高考数学走出题海之黄金30题系列（第01期）专题04 名校模拟精华30题 理（含解析）试题

1.(数学理卷·2015届四川省宜宾市高三第一次诊断考试)设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是(A)2(B)(C)(D)【答案】B【解析】：根据的函数，我们易得出其值域为：R，又∵时，值域为；时，其值域为R，∴可以看出的值域为上有两个解，要想，在上只有唯一的满足，必有（因为），所以：＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴，，且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：或者（舍去），∴，∴，故选：B2.(数学（理）卷·2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试)数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有()A．

B．

C．

D．与大小不确定【答案】B【解析】，故选B.3.（数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试）已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数。若，，且是正整数，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意可得，所以是正整数，是小于的正有理数．

可令是正整数，则有，求根公式可得，对t赋值，验证知，当时，有，故选择A.4.(数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试)设满足约束条件，则取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据约束条件画出可行域，

∵目标函数为，令，即为可行域的点到点的斜率的范围问题，由图像可知：当直线过时，最大，此时目标函数最大为，当直线过时，最小，此时目标函数最小为3．故选择D.5.(数学（理）卷·2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考)已知,点在内，且，设，则等于（）A．B．3C．D．【答案】B6.(湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2015届高三上学期期中考试数学8).方程表示的曲线形状是A.B.C.D.【答案】C【解析】方程等价于①，或②.①表示的是不在直线的左下方且在圆上的部分；②表示的是直线.因此，结合各选项知，选C.7.(广东省广州市2015届高三1月模拟数学理试题8).已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点，，所以线段的方程为（），设，则，因为点是线段上一动点，所以（），所以点的对应点的轨迹是一段圆弧，且圆心角为，所以点的对应点所经过的路线长度为，故选B．8.(广东省广州市2015届高中毕业班综合测试数学（理）试题8)已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足:对任意，以及任意R,都有,则称映射具有性质.给出如下映射:①R,,iR;②R,,iR;③R,,iR;其中,具有性质的映射的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】设，（，，，），则，对于①，，而，具有性质；对于②，，而，因为，所以不具有性质；对于③，，而，具有性质．所以具有性质的映射的序号为①③，故选B．9.(四川省雅安中学2015届高三开学考试数学理8)下列命题正确的是（）①②函数的对称中心是（）；③④设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则A．=1\*GB3①=3\*GB3③B．=2\*GB3②=3\*GB3③C．=2\*GB3②=4\*GB3④D．=3\*GB3③=4\*GB3④【答案】D【解析】①错；函数的对称中心是（），故②错；由全称命题的否定是特称命题知③正确；，要使在闭区间[0,2]上恰有三个解，则，，故④正确10.(福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期三校联考数学理9)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,且在[3，4]上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则 ()A.f(sinA)<f(cosB)B.f(sinA)>f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)D.f(cosA)>f(cosB)【答案】A【解析】试题分析：由题意知的周期为2，且在上单调递减，因A、B是锐角三角形的两个内角，则或，故或11.(安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学理6)已知函数，，，则的最小值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】因为所以，又因为，所以，则，当且仅当，即时取得最小值.故选A.12.(浙江省绍兴市2015届高三上学期期末统考数学理试题5)将函数图象向右平移（）个单位，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，若在区间上单调递增，则，解得，又，所以的最小值为.13.(数学理卷·2015届四川省宜宾市高三第一次诊断考试)对于函数，有下列4个结论：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立．则其中所有正确结论的序号是___________.【答案】=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④【解析】：的图象如图所示：①的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取，都有恒成立，正确；②f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）≠8f（+8），故不正确；③如图所示，函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，结合图象，可得④正确．故答案为：①③④．14.(数学（理）卷·2015届河南省郑州市高三第一次质量预测)设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…【答案】【解析】由题意可得对于函数，有时，恒有，所以，故答案为.15.(数学理卷·2015届四川省宜宾市高三第一次诊断考试)函数的图像在点处的切线方程为_______.【答案】【解析】：；故；故函数的图象在点处的切线方程为：；即；故答案为：．16.(数学（理）卷·2015届河南省郑州市高三第一次质量预测)已知，在二项式的展开式中，的一次项系数的值为【答案】【解析】，，通项公式为，当时，，所求系数为，故答案为.17.(福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期三校联考数学理15)定义一个对应法则，现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则，当点在线段上从点的开始运动到点结束时，则点的对应点所形成的轨迹与x轴围成的面积为【答案】4【解析】由已知设，是线段上一动点，则，按定义的对应法则，则，的轨迹方程为，故点所形成的轨迹与x轴围成的面积为18.(2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理12)已知实数满足其中是自然对数的底数,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】实数满足，，因此点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线，，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，的最小值，故答案为B.19.数学（理）卷·2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测（201501）word版】14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为____．【答案】【解析】：由程序框图可知20.(数学理卷·2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考)已知,其中,,.（1）求的单调递减区间；（2）在中,角所对的边分别为,,,且向量与共线，求边长和的值.【答案】(1)（2）b=3,c=2【解析】(1)由题意知.在上单调递减，令，得,的单调递减区间:(2)，,又，即,，由余弦定理得=7.因为向量与共线，所以，由正弦定理得..21.(数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试)如图，已知单位圆上有四点，分别设的面积为.（1）用表示；（2）求的最大值及取最大值时的值。xyxyAEBCOA（第18题图）【答案】（1）；（2）最大值为，的值为.【解析】解析：（1）根据三角函数的定义，知所以，所以.又因为四边形OABC的面积＝，所以.（7分）（2）由（1）知.因为，所以，所以，所以的最大值为，此时的值为.（14分）22.(数学理卷·2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考)已知数列满足.（1）当时，求数列的前项和；（2）若对任意都有成立，求的取值范围.【答案】（1）略（2）【解析】（1）由得,两式相减，得.故数列是首项为，公差为4的等差数列．数列是首项为，公差为4的等差数列，由所以①当②当为偶数时，（2）由（1）知，①当为奇数时，由令解得②当为偶数时，由令,解得综上，的取值范围是23.(数学（理）卷·2015届河南省郑州市高三第一次质量预测)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.（=1\*ROMANI）求且的概率；（=2\*ROMANII）记，求的分布列及数学期望.【答案】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）的分布列为：103050∴【解析】(Ⅰ)当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，……………2分若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…3分若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，此时的概率为：……5分（=2\*ROMANII）∵的取值为10，30，50，又…6分∴,…9分∴的分布列为：103050∴.…………12分24.(数学理卷·2015届广东省深圳市高三年级第一次调研考试)在三棱锥中，已知平面平面，是底面△最长的边．三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；（3）求点到面的距离．【答案】（1）和（2）（3）【解析】（1）三棱锥直观图如图1所示；AzAz图1O(B)PyCx由三视图知和是直角三角形．如图2，EFEFHAz图2O(B)PyCx过作交于点，由三视图知为等腰三角形，，，，取的中点，过作且交于点，连接，，因为，由三视图知面，且面，所以，又由，所以面，由面，所以，，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角．，，，，在直角中，有．所以，二面角的正切值为．（3）记到面的距离为，由（1）、（2）知，，，三棱锥的体积，由，可得：．25.(数学理卷·2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）)设函数为自然对数的底数(1)若函数f(x)的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值；(2)当b=l时，若存在，使成立，求实数a的最小值【答案】(1)a=1,b=1；(2).【解析】：（1）由已知得x>0，x≠1，.则且，解之得a=1,b=1.（2）当b=1时，=所以当时，.而命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”又当时，，所以.问题等价于：“当时，有”当时，在上为减函数，则，故.当时，由于在上的值域为.（Ⅰ）当时，在恒成立，故在上为增函数，于是，不合题意.(Ⅱ)当即时，由的单调性和值域知，存在唯一使，且满足：当时，，f(x)为减函数；当时，，f(x)为增函数；所以，.所以，与矛盾.综上得a的最小值为.26.(数学理卷·2015届山东省德州一中高三1月月考)已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足O为坐标原点.（I）求椭圆的方程;（II）求的最值.【答案】（1）（II）最大值为2，最小值为-2【解析】（1）由椭圆的离心率为可得：=，即a=,又2a==4a=2,c=2,椭圆方程为。（II）设直线AB的方程为y=kx+m,设A（B联立整理得（1+2）+4mx+2=0,,,=-,(k+m)(k+m)==则，=2-,-2=2-4，，当k=0，即直线AB平行于x轴时，最小值为-2，当斜率不存在时有，，，，将A坐标代入椭圆方程，可得，所以==，最大值为2，最小值为-2.27.(2015年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学理19)已知函数,，且为偶函数．设集合．（Ⅰ）若，记在上的最大值与最小值分别为,求；（Ⅱ）若对任意的实数，总存在，使得对恒成立，试求的最小值.【答案】（1），（2），试题解析：（1）为偶函数，所以．在区间上，（2）设，所以的最大值为，依题意原命题等价于在上，总存在两个点即只需满足在上，因为对任意的都成立，所以当也成立，由（１）知；当时，，下面证明在上总存在两点使得成立.当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，综上所述，的最小值为.28.(江苏省扬州中学2015届高三3月期初考试数学试题18)在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B．现测得千米，（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设．（1）试将分别表示为、的函数关系式、；（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置．【答案】（1）见解析；SKIPIF1<0（2）C距A地千米【解析】(1)在中，由余弦定理解得AD=63………2分方案一：在中，………5分方案二：在中，，，………9分(2)若用方案一，则………11分由得………14分，这时，C距A地千米………16分若用方案二，则………11分在，在………14分这时，C距A地千米………16分考点：三角函数的应用29.(吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测（二）理21)设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．求常数的值；当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；求证：．【答案】(1)；(2)；(3)详见解析【解析】(1)对求导得：，根据条件知，所以.