高考数学二轮复习 专题检测（七）三角恒等变换与解三角形试题

专题检测（七）三角恒等变换与解三角形A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·开封市定位考试)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,3)，则cos2α的值为()A.－eq\f(7,9) B.eq\f(7,9)C.－eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(1,3)解析：选B因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9)，故选B.2.(2019·长春市质量监测一)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋sinx的最大值为()A.eq\r(3) B.2C.2eq\r(3) D.4解析：选A法一：由已知得f(x)＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＋sinx＝eq\f(3,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，所以函数的最大值为eq\r(3)，故选A.法二：由已知得f(x)＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＋sinx＝eq\f(3,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx，故函数的最大值为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)，故选A.3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acosC＋eq\f(1,2)c，则角A等于()A.60° B.120°C.45° D.135°解析：选A由b＝acosC＋eq\f(1,2)c及余弦定理，可得b＝a·eq\f(b2＋a2－c2,2ab)＋eq\f(1,2)c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又0＜A＜π，所以A＝60°，故选A.4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosC＋\f(\r(3),3)sinC))，a＝2，c＝eq\f(2\r(6),3)，则角C＝()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)解析：选D由b＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosC＋\f(\r(3),3)sinC))，得sinB＝sinA·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosC＋\f(\r(3),3)sinC)).因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋eq\f(\r(3),3)sinAsinC(sinC≠0)，cosA＝eq\f(\r(3),3)sinA，所以tanA＝eq\r(3).因为0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(2),2).因为0＜C＜eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,4).故选D.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析：选A根据正弦定理得eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)<cosA，即sinC<sinBcosA.∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0.又三角形中sinA>0，∴cosB<0，eq\f(π,2)<B<π，∴△ABC为钝角三角形.6.(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cosα＝eq\f(3,4)cosβ，则v＝()A.60 B.80C.100 D.125解析：选C如图，台风中心为B，2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝eq\f(4,3)sinβ，又cosα＝eq\f(3,4)cosβ，∴sin2α＋cos2α＝eq\f(16,9)sin2β＋eq\f(9,16)cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sinβ＝eq\f(3,4)cosβ，∴sinβ＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)＝0，∴α＋β＝eq\f(π,2)，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.又∵b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×eq\f(1,2)，∴c＝2eq\r(3)，a＝4eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3).答案：6eq\r(3)8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝________.解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc，又eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，由正弦定理可得eq\f(3c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去).答案：49.(2019·洛阳市统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tanB＝eq\f(3,4)，则eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)的值是________.解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，∴eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sinCcosA＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sin（C＋A）,sinAsinC)＝eq\f(sinB,sinAsinC)＝eq\f(1,sinB)，∵tanB＝eq\f(3,4)，∴sinB＝eq\f(3,5)，∴eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)三、解答题10.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2eq\r(2)，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠A)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(5,sin45°)＝eq\f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5).由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝eq\r(1－\f(2,25))＝eq\f(\r(23),5).(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝eq\f(\r(2),5).在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),5)＝25，所以BC＝5.11.(2019·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)accosB，且sinA＝3sinC.(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长.解：(1)∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),2)accosB，∴tanB＝eq\r(3).又0＜B＜π，∴B＝60°.(2)sinA＝3sinC，由正弦定理得，a＝3c，∴a由余弦定理得b2＝62＋22－2×2×6×cos60°＝28，∴b＝2eq\r(7).∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(（2\r(7)）2＋22－62,2×2×2\r(7))＝－eq\f(\r(7),14).∵D是AC的中点，∴AD＝eq\r(7).∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋(eq\r(7))2－2×2×eq\r(7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),14)))＝13.∴BD＝eq\r(13).12.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC(1)求A；(2)若eq\r(2)a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsin故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq\r(2)sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－eq\f(\r(2),2).因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝eq\f(\r(2),2)，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).B组——大题专攻强化练1.(2019·江西七校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝bc.(1)求角A的大小；(2)若f(x)＝sin(2x＋A)，将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,12)个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及单调递减区间.解：(1)∵a2－(b－c)2＝bc，∴a2－b2－c2＝－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2，令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，故函数g(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.2.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC＋csinAcosA－eq\r(3)bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为4eq\r(3)，且b，a，c成等差数列，求△ABC的内切圆的半径.解：(1)由asinAcosC＋csinAcosA－eq\r(3)bcosA＝0，可知sinA(sinAcosC＋cosAsinC)＝eq\r(3)sinBcosA，∴sinAsin(A＋C)＝eq\r(3)sinBcosA，∵sin(A＋C)＝sinB，∴sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA，∵sinB≠0，∴sinA＝eq\r(3)cosA，∴tanA＝eq\r(3)，又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由题意可知S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)，∴bc＝16，又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝(b＋c)2－3bc，又∵b，a，c成等差数列，∴a2＝4a2－48，∴a＝4，b＋c＝2a＝8，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝12，设△ABC内切圆的半径为r，则eq\f(1,2)r·(a＋b＋c)＝S△ABC，即eq\f(1,2)r×12＝4eq\r(3)，∴r＝eq\f(2\r(3),3).3.(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－eq\r(3)sinAsinC.(1)求B的大小；(2)求sinA＋cosC的取值范围.解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－eq\r(3)sinAsinC，故b2＝a2＋c2－eq\r(3)ac，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，又B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知，C＝eq\f(5π,6)－A，故sinA＋cosC＝sinA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－A))＝eq\f(3,2)sinA－eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6))).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，C＝eq\f(5π,6)－A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，A－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，故sinA＋cosC的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2eq\r(3)，BD＝3＋eq\r(6)，△BCD的面积S＝eq\f(3（\r(2)＋\r(3)）,2).(1)求CD；(