专题13 指数函数（八大题型） 高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）含解析

专题13指数函数（八大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）专题13指数函数（八大题型）高频考点题型归纳【题型1指数函数的判断】【题型2指数函数的解析式与函数值】【题型3指数函数的值域与定义域】【题型4指数型函数图象过定点问题】【题型5比较大小】【题型6解指数不等式】【题型7指数型函数的性质综合运用】【题型8指数型函数的图形问题】【题型1指数函数的判断】1．函数y＝（a2﹣5a+7）ax+6﹣2a是指数函数，则有（）A．a＝2或a＝3 B．a＝3 C．a＝2 D．a＞2或a≠32．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1 C．a＞且a≠1 D．a3．如果函数f（x）＝2a•3x和g（x）＝2x﹣（b+3）都是指数函数，则ab＝（）A． B．1 C．9 D．84．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，+∞） B．[0，1）∪（1，+∞） C．∪（1，+∞） D．【题型2指数函数的解析式与函数值】5．指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）图像经过点（3，27），则f（2）＝（）A．3 B．6 C．9 D．126．指数函数y＝ax的图象经过点，则a的值是（）A． B． C．2 D．47．已知指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（4）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．168．若函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，则f（）的值为（）A．2 B．3 C． D．4【题型3指数函数的值域与定义域】9．函数y＝（）x在[1，2]上的值域为（）A．[0，+∞） B．[0，4] C．[0，] D．[，]10．函数定义域为（）A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）11．函数的值域为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1）12．函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R13．函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，4） B．（0，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）14．函数的值域为．15．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）＝3x的值域是．16．函数f（x）＝3x+5的值域是．17．若指数函数y＝ax的定义域和值域都是[2，4]，则a＝；18．函数y＝的定义域为．19．函数y＝的定义域是．20．函数y＝的定义域为，值域为．21．函数f（x）＝的定义域为．22．函数的定义域是．23．若函数f（x）的定义域是[1，4]，则函数f（2x）的定义域是．【题型4指数型函数图象过定点问题】24．函数y＝ax+1﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，0）25．函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a≠1）的图象恒过的定点是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（1，1） D．（1，2）26．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象过定点（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣1） C．（1，﹣2） D．（1，﹣1）27．已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）的图像恒过一点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）的图像上，则的最小值为（）A．4 B．6 C．7 D．828．已知函数f（x）＝5+a2﹣x的图像恒过定点P，则点P的坐标是（）A．（2，6） B．（1，5） C．（0，5） D．（0，6）29．已知函数y＝2ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．30.若函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则A坐标为．31．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．32．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1），当a任意变化时，f（x）的图像恒过点（1，1），则实数b＝．【题型5比较大小】33．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a34．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a35．若，，，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c36．已知a＝0.3﹣0.3，b＝0.3﹣0.2，c＝2﹣0.01，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【题型6解指数不等式】37．已知f（x）＝ax（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜138．已知函数f（x）＝（k+2）•ax+2﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数．（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣5）＞f（3x﹣1）．39．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，其中m为实数，（1）求m的值；（2）解关于x的不等式．40．已知函数f（x）＝（2a2﹣7a+4）ax是单调递减的指数函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞f（﹣3）的解集．41．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；（2）解关于x的不等式：．42．已知函数f（x）＝ax+b（0＜a＜1）的图象经过点（0，﹣1）．（1）求实数b；（2）若f（x2﹣2x）＜f（3），求x的取值集合．43．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．44．若函数f（x）＝（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数．（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）．45．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（2）﹣4f（1）＝﹣4．（1）求a的值（2）若f（3m﹣2）＜f（2m+5），求实数m的取值范围．46．已知指数函数f（x）的图象经过点P（2，）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（2x2﹣3x+1）＞f（x2+3x﹣4），求x的取值范围．【题型7指数型函数的性质综合运用】47．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{y|y＝2x，x＜1}，则A⋂B＝（）A．（﹣∞，3） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（2，3）48．设集合，B＝{y|y＝2x+2}，则A∪B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}49．设x∈R，则“x2＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件50．已知函数f（x）＝（a2﹣5a+7）⋅（a﹣1）x是指数函数．（1）求实数a的值；（2）已知g（x）＝f2（x）﹣2f（x）+3，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．51．函数f（x）＝4x﹣2x+1+3的定义域为x．（Ⅰ）设t＝2x，求t的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．52．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图像经过点（﹣2，9）．（1）求a的值；（2）当x∈[﹣2，0]时，求函数g（x）＝a2x﹣ax﹣1的值域．53．已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y＝f（x）+1（x≥0）的值域．【题型8指数型函数的图像问题】54．若指数函数f（x）＝ax的图象和函数g（x）＝3x+5（x≥﹣1）的图象相交，则（）A． B． C．a∈[，1）∪（1，+∞） D．a∈（0，]∪（1，+∞）55．指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是（）A． B． C． D．56．若f（x）＝ax﹣b的图像如图，（a，b是常数），则（）A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，专题13指数函数（八大题型）高频考点题型归纳【题型1指数函数的判断】【题型2指数函数的解析式与函数值】【题型3指数函数的值域与定义域】【题型4指数型函数图象过定点问题】【题型5比较大小】【题型6解指数不等式】【题型7指数型函数的性质综合运用】【题型8指数型函数的图形问题】【题型1指数函数的判断】1．函数y＝（a2﹣5a+7）ax+6﹣2a是指数函数，则有（）A．a＝2或a＝3 B．a＝3 C．a＝2 D．a＞2或a≠3【答案】B【解答】解：由题意可知，，解得a＝3．故选：B．2．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1 C．a＞且a≠1 D．a【答案】C【解答】解：函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则，解得a＞且a≠1；所以a的取值范围是{a|a＞且a≠1}．故选：C．3．如果函数f（x）＝2a•3x和g（x）＝2x﹣（b+3）都是指数函数，则ab＝（）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【解答】解：根据题意可得，﹣（b+3）＝0⇒b＝﹣3，则．故选：D．4．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，+∞） B．[0，1）∪（1，+∞） C．∪（1，+∞） D．【答案】C【解答】解：根据指数函数的定义可得：2a﹣1＞0且2a﹣1≠1，则a＞且a≠1，所以实数a的取值范围为（）∪（1，+∞），故选：C．【题型2指数函数的解析式与函数值】5．指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）图像经过点（3，27），则f（2）＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解答】解：由题意，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）图像经过点（3，27），则有a3＝27，解得a＝3，故f（x）＝3x，所以f（2）＝32＝9．故选：C．6．指数函数y＝ax的图象经过点，则a的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【解答】解：由题意得，a3＝＝，故a＝，故选：B．7．已知指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（4）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解答】解：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），∵函数y＝f（x）的图象过点（2，4），∴a2＝4，得a＝2，∴f（x）＝2x，由f（4）＝24＝16．故选：D．8．若函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，则f（）的值为（）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【解答】解：因为函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，所以a﹣3＝1，即a＝8，所以f（x）＝8x，则f（）＝2．故选：A【题型3指数函数的值域与定义域】9．函数y＝（）x在[1，2]上的值域为（）A．[0，+∞） B．[0，4] C．[0，] D．[，]【答案】D【解答】解：∵∈（0，1），∴指数函数y＝（）x在[1，2]上为减函数，可得函数的最大值为f（1）＝，最小值为f（2）＝．因此，函数y＝（）x在[1，2]上的值域为[，]．故选：D．10．函数定义域为（）A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【答案】D【解答】解：∵，∴函数定义域{x|x＜1，或x＞2}，故选：D．11．函数的值域为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1）【答案】D【解答】解：∵＞0，∴，∴＝∈（0，1），故选：D．12．函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R【答案】D【解答】解：函数f（x）＝2x的定义域为R，故选：D．13．函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，4） B．（0，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）【答案】C【解答】解：由题意令t＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2≥﹣2∴y＝≤＝4∴0＜y≤4故选：C．14．函数的值域为．【答案】．【解答】解：因为，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以，又恒成立，所以函数f（x）的值域为．故答案为：．15．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）＝3x的值域是[，3]．【答案】[，3]．【解答】解：∵f（x）在R上单调递增，且x∈[﹣1，1]，f（﹣1）＝，f（1）＝3，∴f（x）的值域为[，3]，故答案为：[，3]16．函数f（x）＝3x+5的值域是（5，+∞）．【答案】见试题解答内容【解答】解：令t＝3x，因为y＝3x单调递增，所以则t＞0函数f（x）＝3x+5的值域是（5，+∞）故答案为：（5，+∞）．17．若指数函数y＝ax的定义域和值域都是[2，4]，则a＝；【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：a＞1时，函数是增函数，故a2＝2，解得：a＝，0＜a＜1时，函数是减函数，故a2＝4，解得：a＝2，不合题意，舍，综上：a＝，故答案为：．18．函数y＝的定义域为[1，+∞）．【答案】见试题解答内容【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．19．函数y＝的定义域是[4，+∞）．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据函数有意义条件可得，2x﹣1﹣8≥0即2x﹣1≥23因为函数y＝2x在R上单调递增所以x﹣1≥3所以x≥4故答案为：[4，+∞）20．函数y＝的定义域为R，值域为[）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵不论函数y＝中的x取何值，函数总有意义，∴函数y＝的定义域为R．令u＝3+2x﹣x2，则y＝．∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]∵函数y＝为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]∴∈[，+∞），即y∈[，+∞），∴函数的值域为[，+∞），故答案为[，+∞）21．函数f（x）＝的定义域为R．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，3x+1≠0，上式对任意x都成立，故函数f（x）＝的定义域为R．故答案为：R．22．函数的定义域是（3，+∞）．【答案】见试题解答内容【解答】解：要使函数有意义：即：解得：x＞3．故答案为：（3，+∞）．23．若函数f（x）的定义域是[1，4]，则函数f（2x）的定义域是[0，2]．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题设条件知1≤2x≤4，解得0≤x≤2．故答案为：[0，2]．【题型4指数型函数图象过定点问题】24．函数y＝ax+1﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，0）【答案】B【解答】解：由指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1），所以在函数y＝ax+1﹣1中，当x＝﹣1时，恒有y＝0，所以y＝ax+1﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点（﹣1，0）．故选：B．25．函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a≠1）的图象恒过的定点是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（1，1） D．（1，2）【答案】B【解答】解：令x﹣2＝0，即x＝2，得y＝2，函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a≠1）的图象恒过的定点是（2，2）．故选：B．26．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象过定点（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣1） C．（1，﹣2） D．（1，﹣1）【答案】D【解答】解：依题意，因为f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1），所以令x﹣1＝0，解得：x＝1，所以f（1）＝a1﹣1﹣2＝a0﹣2＝1﹣2＝﹣1，所以函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，﹣1）．故选：D．27．已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）的图像恒过一点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）的图像上，则的最小值为（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解答】解：函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1），令x﹣2＝0得，x＝2，此时f（2）＝a0+1＝2，∴函数f（x）的图像恒过定点（2，2），即P（2，2），又∵点P在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）的图像上，∴2m+2n﹣1＝0，∴m+n＝，∴＝2（m+n）（）＝2（2+）＝8，当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立，∴的最小值为8．故选：D．28．已知函数f（x）＝5+a2﹣x的图像恒过定点P，则点P的坐标是（）A．（2，6） B．（1，5） C．（0，5） D．（0，6）【答案】A【解答】解：令2﹣x＝0得，x＝2，此时y＝a0+5＝6，∴定点P的坐标为（2，6），故选：A．29．已知函数y＝2ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（2，﹣1）．【答案】（2，﹣1）．【解答】解：令x﹣2＝0，得x＝2，则y＝2a0﹣3＝﹣1．所以函数y＝2ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．30.若函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则A坐标为（1，2）．【答案】（1，2）．【解答】解：由x﹣1＝0得x＝1，此时f（1）＝a0+1＝1+1＝2，即函数f（x）过定点A（1，2），故答案为：（1，2）．31．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．【答案】．【解答】解：函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1），令1﹣x＝0得，x＝1，∴A（1，1），又∵点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴＝（）（m+n）＝＝，当且仅当，即m＝﹣1，n＝2﹣时，等号成立，∴的最小值为，故答案为：．32．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1），当a任意变化时，f（x）的图像恒过点（1，1），则实数b＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：因为f（x）的图像恒过点（1，1），所以f（1）＝a1+b＝1，当a任意变化时，该式恒成立，所以1+b＝0，即b＝﹣1．故答案为：﹣1．【题型5比较大小】33．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解答】解：，在（0，+∞）上单调递增，，，，故．综上，c＜a＜b．故选：A．34．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解答】解：∵0＜0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，∴0＜c＜b＜1，∵20.2＞20＝1，∴a＞1，∴a＞b＞c，故选：A．35．若，，，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】D【解答】解：，，＝，y＝在第一象限内是增函数，，故＜，即b＜a＜c．故选：D．36．已知a＝0.3﹣0.3，b＝0.3﹣0.2，c＝2﹣0.01，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【答案】A【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，a＝0.3﹣0.3，b＝0.3﹣0.2，所以a＞b，且b＝0.3﹣0.2＞0.30＝1，而y＝2x在R上单调递增，所以c＝2﹣0.01＜20＝1，所以a＞b＞c．故选：A．【题型6解指数不等式】37．已知f（x）＝ax（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1【答案】B【解答】解：∵f（x）＝ax（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），∴f（x）在R上是增函数，∴a＞1故选：B．38．已知函数f（x）＝（k+2）•ax+2﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数．（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣5）＞f（3x﹣1）．【答案】（1）k＝﹣1且b＝2；（2）当a＞1时，不等式解集为{x|x＜﹣4}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞﹣4}．【解答】解：（1）∵f（x）＝（k+2）ax+2﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数，∴k+2＝1且2﹣b＝0．∴k＝﹣1且b＝2；（2）由（1）得f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则f（2x﹣5）＞f（3x﹣1）即a2x﹣5＞a3x﹣1，①当a＞1时，f（x）＝ax单调递增，则不等式等价于2x﹣5＞3x﹣1，解得x＜﹣4，②当0＜a＜1时，f（x）单调递减，则不等式等价于2x﹣5＜3x﹣1，解得x＞﹣4，综上，当a＞1时，不等式解集为{x|x＜﹣4}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞﹣4}．39．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，其中m为实数，（1）求m的值；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）3；（2）．【解答】解：（1）函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，则，解得m＝3；（2）由（1）得，m＝3，所以原不等式为．因为在定义域[0，+∞）是增函数，所以，解得，故原不等式的解集为．40．已知函数f（x）＝（2a2﹣7a+4）ax是单调递减的指数函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞f（﹣3）的解集．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）{x|x＜﹣2}．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（2a2﹣7a+4）ax是单调递减的指数函数，∴，解得a＝，（3舍）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）＝（）x，∴不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞f（﹣3），即（）2x﹣（）x﹣1＞（）﹣3＝8，∴（（）x﹣4）（（）x+2）＞0，可得（）x＞4，解得x＜﹣2，故不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞f（﹣3）的解集为：{x|x＜﹣2}．41．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；（2）解关于x的不等式：．【答案】（1）y＝2x；（2）{x|x＜}．【解答】解：（1）由题意得（a﹣1）2＝4且a﹣1＞0，所以a﹣1＝2，所以y＝2x；（2）由于a﹣1＞0且a﹣1≠1，即a＞1且a≠2，原不等式可转化为|3x﹣4|＜3，解得x＜，故不等式的解集为{x|x＜}．42．已知函数f（x）＝ax+b（0＜a＜1）的图象经过点（0，﹣1）．（1）求实数b；（2）若f（x2﹣2x）＜f（3），求x的取值集合．【答案】（1）b＝﹣2；（2）（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【解答】解：（1）函数f（x）＝ax+b经过点（0，﹣1），则﹣1＝a0+b（0＜a＜1），所以b＝﹣2；（2）因为0＜a＜1，所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x2﹣2x）＜f（3），所以x2﹣2x＞3，即（x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，所以x的取值集合为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．43．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4），则4＝a2，解得a＝2，所以f（x）＝2x；（Ⅱ）由①可知，f（x）＝2x，则f（x）在R上为单调递增函数，不等式f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，等价于f（2m﹣1）＜f（m+3），所以2m﹣1＜m+3，解得m＜4，所以实数m的取值范围为（﹣∞，4）．44．若函数f（x）＝（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数．（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵f（x）＝（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数，∴k+3＝1且3﹣b＝0．…（2分）∴k＝﹣2且b＝3…（4分）（2）由（1）得f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）即a2x﹣7＞a4x﹣3…（6分）①当a＞1时，f（x）＝ax单调递增，则不等式等价于2x﹣7＞4x﹣3，解得x＜﹣2，…（9分）②当0＜a＜1时，f（x）单调递减，则不等式等价于2x﹣7＜4x﹣3，解得x＞﹣2，…（11分）综上，当a＞1时，不等式解集为{x|x＜﹣2}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞﹣2}…（12分）45．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（2）﹣4f（1）＝﹣4．（1）求a的值（2）若f（3m﹣2）＜f（2m+5），求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2；（2）m∈（﹣∞，7）．【解答】解：（1）由题意f（2）﹣4f（1）＝﹣4，则a2﹣4a＝﹣4，解得a＝2综上所述，结论是：a＝2．（2）由（1）知f（x）＝2x，则f（x）是R上的增函数，因为f（3m﹣2）＜f（2m+5）则3m﹣2＜2m+5，解得m＜7综上所述，结论是：m∈（﹣∞，7）46．已知指数函数f（x）的图象经过点P（2，）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（2x2﹣3x+1）＞f（x2+3x﹣4），求x的取值范围．【答案】（1）f（x）＝．（2）（1，5）．【解答】解：（1）设指数函数f（x）＝ax，a＞0且a≠1，根据它的图象经过点P（2，），可得a2＝，∴a＝，f（x）＝．（2）若f（2x2﹣3x+1）＞f（x2+3x﹣4），∵f（x）＝是R上的减函数，∴2x2﹣3x+1＜x2+3x﹣4，即x2﹣6x+5＜0，求得1＜x＜5，∴x的取值范围为（1，5）．【题型7指数型函数的性质综合运用】47．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{y|y＝2x，x＜1}，则A⋂B＝（）A．（﹣∞，3） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（2，3）【答案】B【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，得（x﹣3）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜3，所以A＝{x|﹣1＜x＜3}，因为x＜1，所以以0＜2x＜21＝2，所以B＝{y|0＜y＜2}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{y|0＜y＜2}＝（0，2）．故选：B．48．设集合，B＝{y|y＝2x+2}，则A∪B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}【答案】B【解答】解：因为＝{x|x≥1}，B＝{y|y＝2x+2}＝{y|y＞2}，则A∪B＝[1，+∞）．故选：B．49．设x∈R，则“x2＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：若x2＜1，解得﹣1＜x＜1，若2x＜1＝20，注意到y＝2x在定义域内单调递增，解得x＜0，故“﹣1＜x＜1”是“x＜0”的既不充分也不必要条件．故选：D．50．已知函数f（x）＝（a2﹣5a+7）⋅（a﹣1）x是指数函数．（1）求实数a的值；（2）已知g（x）＝f2（x）﹣2f（x）+3，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．【答案】（1）a＝3；（2）[2，11]．【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝3；（2）由（1）可得f（x）＝2x，因为x∈[﹣1，2]，令t＝f（x），，令h（t）＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2，则g（x）min＝h（1）＝2，g（x）max＝h（4）＝11，因此函数g（x）的值域为[2，11]．51．函数f（x）＝4x﹣2x+1+3的定义域为x．（Ⅰ）设t＝2