，即可求解．【详解】（1）解：根据题意，S1=a∵S1∴a2故答案为：a2-b2；（2）解：2=======3故答案为：332（3）解：设一个奇数为2n-1，则另一个相邻的奇数为2n+1，∴(2n-1)==4n×(-2)=-8n，∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．【点睛】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．26．（2022秋·八年级课时练习）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．【详解】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故选B．（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因为2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案为：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，因此264的个位数字为6．答：其结果的个位数字为6．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．27．（2020春·北京顺义·七年级校考期中）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

（1）图2中的阴影部分的面积为

；（2）观察图2请你写出a+b2，a-b2，ab之间的等量关系是（3）根据（2）中的结论，若x+y=6，x⋅y=114，则x-y=（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式a+2b2a+b【答案】（1）(b-a)2；（2）(a+b)2=(a-b)2+4ab；（【分析】（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；（3）将（x-y）2变形为（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．【详解】解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b-a，∴其面积为：(b-a)2故答案为：(b-a)2（2）大正方形面积为：(a+b)小正方形面积为：(b-a)2=(a-b)四周四个长方形的面积为：4ab，∴(a+b)2故答案为：(a+b)2（3）由（2）知，(x+y)2∴(x-y)2∴x-y=±(x+y)2-4xy故答案为：±5；（4）符合等式(a+2b)(2a+b)=2a【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．28．（2021·江苏镇江·七年级统考期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是a+b2，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示）（2）利用上面结论解决问题：若x+y=6,xy=2，则x-y2=（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（4）利用上面结论解决问题：已知a+b+c=7,ab+bc+ac=14，则a2+（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（6）若a=n2-1,b=2n,c=n2+1，请通过计算说明【答案】（1）b+a2=b-a2+4ab；（2）28；（3）a+b+c2=a2+b【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（2）由（1）得到x+y2（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（4）根据（3）中结论，将已