高考复习数学课件

第二节用样本估计总体

现实中的总体所包含的个体往往是很多的，如何求得总体的平均数和标准差呢？提示:通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，这与用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.

给定一个样本，如何确定中位数？提示:由初中学过的中位数的定义知，把样本数据按从小到大的顺序排列，若样本容量为奇数，则排在中间的那个数就是中位数；若样本容量为偶数，则排在中间的两个数的平均数就是中位数.1.一个容量为20的数据样本，分组后，组距与频数如下：［10，20］2个，（20，30］3个，（30，40］4个，（40，50］5个，（50，60］4个，（60，70］2个，则样本在区间（-∞，50］上的频率是（）（A）5%（B）25%（C）50%（D）70%【解析】选D.样本在（-∞，50］上的频率是

=70%.2.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是（）（A）14（B）16（C）15（D）17【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.3.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图，则新生婴儿体重在（2700，3000］的频率为（）（A）0.001（B）0.1（C）0.2（D）0.3【解析】选D.由0.001×300=0.3可知在（2700，3000］的频率为0.3.4.某射击运动员在四次射击中分别打出了10,x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是___.【解析】由9=得x=8.故s2=［（10-9）2+（8-9）2+（10-9）2+（8-9）2］=×4=1.答案:15.甲、乙两个班各随机选出15名同学进行测验，所得成绩的茎叶图如图.从图中看，___班的平均成绩较高.【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，乙班平均成绩较高.答案:乙1.众数、中位数与平均数的异同（1）众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.（2）由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.（3）众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题.（4）某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.2.统计的有关性质及规律（1）若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1+a,mx2+a,…，mxn+a的平均数是（2）若数据x1,x2,…,xn的方差为s2，则数据x′1=x1+a,x′2=x2+a，…，x′n=xn+a的方差也为s2.（3）若x1,x2,…,xn的方差为s2，平均数为，那么ax1,ax2，…，axn的方差为a2s2，平均数为

频率分布直方图在估计总体中的应用【例1】统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是____；优秀率为______.1【审题指导】利用直方图所给的信息，结合相关的关系求解.【自主解答】由已知不低于60分及格，则及格的频率为0.025×10+0.035×10+0.01×20=0.25+0.35+0.2=0.8.∴及格的人数为1000×0.8=800.不低于80为优秀，则优秀的频率为0.01×20=0.2.∴优秀率为20%.答案:80020%【规律方法】频率分布直方图反映了样本的频率分布.（1）在频率分布直方图中纵坐标表示，频率=组距×（2）频率分布表中频率的和为1，故频率直方图中各长方形的面积和为1.（3）用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布.【变式训练】样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在［6，10）内的频数为_____，数据落在［2，10）内的概率约为_____.【解析】样本数据落在［6，10）内的频率为0.08×4=0.32.则频数为0.32×200=64.数据落在［2，10）内的频率为（0.02+0.08）×4=0.4.故样本数据落在［2，10）内的概率约为0.4.答案:640.4【例】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？【审题指导】设出每组的频率.利用频率和为1，求出相应频率、样本容量，再求达标率.【规范解答】（1）由已知可设每组的频率为2x，4x,17x,15x,9x,3x.则2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.则第二小组的频率为0.02×4=0.08，样本容量为12÷0.08=150.（2）次数在110次以上（含110次）的频率和为17×0.02+15×0.02+9×0.02+3×0.02=0.34+0.3+0.18+0.06=0.88.则高一学生的达标率约为0.88×100%=88%.【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个要点：（1）频率分布直方图中各小长方形高的比也就是其频率之比.（2）直方图中每一个小矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率.【变式备选】有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率.【解析】（1）样本的频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，所以小于30.5的频率是0.92，所以数据小于30.5的概率约为0.92.

茎叶图的应用【例2】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531（1）用茎叶图表示两学生的成绩；（2）分别求两学生成绩的中位数和平均分.2【审题指导】根据所给数据，作出茎叶图，再由茎叶图写出中位数，并求出平均数.【自主解答】（1）两学生成绩的茎叶图如图所示（2）甲学生成绩的中位数为537，乙学生成绩的中位数为534，甲学生成绩的平均数为537，乙学生成绩的平均数为537.【规律方法】当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都非常方便，但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了.因为数据较多时，枝叶就会很长，需要占据较多的空间.提醒：当样本数据是两位有效数字，且样本容量又不很大时，用茎叶图显得更容易、方便、直观.【变式训练】甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是（）（A）X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定（B）X甲＞X乙；甲比乙成绩稳定（C）X甲＞X乙；乙比甲成绩稳定（D）X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定【解析】选A.∵X甲=X乙=∴X甲＜X乙且乙比甲成绩稳定.

用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.【审题指导】根据统计知识可知，需要计算两组数据的与s2，然后加以比较，最后再作出判断.3【自主解答】=（27+38+30+37+35+31）=33，

=（33+29+38+34+28+36）=33,s2甲=［（27-33）2+（38-33）2+（30-33）2+（37-33）2+（35-33）2+（31-33）2］=s2乙=［（33-33）2+（29-33）2+（38-33）2+（34-33）2+（28-33）2+（36-33）2］=∴s2甲＞s2乙，由此可以说明，甲、乙二人最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.【规律方法】1.现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道（或不可求）的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差.2.平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定.【变式训练】为了选拔一名同学参加全市中学生射击竞赛，某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试，两人在相同的条件下各射靶10次，统计结果如下：（1）求方差s2乙；（2）比较甲、乙两位同学的射击水平，谁的成绩稳定一些？你认为学校派谁参加竞赛更合适.【解析】（1）s2乙=×［(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2］=×(4+4+0+1+0+1+1+1+0+0)=×12=1.2.（2）∵s2甲>s2乙,∴乙同学的射击水平（成绩）更稳定一些，学校派乙同学参加竞赛更合适.

关于茎叶图解答题的答题技巧【典例】（14分）（2011·杭州模拟）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验.两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399，400,405,412,414，415,421,423,423,427,430,430，434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397，400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430（1）作出茎叶图；（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论.【审题指导】利用茎叶图提取基本的数字特征，进行推断和估计.【规范解答】（1）

…………6分（2）由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据.…………10分（3）结合茎叶图可知：①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；②品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差.………14分【失分警示】1.在解答本题时有两点容易造成失分：一是对于茎叶图中的数据容易漏而造成后面分析不准确，二是在观察茎叶图得到两种品种的平均数和标准差不准确而造成失分.2.此外，在解答茎叶图问题时，以下几点容易造成失分.(1)数据多、读取难而导致茎叶图漏掉数据.(2)数据较大时用茎叶图易出错而失分.【变式训练】美国NBA篮球赛中甲、乙两篮球运动员上赛季某些场次比赛的得分如下：甲：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50.乙：8，13，14，16，21，23，24，26，28，33，38，39，51.（1）画出两组数据的茎叶图；（2）试比较这两位运动员的得分水平.【解析】（1）为便于对比分析，可将茎放在中间共用，叶分列左、右两侧.如图.(2)从这个茎叶图可以看出，甲运动员的得分大致对称，平均得分及中位数都是30多分.乙运动员的得分除一个51分外，也大致对称，平均得分及中位数都是20多分.因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.1.（2010·福建高考）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）(A)91.5和91.5(B)91.5和92(C)91和91.5(D)92和92【解析】选A.根据茎叶图可以从小到大排列出一组数：87，89，90，91，92，93，94，96.所以中位数为中间的两个数的平均数，即为平均数为2.(2010·山东高考)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）（A）92,2（B）92,2.8（C）93,2（D）93,2.8【解题提示】去掉一个最高分和一个最低分后，直接利用平均值和方差计算公式计算即可.【解析】选B.据题意知,所剩数据分别为90，90，93，93，94.故其平均值为方差s2=3.（2010·陕西高考）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为，样本标准差分别为sA和sB,则（）【解析】选B.由两组数据的分布图可以看出样本B的数据一般均高于样本A，即得又由样本B的波动程度小于样本A的波动程度，可知sA>sB.故应选B.4.（2010·福建高考）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于_____.【解析】根据已知条件知：样本的容量答案:605.（2010·浙江高考）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是_____，________.【解析】根据茎叶图所给数据易知两组数据的中位数分别为45，46.答案:4546一、选择题（每小题4分，共20分）1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数，中位数，众数的大小关系是（）（A）平均数>中位数=众数（B）平均数<中位数=众数（C）中位数<众数<平均数（D）众数=中位数=平均数【解析】选D.由所给数据可知平均数为：中位数为50，众数为50,故选D.2.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为（）（A）640（B）320（C）240（D）160【解析】选B.由频率=可知：3.（2011·龙岩模拟）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出一个容量为n且支出在［20，60）的样本，其频率分布直方图如图所示，其支出在［50，60）的同学有30个.则n的值为（）（A）90（B）100（C）900（D）1000【解题提示】利用频率之和为1，求出［50，60）的频率，再求出n值.【解析】选B.［50，60）的频率为1-（0.01+0.024+0.036）×10=1-0.7=0.3，则n==100.4.（2011·浏阳模拟）在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高（单位：cm)分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为174cm,但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为()（A）5（B）6（C）7（D）8【解析】选C.没记录不清楚的运动员身高为y，由茎叶图可得∴y=1218-1041=177，∴x=7.5.一组数据的标准差为s，将这组数据中每一个数据都扩大到原来的2倍，所得到的一组数据的方差是（）（A）（B）4s2（C）2s2

（D）s2【解析】选B.每个数据都扩大到原来的2倍，则也扩大到∵s2=∴s′2二、填空题（每小题4分，共12分）6.(2011·天津模拟）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为____、_____【解析】去掉一个最低分79和一个最高分93，还剩5个数据，则(84+84+84+86+87)=85,s2=［(84-85)2×3+(86-85)2+(87-85)2］=1.6.答案:851.67.某市有200名学生参加数学竞赛，现随机调阅了60名学生的答卷，成绩如表：则样本的数学平均成绩为________，标准差为______（精确到0.01）.【解析】平均成绩s≈1.22.答案:61.228.(2011·宁德模拟)下面是某中学2010年高考各分数段的考生人数分布表:则分数在[700，800)的人数为______________.【解析】由[400，500)中的数据可以求得总人数为

(人).故[600，700)之间的人数为0.425×1200=510(人)，则[700，800)之间的人数为1200-(5+90+499+510+8)=88.答案:88三、解答题（每小题9分，共18分）9.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率.【解题提示】由频率分布表，可估算出电子元件寿命在100h～400h以内或在400h以上的概率.正确列出频率分布表是解决此类题目的关键.【解析】（1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图：（3）由频率分布表可知，电子元件寿命在100h～400h以内的概率约为0.10+0.15+0.40=0.65.（4）电子元件寿命在400h以上的概率约为0.20+0.15=0.35.【方法技巧】几种表示频率分布的方法的比较（1）频率分布表在数量表示上比较确切，但不够