专题5.25 平面直角坐标系背景下几何问题（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.25平面直角坐标系背景下几何问题（分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，线段经过原点O，点C在y轴上，D为线段上一动点，若点，，，且，则长度的最小值为（

）

A．1 B． C． D．4．（2023·河南周口·统考三模）如图，已知点，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标是（

）

A． B． C． D．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，则M的坐标是（

）A． B． C． D．6．（2019秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，已知，，，点与坐标系原点重合，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标可能有（

）个.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023春·北京大兴·七年级统考期末），是平面直角坐标系中的两点，当线段的长度最小时，的值为（

）A． B． C． D．8．（2023春·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点A、B、C的坐标，，，经过原点O，且，垂足为点D，则的值为（

）．A．10 B．11 C．12 D．149．（2023春·福建福州·七年级校考期中）已知，，三点，且三角形的面积等于，则的值为（

）A．1或 B．9 C．1或9 D．9或10．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取，使，再分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为，则n的值是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，则B点坐标为．

12．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若有一个直角三角形与全等，且与其共边，点是A点的对应点，试写出所有满足条件的点的坐标

13．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为．

14．（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，，，以A点为直角顶点作，，，则C点的坐标为．

15．（2022秋·江苏南通·八年级统考阶段练习）如图，等腰中，．点A、B分别在坐标轴上，且x轴恰好平分，交x轴于点M，过C点作轴于点D，交的延长线于点E，测得的长度为6，则点C的纵坐标为．

16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C、D分别在y轴、上运动，连接，则的最小值为．

17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点的坐标分别是，，，点与点关于轴对称，顺次连接，，，四点得到四边形，点是四边形边上的一个动点，连接，若将四边形的面积分为1：4的两部分，则点的坐标为．

18．（2022春·上海·九年级统考自主招生）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）求的面积；（2）画出关于y轴对称的图形．20．（8分）（2023春·全国·七年级期末）在平面直角坐标系中，点，，，且．

（1）若，求点，点的坐标；（2）如图，在（1）的条件下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标；21．（10分）（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图（1），已知，，是等腰直角三角形，，．

（1）如图，求C点坐标；（2）如图（2），点P为x正半轴上一点，作等腰直角，其中，，求证：．22．（10分）（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图所示，点，是平面直角坐标系中的两个点，且轴于点，轴于点．（1）__________，__________．（用含，，，的式子表示）（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算，两点之间距离的平方为__________．（用含，，，的式子表示）（3）若，，求、两点之间的距离．23．（10分）（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接．（1）如图1，求点坐标；（2）如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点在线段上，求证：．24．（12分）（2023春·广东东莞·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，且满足，连接，交轴于点，并过点作轴于点．

（1）求的面积；（2）当的坐标为，若轴上有一动点，使得，求出点的坐标；（3）如图，过点作交轴于点，当，分别平分和时，写出与，的数量关系，并写出证明过程．参考答案：1．B【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解．解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，在中，，∴，∴，，∵，∴，，∴，且点在第二象限，∴，故选：．【点拨】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图像与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图像特点确定坐标的方法等知识是解题的关键．2．A【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点，∵，，，∴，，则∴三角形的面积是故选：A．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．3．B【分析】分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，得出，，，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题．解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，

∵点，，，∴，，，∵垂线段最短，∴当时有最小值，∵，∴∵，∴，∴长度的最小值为，故选：B．【点拨】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．4．B【分析】根据勾股定理求得，设，，根据折叠的性质得出，，在中，勾股定理即可求解．解：∵点，∴，∴，∵将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，∴∴，设，，∴在中，，∴解得：，∴的坐标为故选B.【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．D【分析】过点N作ND⊥y轴于点D，利用P（0，2），N（2，−2），得出OP＝2，OD＝2，DN＝2，根据“AAS”证明△MOP≌△PDN，OM＝PD，即可得出答案．解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，−2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO＋∠DPN＝90°，又∵∠DPN＋∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（−4，0），故D正确．故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点的坐标，作出辅助线，证明△MOP≌△PDN是解题的关键．6．D【分析】只要是轴上的点且满足为等腰三角形即可．解：如图，

则在轴上共有4个这样的点．故选：D．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的形状以及坐标与图形的简单结合，能够熟练掌握．7．D【分析】点在轴上的动点，根据垂线段最短，长度的最小值即为点到轴的最短距离，此时点为从向轴作垂线的垂足，最短距离即为点的纵坐标．解：如图，过点作轴于点，此的长度最小，∵，，即当时，线段长度的值最小，此时线段长度的最小值为，故选：D．【点拨】本题考查坐标与图形，垂线段最短，确定点的位置是解题的关键．8．C【分析】根据的面积等于的面积与的面积之和即可得．解：，，，经过原点，的边上的高为1，的边上的高为2，，，且，，解得，故选：C．【点拨】本题考查了点坐标与图形，正确找出是解题关键．9．C【分析】根据已知可得：，，然后三角形的面积公式列式计算即可解答．解：∵，，，∴，，∵三角形的面积等于，∴，即，∴，∴或，∴或，故选：C．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．10．D【分析】由作图可知，点N在的角平分线上，推出点N的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．解：由作图可知，点N在的角平分线上，两弧交于第二象限的点N，∴点N的横坐标与纵坐标互为相反数，∴，∴，故选：D．【点拨】本题考查作图-基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．【分析】过B点作轴于点D，证明即可作答．解：过B点作轴于点D，如图，

∵，∴，∵，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴结合图形有：，故答案为：．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识，作出辅助线，证明是解答本题的关键．12．或或【分析】根据全等三角形的性质画出满足条件的，然后写出对应顶点的坐标即可．解：如图，

的坐标为：或或．故答案为：或或．【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．13．3【分析】作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线平分四边形的面积列出方程求解可得．解：过点C作轴于点E，∵，，，，∴，

∴四边形的面积，设点，则，∵直线平分四边形的面积，∴，∴，∴，∴．故答案为：3．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．14．【分析】过作轴于点，证明，得到，，从而可得坐标．解：如图，过作轴于点，，，，，则，在和中，，，，，点的坐标为，故答案为：．

【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．【分析】根据已知条件分别证明和，进而得，，即可求解．解：，，在中，，又轴，，在中，，，在和中，，∴，，又平分，，在和中，，∴，，∴点C的纵坐标为．故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．16．/4.8/【分析】先找出线段关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即位的最小值．解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取，此时点D与点关于y轴对称，从而可知．

再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值．

∵点A的坐标为，点B的坐标为∴点的坐标为，=6．=5，4，∴即∴∴的最小值为故答案为：．【点拨】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段关于y轴的对称线段时解题的关键．17．或【分析】先根据各坐标求出四边形的面积，再分情况讨论当点在上和上的点坐标．解：作于，点与点关于轴对称，点，点坐标为，点，点的坐标分别是，，，，，，，，，如图1，当点在上时，，，，，，点坐标为：，；

如图2，当点在上时，，，，，，点坐标为：

综上，点坐标为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点的位置是解题关键．18．【分析】作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解．解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，∵点关于轴的对称点，∴，，∵A点关于直线的对称点，，∴，，∴，此时，值最小，最小值，∵，，∴．∴最小值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键．19．（1）；（2）见分析【分析】（1）结合点的坐标，直接利用三角形的面积公式求解即可；（2）分别确定A，B，C关于y轴对称的，，，再顺次连接即可．（1）解：∵，，∴，又∵，∴；（2）如图，即为所求作的三角形．．【点拨】本题考查的是坐标与图形，求解网格三角形的面积，画关于y轴对称的三角形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．20．（1），；（2）【分析】（1）由非负性质得出，，得出，，即可得出答案；（2）延长交于，由题意得出点的横坐标为，可得点是的中点，即可得出答案．（1）解：，，且，，，点，；（2）解：延长交于，如图所示：

，轴，，点的横坐标为，，，点是的中点，．【点拨】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．21．（1）；（2）见分析【分析】（1）构造出,得出，，再求出，，即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质判断出，进而得出，即可得证．（1）解：过点C作于点D，则，∴，∵，∴，∴，

在和中，，∴，∴，，又∵，，∴，，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．22．（1），；（2）；（3）【分析】（1）的长为两点的横坐标之差的绝对值；为两点的纵坐标绝对值之差；（2）根据勾股定理可求两点之间的距离的平方；（3）利用两点间的距离公式计算．（1）解：故答案为：