一章集合常用逻辑用语不等式一节

第一节集合⁠1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义.3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.010203

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠⁠1.元素与集合（1）集合元素的三个特性：

确定性

⁠、

无序性

⁠、

互异性

⁠；（2）集合的三种表示方法：

列举法

⁠、

描述法

⁠、

图示法

⁠；确定性

无序性

互异性

列举法

描述法

图示法

（3）元素与集合的两种关系：属于，记为

∈

⁠；不属于，记为

∉

⁠；（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示

正整数

⁠集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示

整数

⁠集，Q表示

有理数

⁠集，R表示实数集.∈

∉

正整数

整数

有理数

提醒

（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.2.集合间的基本关系（1）子集：若对于任意的x∈A都有

x∈B

⁠，则A⊆B；（2）真子集：若A⊆B，存在x∈B，且x∉

⁠A，则A⫋B；（3）相等：若A⊆B，且

B⊆A

⁠，则A＝B；（4）⌀是任何集合的子集，是

任何非空

⁠集合的真子集.x∈B

∉

B⊆A

任何非空

3.集合的基本运算并集交集补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示⁠⁠⁠集合表示{x｜x∈A，或x∈B}

{x｜x∈A，且x∈B}

⁠{x｜x∈U，且x∉A}{x｜x∈A，且x∈B}

⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）任何一个集合都至少有两个子集.

（

）答案：（1）×

（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合.

（

）答案：（2）√

（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（

）答案：（3）×

（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.

（

）答案：（4）×

（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.

（

）答案：（5）×2.（2022·全国甲卷）设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则∁U（A∪B）＝

（

）A.{1，3}B.{0，3}C.{－2，1}D.{－2，0}解析：D

集合B＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以∁U（A∪B）＝{－2，0}.故选D.3.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，则A∩B＝

（

）A.{－1，2}B.{1，2}C.{1，4}D.{－1，4}解析：B

法一：由｜x－1｜≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x｜0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}，故选B.法二：因为4∉B，所以4∉A∩B，故排除C、D；又－1∉B，所以－1∉A∩B，故排除A.故选B.4.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，N为自然数集，则

（

）A.2∈PB.P＝{－2，2}C.{⌀}⊆PD.P⫋N解析：AB

P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A正确且B正确.⌀不是P中的元素，故C错误.因为－2∉N，故P⫋N错误，故D错误.5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为

⁠.

解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案：1或4⁠1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.⁠1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为

（

）A.4B.6C.8D.9解析：C

因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论1得A∩B的子集个数为23＝8，故选C.2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是

⁠.

解析：如图，在数轴上表示出A，B.由结论3可得A⊆B，所以a≤1.答案：（－∞，1]02⁠集合的基本概念1.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界.这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为

（

）A.3B.4C.5D.6解析：C

由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，所以有5个元素.故选C.2.设集合A＝{x｜3x－1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是

（

）A.2＜m＜5B.2≤m＜5C.2＜m≤5D.2≤m≤5解析：C

∵集合A＝{x｜3x－1＜m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1＜m且3×2－1≥m，解得2＜m≤5.故选C.3.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，则集合B为

⁠.

解析：由题意知，0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.答案：{0，1，2}

答案：0｜练后悟通｜

解决与集合含义有关问题的关键有三点：一是确定集合的类型是点集、数集，还是其它类型的集合；二是确定元素的一般特征；三是根据元素的限制条件（满足的条件）构造关系式解决相应问题.提醒

集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意.集合间的基本关系【例1】

（1）已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可为A的子集的是（

）A.{x｜－2＜x＜3}B.{x｜0＜x＜3}C.{0，1，2}D.{－1，1，2}解析

（1）A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}⊆{0，1，2}.故选C.答案

（1）C

（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为

⁠.

答案

（2）（－∞，3]｜解题技法｜1.判断集合间关系的常用方法（1）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系；（2）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断.2.由集合间的关系求参数的解题策略已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.提醒

当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况.⁠1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（

）解析：A

因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为

⁠.

答案：[－2，2）集合的基本运算考向1

集合的运算

A.{x｜0≤x＜2}C.{x｜3≤x＜16}

法二（特取法）：观察选项进行特取，取x＝4，则4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，则1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故选D.答案

（1）D（2）设全集U＝{x∈Z｜｜x｜≤2}，A＝{x｜x＋1≤0，x∈U}，B＝{－2，0，2}，则（∁UA）∪B＝

（

）A.{1}B.{0，2}C.{－2，0，1，2}D.（－1，2]∪{－2}解析

（2）由题意可知U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1}，所以∁UA＝{0，1，2}，又B＝{－2，0，2}，所以（∁UA）∪B＝{－2，0，1，2}，故选C.答案

（1）D

（2）C｜解题技法｜集合基本运算的方法技巧考向2

利用集合的运算求参数【例3】

（1）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B＝

（

）A.{1，2，3}B.{0，1，2，4}C.{0，1，2}D.{0，1，2，3}解析

（1）由于1∈A∩B，所以12－4×1＋m＝0，m＝3，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}.故选D.答案

（1）D

（2）已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是

（

）A.（－∞，－1）B.（－∞，－1]C.（－∞，0）D.（－1，0）解析

（2）如图，在数轴上表示出集合A，若A∪B＝R，则由图易知a≤－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1]，故选B.答案

（2）B｜解题技法｜利用集合的运算求参数的方法（1）一般地，若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解；（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.考向3

集合的新定义问题【例4】

（1）对于集合A，B，定义集合A－B＝{x｜x∈A且x∉B}.已知集合U＝{x｜－2＜x＜6，x∈Z}，A＝{0，2，4，5}，B＝{－1，0，3}，则∁U（A－B）＝

（

）A.{－1，0，1}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1，3}D.{0，1，3}解析

（1）结合新定义可知A－B＝{2，4，5}，又U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，所以∁U（A－B）＝{－1，0，1，3}，故选C.答案

（1）C

答案

（2）1｜解题技法｜解决以集合为背景的新定义问题的关键（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在；（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.⁠1.已知集合M＝{1，3}，N＝{1－a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a＝（

）A.－2B.－1C.0D.1解析：B

因为M∪N＝{1，2，3}，M＝{1，3}，2∉M，所以2∈N，又N＝{1－a，3}，所以1－a＝2，解得a＝－1，故选B.2.已知集合M＝{x｜x2－3x－10＜0}，N＝{x｜－3≤x≤3}，且M，N都是全集R的子集，则如图所示Venn图中阴影部分所表示的集合为

（

）A.{x｜3＜x≤5}B.{x｜x＜－3或x＞5}C.{x｜－3≤x≤－2}D.{x｜－3≤x≤5}解析：C

由题图知阴影部分所表示的集合为N∩（∁RM）.∵M＝{x｜x2－3x－10＜0}＝{x｜（x－5）·（x＋2）＜0}＝{x｜－2＜x＜5}，∴∁RM＝{x｜x≤－2或x≥5}，∴N∩（∁RM）＝{x｜－3≤x≤－2}，故选C.3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝

⁠.

解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.答案：{x｜－3≤x＜0或x＞3}03⁠1.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，则（

）A.P⊆QB.Q⊆PC.P∩Q＝PD.P∪Q＝Q解析：B

由题意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q⊆P，故A错误，B正确，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D错误.故选B.

A.{x｜－1＜x＜2}B.{x｜0＜x＜1}C.⌀D.{x｜0＜x＜2}解析：B

由题意知B＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以∁RB＝{x｜－1＜x＜1}，所以A∩（∁RB）＝{x｜0＜x＜1}，故选B.3.已知全集U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，A∩B＝⌀，A∩（∁UB）＝{1，2，4}，B＝{0，3，a}，则a＝

（

）A.1B.3C.5D.6解析：C

因为A∩（∁UB）＝{1，2，4}，所以1，2，4∈∁UB，则1，2，4∉B，1，2，4∈A，又U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，A∩B＝⌀，所以0，3，5∈B，即B＝{0，3，5}，所以a＝5.故选C.4.设集合A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为

（

）A.0B.1C.2D.3

5.定义集合A，B的一种运算：A

B＝{x｜x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，则A

B中的元素个数为

（

）A.1B.2C.3D.4解析：C

结合新定义计算得（－1）2－1＝0，02－1＝－1，（－1）2－2＝－1，02－2＝－2，所以A

B＝{－2，－1，0}，故集合A

B中的元素个数为3，故选C.6.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝

（

）A.M∩NB.∁RMC.∁R（M∩N）D.∁R（M∪N）解析：BC

因为集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}，∁RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以∁R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}，∁R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故选B、C.7.（多选）已知全集U的两个非空真子集A，B满足（∁UA）∪B＝B，则下列关系一定正确的是

（

）A.A∩B＝⌀B.A∩B＝BC.A∪B＝UD.（∁UB）∪A＝A解析：CD

令U＝{1，2，3，4}，A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，满足（∁UA）∪B＝B，但A∩B≠⌀，A∩B≠B，故A、B均不正确；由（∁UA）∪B＝B，知（∁UA）⊆B，∴U＝A∪（∁UA）⊆（A∪B），∴A∪B＝U，由（∁UA）⊆B，知（∁UB）⊆A，∴（∁UB）∪A＝A，故C、D均正确.8.设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S｜x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2，3}，则m＝

⁠.

解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：49.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∩B＝

⁠，A∪B＝

⁠，（∁RA）∪B＝

⁠.

解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（∁RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.答案：（2，3）

（1，4）

（－∞，1\〗∪（2，＋∞）10.设I是全集，非空集合P，Q满足P⫋Q⫋I，若含有P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是

⁠.

解析：由P⫋Q⫋I，可得Venn图如图所示，从而有P∩（∁IQ）＝⌀.答案：P∩（∁IQ）＝⌀（答案不唯一）⁠11.已知非空集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝⌀，且A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则集合A，B的所有可能情况种数为

（

）A.1B.2C.3D.4解析：B

易知A的元素个数不能为2，否则A，B中必然有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意.所以A的元素个数为1或3，所以可能情况有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2种，故选B.12.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝⌀，则所有满足条件的实数m的取值范围是

（

）B.m≥0

13.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为

（

）A.181B.182C.183D.184解析：D

设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184，故选D.14.（多选）如图，A，B是全集U的两个子集，则阴影部分表示的集合可以