冲刺2022届高考物理大题限时集训07 万有引力与航天（解析）

冲刺2022届高考物理大题限时集训

专题07万有引力与航天

【例题】2021年10月16H,我国成功发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主

快速交会对接，3名航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱，他们将在轨驻留6个

月，任务主要目标为验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。

已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行〃圈

所用时间为人已知它们的总质量为加，它们距地面的高度为力，地球半径为R,引力常量为G。

求：

(1)神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力B

(2)地球的质量M；

(3)地球表面的重力加速度g。

【解析】

(1)组合体绕地球运动的周期

T=-

则所受的万有引力为

(2)根据万有引力等于向心力

解得地球的质量

M=%?(R+A)3

Gt

(3)根据

解得

GM4万(H+/2)3

8=~^=~^

1.卫星的发射及运行

华故黄金代换式）

忽略自转：G^=mg,GM=gR2（

考虑自转

在地面附

两极：G^=

近静止二mg

赤道：耨二

卫星的第一宇宙速度：v=yl^-=y[gR=l.9km/s

发射

(GM1

man—^an—‘一。】】0c/

v2GM1

（天体）=[2产不

Mm「/

卫星在圆G,_Fn_<》

2[GMI

轨道上运

行4TI2/4K2r3小

Uyy—

越高越慢，下【有T与r变化一致

（1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速

度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之.

（2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的

变轨

速度大于内轨道的速度.

（3）根据开普勒第三定律，半径（或半长轴）越大，周期

越长.

2.天体质量和密度的计算

已知g（或可

求

也

心重力加

一以测g）和星

天

的

体一速度法

球半径/?

和

质代己P=^—

密

-3度

3

卫星环已知r（或0）.以4小/

M=B求密度

绕法和轨道半径一

3.双星问题

模型概两星在相互间引力作用下都绕它们连线上的某一点做匀速圆

述周运动

角速度（周期）相等

各自所需的向心力由彼此间的万有引力提

向心力...Gm17772Gm\mi

供/—m\a）?ri,p—mico7n

特点

(1)r\+n=l

轨迹半径关系

(2)m\r\—m2n

.4兀2尸

总质量mi+m2—G户

【变式训练】2020年12月17日，嫦娥五号携带了4斤的月球土壤样本返回地球。

2030年中国计划实现载人登月。到那时候我国宇航员可以在月球上进行一系列的物理实验。例如:

在月球表面附近自八高处以初速度%水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为乙。已知月球半径

为R，万有引力常量为G,不考虑月球自转影响。由以上的数据可求：

（1）月球的质量。

（2）若在月球表面附近上发射一颗卫星，求卫星绕月球做匀速圆周运动的周期。

【答案】（1）GI3.（2）%Vh

【解析】

（1）对平抛运动，则

乙=卬

,12

h=2gt

对月球表面的物体

G-^=mg

解得

2府

g=F

GI}

（2）对月球表面的卫星

，乙jl、2n

成＞（亍）-R=

解得

7卫陛

v07人

1.北京时间2021年5月19日12时（）3分，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”乙运载火

箭，成功将“海洋二号”卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知卫星入轨后绕地球做

匀速圆周运动的轨道半径为人运行周期为T,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G。求:

（1）“海洋二号”做匀速圆周运动的向心加速度的大小。；

（2）地球的半径R。

【答案】（1）产「；（2）

【解析】

（1）卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动，根据匀速圆周运动公式

联立解得

（2）设地球质量为"，地球的半径R,地球表面的重力加速度为g,根据万有引力提供向心力

在地球表面

联立解得

2.2021年2月10日，我国“天问一号”火星探测器顺利进入环火轨道。已知“天问一号”绕火

星做匀速圆周运动的周期为T,距火星表面的高度为〃，火星的半径为R,引力常量为G。求：

（1）火星的质量M；

（2）火星表面的重力加速度g'的大小。

4/(R+〃y

【答案］(1)—GF—；(2)一祈一

【解析】

(1)对探测器，根据万有引力提供向心力

G箭TO

解得

_4/(R+〃)3

GT2

(2)在火星表面，万有引力等于重力

万Mm,,

G-^r=mg

解得

4万2(口+33

8一~­

3.如图所示，我国北斗导航系统中，卫星A与卫星B在同一轨道平面内均绕地心。做逆时针方

向的匀速圆周运动。若卫星A的运动周期为T,卫星B的轨道半径为卫星A轨道半径的2倍。

从某次卫星A、B距离最近时开始计时，求0、A、B三者间第一次和第二次构成直角三角形分别

经历的时间。

【解析】

设卫星A的轨道半径为凡卫星B周期为厂，由万有引力定律和牛顿第二定律可得

G—肠鬼?二〃22(—万2)DR

R2AT

/24、2cn

G—\=m(—yx2R

(2H)2bBV

由题意可知，当NOAB=9ff时，0,A,B三者第一次构成直角三角形，此时44°B=6(X,如图所小

设经过的时间为；，有

*乃24\冗

(于一亍涓=1

联立解得

同理，当4。8=90°时，O,A,B三者第二次构成直角三角形，设经过时间为为，有

2n2乃、71

(---X2=5

解得

4.“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在海南文昌航天发射中心成功发射升空，完成了与

天宫二号空间实验室交会对接。已知地球质量为万有引力常量为G,将地球视为半径为R、

质量均匀分布的球体。

(1)求飞船在距地面高度为h的圆轨道运行时线速度的大小V；

(2)已知地球的自转周期为T,求将质量为m的飞船停放在赤道上时飞船受到重力的大小G觥

(3)海南文昌航天发射场是我国的低纬度滨海发射基地，相比高纬度发射基地，发射相同的同步

轨道静止卫星可节省燃料•，请你从能量的角度说明可能的原因是什么(写出一条即可)。

2

IGMGMm4乃n

4~~----z-----m—r—R

【答案】⑴YR+J⑵六T-.(3)见解析

【解析】

(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律有

GMmv2

-----------=m--------

(R+h)2R+h

解得

GM

V=J----

NR+h

(2)根据万有引力定律及向心力公式，有

_GMm

4储

HIJ

居!=峪+G辨

解得

_GMm4/

G船=下--"?亍-R

(3)在任何地点发射卫星，需要达到的环绕速度是相同的，卫星在地球表面上的不同纬度，随地

球自转，由于角速度相同，依据

%=5

低纬度r大，则vo大，卫星具有的初动能就较大，因此节省燃料

5.已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,引力常量为G。如图所示，A为在地面附近绕

地球做匀速圆周运动的卫星，8为地球的同步卫星。

(1)求卫星A运动的线速度、周期及向心加速度的大小

(2)求卫星8到地面的高度〃。

[GM.(4乃WGM.]GMT-

【答案】⑴7R;VGM.R-(2)74乃-

【解析】

(1)对卫星A,根据万有引力等于向心力可知

乒

VGM

GM

a=——

R2

(2)对同步卫星卫星6,其周期等于地球的自转周期r,则根据

cMm4//八，、

G----------=m——(/?+/?)

2

(R+〃)2T

解得

仁厘-R

V4万~

6.中国“天舟一号”货运飞船顺利完成与“天宫二号”太空实验室的自主快速交会对接试验，此

次试验将中国太空交会对接的两天的准备时间缩短至6.5小时，为中国太空站工程后续研制建设

奠定更加坚实的技术基础。图是“天舟”与“天宫”对接过程示意图，己知“天舟一号”与“天

宫二号”成功对接后，组合体沿圆形轨道运行。经过时间r,组合体绕地球转过的角度为仇地球

半径为R,地球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑地球自转。求：

(1)地球质量M；

(2)组合体运动的周期T；

(3)组合体所在圆轨道离地高度以

【解析】

(1)地球表面质量为加。的物体所受重力等于万有引力，即

①

解得

“吟②

(2)由题意可知组合体运动的角速度为

e

&=一

t③

则组合体运动的周期为

T27r2nt

T=《=W(4)

（3）设组合体质量为如根据牛顿第二定律有

G"等伊训⑤

联立②④⑤解得

n—<--；---K

ve2⑥

7.宇航员在某质量分布均匀的星球表面，以速度竹）竖直上抛一质量为根的物体（引力视为恒力,

阻力可忽略），经过时间/落到地面。已知该行星半径为R,引力常量为G,忽略星球自转的影响,

求:

(1)该星球表面的重力加速度大小;

(2)该星球的质量;

(3)该星球的密度。

【答案】⑴"与；⑵"警；⑷展焉

【解析】

（1）设行星表面的重力加速度为g，对■小球，有

解得

2%

g=­

（2）对行星表面的物体〃?，有

「Mm

6充='%

故行星质量

（3）故行星的密度

M

0=厂

士兀R

3

可得

3%

p=------

2兀GtR

8.两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统，双星

系统运动时;其轨道平面存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（例如人造卫星）

可以与两星体保持相对静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。一般一个双星系统有五个拉格朗

日点。如图所示，一双星系统由质量为M的天体A和质量为m的天体B构成，它们共同绕连线

上的0点做匀速圆周运动，在天体A和天体B的连线之间有一个拉格朗日点P,已知双星间的

距离为L万有引力常量为G,求：

（1）天体A做圆周运动的角速度及半径；

r=lL

（2）若。点距离天体A的距离为3，则M与加的比值是多少？

»*・--、'»

'Ai;'Q\P\IB

_G（M+m）,

0=J-------。----m--L

【答案】（1）、L；M+m.（2）104：19

【解析】

（1）设。点距离天体A、B的距离分别为〃和-2,则

4+a=L

转动的角速度为必对于天体A有

GMm..

———=Mrco2

1}1

对于天体B有

GMm

=mr(xr

~1T2

联立可得

G(M+nr)

co=

-z?

m

4=-----LT

M+m

（2）在P点放置一个极小物体，设其质量为加“，它与A、B转动的角速度相同，对于小物体有

GMm.Gmm（、2,、

代值可得

M:m=104:19

9.2021年10月16日，神舟十三号载人飞船采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱

径向端口，对接过程简化如图所示。神舟十三号先到达天和核心舱轨道正下方力=200米的第一停

泊点并保持相对静止，完成各种测控后，开始沿地心与天和核心舱连线（径向）向天和核心舱靠

近，到距离天和核心舱上=19米的第二停泊点短暂驻留，完成各种测控后，继续径向靠近，以很

小的相对速度完成精准的端口对接。对接技术非常复杂，故做如下简化。假设地球是半径为R。的

标准球体，地表重力加速度为g,忽略自转；核心舱轨道是半径为R的正圆；神舟十三号质量为

nu,对接前组合体的总质量为机2；忽略对接前后神舟十三号质量的变化。

（1）神舟十三号安装有几十台微动力火箭发动机，用以控制其各种平动和转动，维持在第一停泊

点时，需要开启某些发动机，求发动机所提供推力口的大小和方向；

（2）虽然对接时两者相对速度很小，但如果不及时控制也会造成组合体偏离正确轨道，假设不考

虑转动，设对接靠近速度为丫，求控制组合体轨道复位的火箭要对组合体做的功W。

组合体

F

19米停泊点

200米停泊点

*

神舟十三号

叫g&（R-4）一__肛”

【答案】（1）加一4>R」；推力方向从地心指向核心舱；（2）2（叫+如）

【解析】

（1）根据题意可知神舟十三号和核心舱以共同角速度绕地心做圆周运动，设此角速度为0,地球

质量为M地，引力常量为G。在地球表面有

对核心舱根据向心力公式有

'R-

设推力方向从地心指向核心舱，对神舟十三号根