《导数》学习体会

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〔一〕内容安排

本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分。导数的初步知识。关键是导数概念的建立。这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义。然后讲解并描述初等函数的求导方法，先依据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四那么运算法那么，再进一步给出指数函数和对数函数的导数。

这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“改变率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”。

导数的应用。这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法。然后争论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法。最末在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法。

〔二〕教学目标

依据《大纲》的规定，本章的教学目标是：

1．了解导数概念的某些实际背景〔例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等〕；

掌控函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2．熟记基本导数公式。[c’=o,(c为常数)，〔*n〕’=n(*n-1),(sin*)’=cos*,(cos*)’=-sin*]

3．掌控两个函数和、差、积、商的求导法那么。

4．了解复合函数的求导法那么，会求简约函数的导数。

5．会求指数函数和对数函数的导数。〔熟记e*,a*,ln*,loga*的导数公式〕

6．会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取极值的必

要条件和充分条件〔导数在极值点两侧异号〕；会求一些实际问题〔一般是指单峰函数〕的最大值与最小值。

7．过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想。

〔三〕、重点与难点

从教学角度考虑本章的重点之一是：依据导数定义求简约函数导数的方法。一方面，按导数的定义求导数可以援助同学进一步理解导数的概念；另一方面，像两个函数四那么运算的求导法那么，复合函数的求导法那么等，都是由导数的定义导出的，要掌控这些法那么，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简约初等函数的导数。

从同学掌控知识的角度考虑本章的重点之二是：掌控利用导数判别可导函数极值的方法。教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大〔小〕值的判定，其中最关键的是可导函数极值的判别定。通过判定可导函数的极值，可以使同学加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解；并且，掌控了可导函数极值的判别法之后，再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法，就不成问题了。

难点之一：对导数概念的理解。一方面，导数的概念建立在极限的思想上，因此它比较抽象；另一方面，导数概念的定义方法同学不太熟识。教学中，应结合光滑曲线的斜率，非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景，从物理和几何两方面入手引导同学逐步理解导数的概念。

难点之二：求实际问题〔包括科技、经济、社会中的〕的最大值与最小值。在掌控可导函数极值的判别法之外，判定可导函数的最值并不困难，但对一些实际问题，往往会遇到障碍。这里关键是能从实际问题的不怜悯景出发，建立与之相应的函数关系〔即建模〕

本章共编了9小节，教学课时约需18节〔仅供参考〕

3．1导数的概念约3课时

3．2几种常见函数的导数约1课时

3．3函数的和、差、积、商的导数约2课时

3．4复合函数的导数约2课时

3．5对数函数与指数函数的导数约2课时

3．6函数的单调性约1课时

3．7函数的极值约2课时

3．8函数的最大值与最小值约1课时

3．9微积分建立的时代背景和历史意义约1课时

本章小结与复习约2课时

二、教材主要特点

〔一〕、加强知识发生过程的学习

同学开始接触的知识，关键是对导数的基本概念、性质等有一个初步的认识，进而达到能够运用由其内容反映出来的数学思想和方法的目点。为此，适当介绍有关概念、性质的来龙去脉，对同学了解、把握它们是非常须要的。

本章的主要概念是导数，教科书在讲解并描述导数的概念时，首先用比较多的篇幅介绍了导数产生的几何背景——光滑曲线的切线的斜率，以及物理背景——瞬时速度，由此引出函数在一点的导数的定义。接下来，又阐述了导数的几何意义，这样处理，符合同学的认识规律，有利于同学正确理解和掌控导数的意义。

函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值是导数应用的详细内容，为了使同学能够正确地运用相应的方法，教科书首先从几何直观上让同学了解这此概念，进而引出它们与导数的关系，从而获得解决问题的方法，这样处理，符合知识的发生和进展过程及同学的认识规律，有利于同学正确理解和运用相应的方法。而整章从介绍光滑曲线的斜率，以及物理背景——瞬时速度〔知识的发生〕，到导数的概念和基本函数的导数及有关求导法那么〔知识的进展〕直到最末导数的应用，更是遵循了微积分建立的历史过程。

〔二〕、降低理论要求，重视数学应用

学习导数，要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题。高中阶段，在导数概念的严谨性、知识的系统性上多花时间与精力，既没有须要也不可能收到明显的效果。因此，与以往高中教材中的导数部分比较，本章在数学应用的内容上适当加强了，而在理论要求上那么有所降低。

本章导数的初步知识中介绍了一此导数公式与求导法那么，教材侧重的是公式在求导中的应用，而淡化〔或删除了〕公式与法那么的理论推导。

例如，在导数公式中，函数*m的导数公式只给了m是正整数状况下的证明，函数sin*、cos*的导数公式那么没有给出证明；〔对数函数与指数函数的导数公式没有给出证明，是由于超出了目前的学习范围〕，在两个函数四那么运算的求导法那么中，没有给出商的求导法那么的证明，没有给出复合函数求导法那么的证明〔最近册去〕这些都说明皆在降低理论要求

本章开篇，就用了一个“当容积相同时，圆柱形罐的尺寸怎样，其表面积最小”的实际问题作引言，这是导数应用的问题。在建立导数的概念时，又先由两个详细问题作辅垫，突出了导数与实际问题及有关知识的联系，表达了它的应用价值，这样也可以激发同学学习导数知识的爱好，培育应用知识的意识，有助于激发同学的'创新意识。在详细应用部分，教材重点配备了一些联系实际〔科技、经济、社会〕的例题与习题〔3.8例2、例3，小结复习中例2、习题3.8：3、4、5，复习参考题中A组14、15，B组6等。〕

三、教学中应留意的问题

〔一〕突出教学重点，把握教学要求

为了提高教学效率，在每个知识的教学中，肯定要抓住重点，并把握好教学要求的深度和广度。

1．3.1导数概念中，学习导数概念的实际背景时，侧重点应放在瞬时速度的讲授上，而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料。这是由于所汲及地物理背景比较贴近同学的生活阅历，同学简单理解。可关于曲线的切线，在对极限的思想还不熟识的时候，要同学体会“PQ是曲线的割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P时，假如割线PQ有一个极限位置，那么直线叫做曲线在点P处的切线”这个定义，比较困难。

在导数的定义中，应抓住增量?*,?y的意义，增量?*可正可负，它只是一个转变量。强调定义式f(*0)?limf(*0??*)?y?lim的意义和特征。?*?0?*?*?0?*

2．对于导数公式和两个函数的和、差、积、商的求导法那么，不需要补充介绍其证明，但要熟记公式和法那么，关键是能让同学运用它正确地求简约的初等函数的导数，简约的初等函数把握在习题、复习题的形式为宜，避开过于繁复的运算。

3．复合函数的导数，只需要掌控它的法那么，在这里肯定要掌握好习题的难度〔一般可掌握在幂函数中的复合，和正弦函数、余弦函数构成的复合函数中，复合的次数一般可掌握在两次以内〕。

4．导数应用部分，重点让同学掌控求简约函数极值和单调区间的方法；依据函数图象，利用直观的方法让同学理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的量值与导数的关系。

5．了解通过介绍微积分建立的时代背景和历史意义。

〔二〕留意知识的纵横联系，交叉综合。

学习导数的知识，从纵向看，要与前一章的“极限”知识特别是高一所学的函数知识相联系，从横向看，要重视与物理知识和实际知识的联系。

在本章之前，同学已经学过一些函数的知识。高一所学的一次、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是讨论导数的详细函数，简约的初等函数也由它们复合而成，是学习导数的基础。而函数的单调性和最大值、最小值问题前面已有涉及，但运用的是初等方法，能解决的是几类典型的问题，而求导的方法更具有一般意义，让同学加以对比可以对同学导数的须要性有更深的认识

此外，我们所学的导数是用极限方法定义的，因此，本章与前一章“极限”联系也非常亲密。微积分从它的产生到进展，与物理有着密不可分的联系。教学中，一方面，借助