一元二次方程的应用面积与动点问题八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题17.9一元二次方程的应用：面积与动点问题〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021•龙岗区校级模拟〕如下图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是〔〕A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0【分析】根据矩形的面积＝长×宽，得出此题的等量关系是：〔风景画的长+2个纸边的宽度〕×〔风景画的宽+2个纸边的宽度〕＝整个挂图的面积，由此可得出方程．【解析】依题意，设金色纸边的宽为xcm，〔80+2x〕〔50+2x〕＝5400，整理，得x2+65x﹣350＝0．应选：B．2．〔2021•峨眉山市二模〕我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积〔矩形面积〕，八百六十四〔平方步〕，只云阔〔宽〕不及长一十二步〔宽比长少12步〕，问阔及长各几步．“如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的以下方程中正确的选项是〔〕A．x〔x+12〕＝864B．x〔x﹣12〕＝864C．x2+12x＝864D．x2+12x﹣864＝0【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是〔x﹣12〕步，根据面积为864，即可得出方程．【解析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是〔x﹣12〕步．根据矩形面积＝长×宽，得：x〔x﹣12〕＝864．应选：B．3．〔2021•大连〕如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．假设纸盒的底面〔图中阴影局部〕面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为〔〕A．10×6﹣4×6x＝32B．〔10﹣2x〕〔6﹣2x〕＝32C．〔10﹣x〕〔6﹣x〕＝32D．10×6﹣4x2＝32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，那么纸盒底面的长为〔10﹣2x〕cm，宽为〔6﹣2x〕cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面〔图中阴影局部〕面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，那么纸盒底面的长为〔10﹣2x〕cm，宽为〔6﹣2x〕cm，根据题意得：〔10﹣2x〕〔6﹣2x〕＝32．应选：B．4．〔2021春•北仑区期中〕如图，在一个长方形舞台ABCD中铺上一块正方形的地毯，供演出用．长方形舞台的面积为30m2，假设正方形的边长为xm，那么以下关于x方程正确的选项是〔〕A．〔1.5+x〕〔1+x〕＝30B．〔1.5﹣x〕〔1﹣x〕＝30C．〔3+x〕〔2+x〕＝30D．x2+2×3＝30【分析】由选项可得方程都与长方形的舞台有关，那么关系式为：〔正方形的边长+2〕×〔正方形的边长+3〕＝30，把相关数值代入即可求解．【解析】∵长方形舞台的长为x+3，宽为x+2，所以可列方程为〔3+x〕〔2+x〕＝30，应选C．5．〔2021•遵义〕如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．假设该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，那么可列方程为〔〕A．〔30﹣2x〕〔40﹣x〕＝600B．〔30﹣x〕〔40﹣x〕＝600C．〔30﹣x〕〔40﹣2x〕＝600D．〔30﹣2x〕〔40﹣2x〕＝600【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，那么纸盒底面的长为〔40﹣2x〕cm，宽为〔30﹣2x〕cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设剪去小正方形的边长是xcm，那么纸盒底面的长为〔40﹣2x〕cm，宽为〔30﹣2x〕cm，根据题意得：〔30﹣2x〕〔40﹣2x〕＝600．应选：D．6．〔2021春•萧山区期末〕如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．那么根据题意可列出方程〔〕A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x+x2＝4704C．5000﹣150x﹣x2＝4704D．5000﹣150x+12x2【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：100×50﹣〔100+50〕x+x2＝4704，即5000﹣150x+x2＝4704．应选：B．7．〔2021秋•开封期末〕如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路〔图中阴影局部〕，余下局部种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．那么可列方程为〔〕A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．〔32﹣x〕〔20﹣x〕＝540C．32x+20x＝540D．〔32﹣x〕〔20﹣x〕+x2＝540【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积〞作为相等关系可列方程〔32﹣x〕〔20﹣x〕＝540．【解析】设道路的宽为x，根据题意得〔32﹣x〕〔20﹣x〕＝540．应选：B．8．〔2021•衡阳〕如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，那么小道的宽为多少米？假设设小道的宽为x米，那么根据题意，列方程为〔〕A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．〔35﹣2x〕〔20﹣x〕＝600D．〔35﹣x〕〔20﹣2x〕＝600【分析】假设设小道的宽为x米，那么阴影局部可合成长为〔35﹣2x〕米，宽为〔20﹣x〕米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：〔35﹣2x〕〔20﹣x〕＝600．应选：C．9．〔2021秋•泗阳县期末〕如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路〔图中阴影局部〕，余下局部种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，那么以下方程正确的选项是〔〕A．32×20﹣20x﹣30x＝540B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540C．〔32﹣x〕〔20﹣x〕＝540D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积〞作为相等关系可列方程解答即可．【解析】设道路的宽为x，根据题意得〔32﹣x〕〔20﹣x〕＝540，应选：C．10．〔2021•平顶山模拟〕如下图，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．假设四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，那么根据题意能列出的方程是〔〕A．x2+2x﹣35＝0B．x2+2x+35＝0C．x2+2x﹣4＝0D．x2+2x+4＝0【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论．【解析】依题意，得：〔x+x+2〕2＝4×35+22，即x2+2x﹣35＝0．应选：A．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•松江区期中〕如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是x〔123﹣2x〕＝2000．【分析】等量关系为：x×〔铁栅栏长+3﹣2x〕＝围成矩形的面积，把相关数值代入即可．【解析】设无门的那边长为x米，那么平行于墙的一面长为120+3﹣2x＝123﹣2x，∴工地面积为x〔123﹣2x〕＝2000．故答案为x〔123﹣2x〕＝2000．12．〔2021•黄浦区二模〕如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是4厘米．【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．【解析】设正方形的边长为x厘米，那么矩形的一边长为2x厘米，另一边长为〔x﹣1〕厘米，由题意得，2x〔x﹣1〕﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2〔舍去〕，x2＝4，故答案为：4．13．〔2021秋•闵行区期末〕在工地一边的靠墙处，用32米长的铁栅栏围一个所占地面积为140平方米的长方形临时仓库，并在平行于墙一边上留宽为2米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程〔34﹣2x〕x＝140．【分析】设所求边长为x，那么矩形的长为〔32﹣2x+2〕，然后根据矩形的面积公式列方程即可．【解析】设所求边长为x，那么矩形的长为〔34﹣2x〕．根据题意得：〔34﹣2x〕x＝140．故答案为：〔34﹣2x〕x＝140．14．〔2021春•莱西市期中〕有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片〔如图1〕，截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒〔如图2〕．假设纸盒的底面积为600cm2，那么纸盒的高为5cm．【分析】此题设纸盒的高为xcm，表示出纸盒底面的长和宽，根据面积为600cm2即可列出一元二次方程求解．【解析】设纸盒的高为xcm，那么纸盒的底面长为〔40﹣2x〕cm，宽为〔30﹣2x〕cm，可列方程：〔40﹣2x〕〔30﹣2x〕＝600，解得：x1＝5，x2＝30〔舍去〕，∴纸盒的高为5cm，故答案为：5cm．15．〔2021秋•兴隆台区期末〕如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路〔横向与纵向垂直〕，其余局部种草坪，假设草坪面积为264m2，求道路宽为多少？设宽为xm，那么列出的方程是〔13﹣x〕〔24﹣2x〕＝264．【分析】设宽为xm，剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．【解析】设宽为xm，〔13﹣x〕〔24﹣2x〕＝264．故答案为：〔13﹣x〕〔24﹣2x〕＝264．16．〔2021秋•来宾期末〕如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道〔图中阴影局部〕，其中AB＝CD＝EF＝GH＝xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x＝2m．【分析】由同底等高的平行四边形的面积和矩形的面积相等，可得出种植花草局部可合成长为〔40﹣2x〕m，宽为〔26﹣x〕m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解析】种植花草局部可合成长为〔40﹣2x〕m，宽为〔26﹣x〕m的矩形，依题意得：〔40﹣2x〕〔26﹣x〕＝864，整理得：x2﹣46x+88＝0，解得：x1＝2，x2＝44〔不合题意，舍去〕．故答案为：2．17．〔2021秋•滨海县期中〕如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形〔阴影局部〕，剩余局部可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．那么剪去的正方形的边长为1cm．【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，那么底面的长为〔5﹣2x〕cm，宽为〔3﹣x〕cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解析】设剪去的正方形的边长为xcm，那么底面的长为〔5﹣2x〕cm，宽为62-x＝〔3﹣x〕依题意得：〔5﹣2x〕〔3﹣x〕＝6，整理得：2x2﹣11x+9＝0，解得：x1＝1，x2=9当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；当x=92时，5﹣2x＝﹣4＜故答案为：1．18．〔2021春•任城区期中〕如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒〔t＞0〕．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．那么当t＝52时，四边形AEFD的面积是△ABC【分析】易证四边形AEFD为平行四边形，当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53-3t，根据四边形AEFD的面积是△ABC【解析】∵∠C＝30°，AB＝5，∴DF=12CD，CF=32CD，BC=3∵点E的速度为点D速度的一半，∴AE=12CD＝又∵∠B＝90°，DF⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形．当点D．E运动的时间是t秒时，CD＝2t，AE＝t，CF=3t，BF＝BC﹣CF＝53-依题意，得：AE•BF=12×1即t•〔53-3t〕=12×整理，得：4t2﹣20t+25＝0，解得：t1＝t2=5故答案为：52三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•交城县期末〕第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧?吉赛尔?在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙〔墙26米〕的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？【分析】设封闭型长方形等候区的边AB为x米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得〔48+2﹣2x〕x＝300，再解一元二次方程即可．【解析】设封闭型长方形等候区的边AB为x米，由题意得：x〔48﹣2x+2〕＝300，整理，得x2﹣25x+150＝0，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝30＞26；当x＝15时，BC＝20＜26，∴x＝10不合题意，应舍去．答：封闭型长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．20．〔2021秋•黄浦区校级期中〕如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为〔36﹣3x〕米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【解析】设AB为x米，那么BC为〔36﹣3x〕米，x〔36﹣3x〕＝96，解得：x1＝4，x2＝8，当x＝4时，36﹣3x＝24＞20〔不合题意，舍去〕，当x＝8时，36﹣3x＝12．答：AB＝8米，BC＝12米．21．〔2021秋•嘉定区期中〕如下图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙的墙长为19米，另外三边利用学校现有总长38米的铁栏围成，假设围成的矩形ABCD面积为180平方米，试求出AB的长．【分析】设AB＝x米，那么AD＝〔38﹣2x〕米，根据围成的矩形ABCD面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解析】设AB＝x米，那么AD＝〔38﹣2x〕米，依题意，得x〔38﹣2x〕＝180，整理，得x2﹣19x+90＝0，解得：x1＝9，x2＝10．当x＝9时，38﹣2x＝20＞19，不合题意，舍去；当x＝10时，38﹣2x＝18＜19，符合题意．答：AB的长为10米．22．〔2021秋•浦东新区期中〕如下图，假设要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙〔墙长15米〕，三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽．【分析】设这个长方形花圃的宽为x米，平行于墙的边长为〔30﹣3x〕米，根据面积为63平方米，可列方程求解．【解析】设这个长方形花圃的宽为x米，依题意得：x〔30﹣3x〕＝63，解得：x1＝3，x2＝7，当x＝3时，30﹣3x＝21＞20〔舍去〕．当x＝7时，30﹣3x＝9＜20．答：这个长方形花圃的长为9米，宽为7米．23．〔2021秋•武进区期中〕如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动；〔1〕假设P，Q两点同时出发，几秒后可使△PQC的面积为8cm2？〔2〕假设P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为125〔3〕△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？假设能，求出运动时间；假设不能，请说明理由．【分析】〔1〕设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝〔6﹣x〕cm，CQ＝2xcm，此时△PCQ的面积为：12×2x〔6﹣x〕，令该式＝〔2〕利用CP＝6﹣x，那么CQ＝2x，由勾股定理定理可得解；〔3〕△ABC的面积的一半等于12×12×AC×BC＝12cm2，令12×2x【解析】P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP＝6﹣x，那么CQ＝2x，〔1〕△PQC的面积为8cm2，即12〔6﹣x〕〔2x〕＝8解得x＝2或4，故2秒或4秒后△PQC的面积为8cm2；〔2〕PQ的长度为1255即〔2x〕2+〔6﹣x〕2=144解得x1＝x2＝1.2，PQ的长度为1255〔3〕由题意得：S△ABC=12×AC•BC=12×即：12×2x×〔6﹣x〕=x2﹣6x+12＝0，△＝62﹣4×12＝﹣12＜0，该方程无实数解，所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．24．〔2021春•越城区校级月考〕如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12c