运筹学09-目标规划课件

第九章目标规划

GoalProgramming9.1目标规划模型9.2目标规划的几何意义与图解法

在科学研究、经济建设和生产实践中，人们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题，我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的多目标规划叫目标规划(goalprogramming)，这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目标规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。

9.1目标规划模型

(1)问题提出为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模思路,我们首先举一个简单的例子来说明.

例1某公司分厂用一条生产线生产两种产品A和B，每周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时，生产一台B产品需要6小时．根据市场预测，A、B产品平均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标：

首先，产量不能超过市场预测的销售量；其次，工人加班时间最少；第三，希望总利润最大；最后，要尽可能满足市场需求,当不能满足时,市场认为B产品的重要性是A产品的2倍．

试建立这个问题的数学模型．讨论：若把总利润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型。设决策变量x1，x2

分别为产品A，B的产量

MaxZ=12x1+18x2

s.t.4x1+6x2

60

x1

9x2

8

x1,x2

0容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T

到(3,8)T

所在线段上的点,最优目标值为Z*=180,即可选方案有多种.在实际上,这个结果并非完全符合决策者的要求,它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。进一步分析可知，要实现全体目标是不可能的。(2)目标规划模型的基本概念

把例1的4个目标表示为不等式.仍设决策变量x1，x2

分别为产品A，B的产量.那么,

第一个目标为:x1

9，x2

8

；第二个目标为:4x1+6x2

60

；第三个目标为:希望总利润最大，要表示成不等式需要找到一个目标下界，这里可以估计为252（=12

9+18

8），于是有

12x1+18x2

252；第四个目标为:x1

9，x2

8；对于例1,我们有如下目标约束

x1

+d1--d1+=9(1)

x2+d2--d2+=8(2)

4x1+6x2

+d3--d3+=60(3)12x1+18x2+d4--d4+=252(4)

(3)优先因子与权系数

对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,

,fL,决策者在要求达到这些目标时，一般有主次之分。为此，我们引入优先因子Pi

，i=1,2,

,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为f1,f2,

,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2、…，并规定Pi>>Pi+1，i=1,2,

,L-1.

即在计算过程中,首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的，以此类推。当需要区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时，可分别赋于它们不同的权系数wj

。优先因子及权系数的值，均由决策者按具体情况来确定．

（4）目标规划的目标函效．目标规划的目标函数是通过各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的．决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目标的数值。于是，目标规划的目标函数应该是求极小：Minf＝f（d+，d-)

其基本形式有三种：

①要求恰好达到目标值，即使相应目标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。

这时取

Min（d++d-)；

②要求不超过目标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。

这时取

Min（d+)；

③要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。

这时取

Min（d-)；

对于例1,我们根据决策者的考虑知第一优先级要求Min（d1++d2+

)；第二优先级要求Min（d3+

)；第三优先级要求Min（d4-)；第四优先级要求Min（d1-+2d2-)，这里,当不能满足市场需求时,市场认为B产品的重要性是A产品的2倍．即减少B产品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数。综合上述分析，可得到下列目标规划模型

Minf=P1（d1++d2+)+P2d3++P3d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1

+d1--d1+=9x2+d2--d2+=84x1+6x2

+d3--d3+=6012x1+18x2

+d4--d4+=252x1,x2

,di-,di+

0,i=1,2,3,4.

(3)目标规划模型的一般形式

式中的第二行是L个目标约束，第三行是m个绝对约束，clj

和gl

是目标参数。例2

甲乙有效工时金工42400

装配24500

收益10080

LP：MaxZ=100X1+

80X2

2X1+4X2

500s.t4X1+2X2

400X*=(50,100)X1,

X20Z*=13000

目标：去年总收益9000，增长要求11.1%

即：今年希望总收益不低于10000引入d+：决策超过目标值部分(正偏差变量)

d-：决策不足目标值部分(负偏差变量)目标约束：100X1+80X2-d++d-=10000

d+•d-=0d+,d-0MinZ=d-100X1+80X2-d++d-=100004X1+2X2

4002X1+4X2

500X1,

X2,

d-,

d+0

d+•d-=0例3

ⅠⅡ资源拥有量原材料(公斤)2111

设备(小时)1210

利润(千元/件)810原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ的产量充分利用设备，不希望加班尽可能达到并超过利润计划指标56千元建模：设定约束条件。(目标约束、绝对约束)规定目标约束优先级建立模型设X1，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。2X1+X2

11X1-X2+d1--d1+=0X1+2X2+d2--d2+=108X1+10X2+d3--d3+=56X1,

X2,

di-,

di+0di-•

di+=0d1-:X1产量不足X2部分d1+

:X1产量超过X2部分d2-:设备使用不足10

部分d2+

:设备使用超过10部分d3-:利润不足56部分d3+

:利润超过56部分或

MinZ1=d1+MinZ2=d2-+d2+

MinZ3=d3-

MinZ=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3(d3-)

对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，我们可以用图解法来分析求解．通过图解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、负偏差变量及权系数等的几何意义。下面用图解法来求解例1

我们先在平面直角坐标系的第一象限内，作出与各约束条件对应的直线，然后在这些直线旁分别标上G-i，i=1，2，3，4。图中x，y分别表示问题的x1和x2；各直线移动使之函数值变大、变小的方向用+、-表示di+,di-．

9.2目标规划的几何意义及图解法Minf=P1（d1++d2+)+P2d3++P3d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1

+d1--d1+=9x2+d2--d2+=84x1+6x2

+d3--d3+=6012x1+18x2

+d4--d4+=252x1,x2

,di-,d