提优专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（解析版）

专题26反比例函数与几何综合题型归纳（解析版）类型一反比例函数与三角形综合1．（2022秋•岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点A．y=-1x B．y=-2x C．y=-4思路引领：直接利用相似三角形的判定与性质得出S△BCOS△AOD=13，进而得出解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，∴△BCO∽△ODA，∴BOAO=tan30°∴S△BCOS△AOD=（3∵点A在反比例函数y=6∴xy＝6，∵12×AD×DO=12∴S△BCO=12×BC×CO=13S∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=-2故选：B．总结提升：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△AOD＝2是解题关键．2．（2022秋•金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO中，AO=3，将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB的中点，B'在反比例函数y=kx上，则k的值为思路引领：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出△AOA′是等边三角形，从而得出∠AOB＝∠A′OB′＝60°，即可得出∠B′OE＝60°，解直角三角形求得B′的坐标，进一步求得k＝3．解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，由题意知OA＝OA′，A'是OB中点，∠AOB＝∠A′OB′，OB′＝OB，∴AA′=12OB＝∴△AOA′是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴OB＝2OA＝23，∠B′OE＝60°，∴OB′＝23，∴OE=12OB′∴B′E=3OE＝3∴B′（1，3），∵B'在反比例函数y=k∴k＝1×3＝3．故答案为：3．总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝16，则k的值是思路引领：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，ka）则B（﹣a，-ka），可表示出BC和DC的长度，又S△BCD=12×BC•解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，ka）则B（﹣a，-∴BE＝2a，∵△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，∴BC＝4a，∴点D的横坐标为3a，∴点D的纵坐标为k3a∴CD=k∵S△BCD=12×BC•CD∴12×4a×∴k＝6，故答案为：6．总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出BC和CD的长度是解决本题的关键．4．（2023•南海区校级模拟）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2x(x≠0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022＝思路引领：设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，利用反比例的解析式和反比例函数图象上点的坐标的特征求得点P1，P2，P3，P4，P5的坐标（用含m的代数式表示），进而得到每个小直角三角形的高，依据每个小直角三角形的底均为m，利用三角形的面积公式即可求得S1，S2，S3，S4，S5的值，依此规律即可得出结论．解：设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，则P1（m，2m），P2（2m，22m），P3（3m，23m），P4（4m，24m），P5（5∴P1A1=2m，P2A2=22m，P3A3=23m，P4A4=2∴S1=12S2S3S4S5由此可得S2022故答案为：12022总结提升：本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度得到相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．5．（2022秋•桥西区校级期末）如图，一次函数y1＝k1x+b的图像与反比例函数y2=k2x(x＞0)的图像相交于A（m，6），B（6，1）两点，且与（1）填空：k2＝；m＝；在第一象限内，当y1＞y2时，x的取值范围为；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）点E在线段AB上，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图像于点F，若EF＝2，求点F的坐标．思路引领：（1）先把B（6，1）代入y2=k2x(x＞0)可求出k2＝6，再把A（m，6）代入（2）根据S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM可求解；（3）设设点E的坐标为（a，﹣a+7），则点F的坐标为（a，6a），构建方程求出a解：（1）把B（6，1）代入y2=∴k2＝6，∴反比例函数解析式为y2把A（m，6）代入y2=6x，得∴A（1，2），由图象得，在第一象限内，当y1＞y2时，x的取值范围为1＜x＜6．故答案为：6；1；1＜x＜6；（2）把A（1，6）和B（6，1）代入y1＝k1x+b中，得k1+b=66∴直线AB的表达式为y1＝﹣x+7，当y＝0时，x＝7∴M（7，0），∴S△AOB（3）设点E的坐标为（a，﹣a+7），则点F的坐标为(a，∴EF=a+7-6又EF＝2，∴-a+7-6a=2，解得a1＝2，a2∴点F的坐标为（2，3）或（3．，2）．总结提升：本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．6．（2022秋•龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC沿x轴平移（边AB在x轴上，点C在x轴上方），其中A（a，0），三角形ABC与反比例函数y=23x（x＞0）交于点D，E两点（点D（1）第一小组提出“当a＝2时，求点D的坐标”；（2）第二小组提出“若AD＝CE，求a的值”；（3）第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点E′，点E′恰好也在y=23x（x＞0思路引领：（1）过点C作CF⊥AB交于点F，根据等边三角形的性质可求C（3，3），再由待定系数法求出直线AC的解析式，直线AC与反比例函数的交点即为D点；（2）过点C作CF⊥AB交于点F，则C（a+1，3），B（a+2，0），通过联立方程求出D、E点坐标，再由AD＝CE，建立方程求出a的值即可；（3）连接CE'，通过证明△ACE'≌△ABE（SAS），可得AB∥E'C，求出E'（a2+4a-4-1，3），再由E'解：（1）当a＝2时，A（2，0），过点C作CF⊥AB交于点F，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴C（3，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴2k+b=03k+b=解得k=3∴y=3x﹣23当3x﹣23=23x时，解得x＝1+3或∴D（1+3，3-（2）过点C作CF⊥AB交于点F，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴C（a+1，3），B（a+2，0），可求直线AC的解析式为y=3x-3a，直线BC的解析式为y=-3x+3当3x-3a=23x时，解得x=∴D点横坐标为a+a∴AD=-a+a2+8当-3x+3a+23=23x∴E点的横坐标是a+2+a∴BE=a+2-a2+4a-42•∵AD＝CE，∴﹣a+a2+8=2﹣a解得a＝3；（3）连接CE'，∵AE＝AE'，AC＝AB，∠CAE'＝∠BAE，∴△ACE'≌△ABE（SAS），∴∠ACE'＝∠ABE＝60°，EB＝E'C，∵∠CAB＝60°，∴AB∥E'C，∵C（a+1，3），BE＝a+2-a∴E'（a2+4a-4-1∵E'在函数y=2∴3（a2+4a-4-1）＝解得a＝﹣2+17或a＝﹣2-∴a＝﹣2+17总结提升：本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．7．（2022秋•南山区期末）如图：△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，S△OAB＝4，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A交y轴于点C，反比例函数y2=kx（x＞0）的图象也经过点（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD＝2AD，求△COD的面积；（3）当y1＜y2时对应的自变量的取值范围是．（请直接写出答案）思路引领：（1）过点A分别作AM⊥x轴于M，根据三角形面积求得OA，进而即可求得A的坐标，利用待定系数法从而得出答案；（2）通过证得△OCD∽△MAD，得出OC的长，即可求得点C的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式，进而求得点D的坐标，再利用三角形面积公式可得答案；（3）根据图象即可求解．解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∵S△OAB＝4，∴12OA•AB=12OA2∴OA＝22，∴AM＝OM＝2，∴点A（2，2），∵反比例函数y2=kx（x＞0）的图象经过点∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y2=4（2）∵AM⊥y轴于M，∴AM∥OC，∴△OCD∽△MAD，∴OCAM∴CD＝2AD，∴OC＝2AM＝4，∴C（0，﹣4），一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象经过点C、D，∴2a+b=2b=-4，解得a=3∴y1＝3x﹣4，令y＝0，则3x﹣4＝0，解得x=4∴D（43，0∴OD=4∴S△COD=12OD⋅OC=（3）当y1＜y2时对应的自变量的取值范围是0＜x＜2，故答案为：0＜x＜2．总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识，求得交点坐标是解题的关键．8．（2022秋•老城区校级期中）如图，已知：直线y=12x与双曲线y=kx（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，若双曲线y=kx（k＞0）上一点（1）填空：k的值为8；点B的坐标为；点C的坐标为．（2）直接写出关于的不等式12x-（3）求三角形AOC的面积．思路引领：（1）将点A的横坐标代入y=12x可求得点A的纵坐标；进而求得k的值以及点B（2）由图像可知：当﹣4≤x＜0或x≥4时，函数y=12x（3）作CE⊥x轴，AF⊥x轴；将△AOC的面积转化为梯形CEFA的面积进行计算即可．【分析【详解】（1）解：将x＝4代入y=12x得：y∴A（4，2），∴k＝xy＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为：y=8由反比例函数的对称性可得：点A、点B关于原点对称，∴B（﹣4，﹣2），将y＝8代入y=8x得：x＝∴C（1，8）；（2）解：由图像可知：当﹣4≤x＜0或x≥4时，函数y=12x∴12x-kx≥0的解集为：﹣4≤x＜0（3）解：如图，作CE⊥x轴，AF⊥x轴；∵S△AOC+S△AOF＝S△COE+S梯形CEFA，S△COE＝S△AOF，∴S△AOC＝S梯形CEFA，∴S△AOC总结提升：本题考查了反比例函数图像的性质、正比例函数图像的性质、坐标与图形；熟练运用反比例函数图像的性质转化面积是解题的关键．9．（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y=1x和y=9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=1x的图象于点C，联结思路引领：根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．解：∵点B是y＝kx和y=9x的交点，则kx∴点B坐标为（3k，3k同理可求出点A的坐标为（1k，k∵BD⊥x轴，∴点C（3k，k∴BA=4k+4k，AC=4∴BA2≠AC2，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则4k解得k=3②AC＝BC，则4k解得k=15故k的值为377或总结提升：本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．类型二反比例函数与平行四边形综合10．（2022秋•襄都区校级期末）如图，反比例函数y=kx的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P．知A，C，D，三点在坐标轴上，BD⊥DC，平行四边形ABCD的面积为6，则A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3思路引领：将平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，再得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．解：如图所示，过点P作PE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，又∵BD⊥x轴，∴ABDO为矩形，∴AB＝DO，∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝6，∵P为对角线交点，PE⊥y轴，∴四边形PDOE为矩形面积为3，即DO•EO＝3，∴设P点坐标为（x，y），k＝xy＝﹣3，故选：D．总结提升：本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．11．（2022秋•滨城区校级期末）如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在y=-2x上，顶点C在y=9x上，则平行四边形OABC的面积是思路引领：先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积＝△COD的面积相等=12×9＝4.5，△AOE的面积＝△CBD的面积相等=12×解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据∠AEB＝∠CDO＝90°，∠ABE＝∠COD，AB＝CO可得：△ABE≌△COD（AAS），∴△ABE与△COD的面积相等，又∵顶点C在反比例函数y=9∴△ABE的面积＝△COD的面积相等=12×9同理可得：△AOE的面积＝△CBD的面积相等=12×2∴平行四边形OABC的面积＝2×（4.5+1）＝11，故答案为：11．总结提升：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|12．（2022秋•平城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y=kx（x＜0）和y=2x（x＞0）的图象上，则A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6思路引领：连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以S△OAC=-12k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积＝2S△OAC＝6，即可求出k﹣解：连接OA，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC垂直y轴，∴S△OAE=12×|k|=-12k，S∴S△OAC=-12k∵▱ABOC的面积＝2S△OAC＝6．∴﹣k+2＝6，∵k﹣2＝﹣6，故选：C．总结提升：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|13．（2022秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD顶点A的坐标为（1，0），点D在反比例函数y=-6x的图象上，点B，C在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，CD与y轴交于点E，若DE＝CE，∠DAO＝45°，则k的值为思路引领：作CM⊥x轴于M，DH⊥CM于H，交y轴于G，根据题意求得D点的坐标为（﹣2，3），进而得到C（2，k2），根据平行四边形的性质，得到点B（5，k2-3），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到5×（k2-3）＝k解：作CM⊥x轴于M，DH⊥CM于H，交y轴于G，∵A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵∠DAO＝45°，∴△AOF是等腰直角三角形，∴∠AFO＝45°，OF＝OA＝1，∴∠DFG＝45°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴DG＝FG，设D（﹣m，m+1）（m＞0），∵点D在反比例函数y=-6∴﹣m（m+1）＝﹣6，即m2+m﹣6＝0，解得m＝2或m＝﹣3（舍去），∴D（﹣2，3），∵DE＝CE，∴C点的横坐标为2，∴C（2，k2∵平行四边形ABCD顶点A的坐标为（1，0），D（﹣2，3），∴点D向右平移3个单位，向下平移3个单位得到点A，∴点C向右平移3个单位，向下平移3个单位得到点B（5，k2-∵点B在反比例函数y=kx（x＞∴5×（k2-3）＝解得k＝10，故答案为：10．总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得四边形顶点的坐标是解题的关键．14．（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy中，函数y=kx（其中x＜0）的图象经过平行四边形ABOC的顶点A，函数y=8x（其中x＞0）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，△（1）求k的值；（2）求直线AB的解析式．思路引领：（1）根据点C的横坐标是2求出C点坐标，再由平行四边形得出AC∥x轴，根据三角形的面积公式求出AC的长，故可得出A点坐标，进而可得出k的值；（2）根据四边形ABOC是平行四边形可知BO＝AC＝3，故可得出B（﹣3，0），再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可．解：（1）∵点C的横坐标是2，∴2y＝8，y＝4∴C（2，4），∵四边形ABOC是平行四边形，∴AC∥x轴，∵S△AOC＝6，即12×4AC＝∴AC＝3，∴AD＝3﹣2＝1，∴点A的坐标为（﹣1，4）∴k＝﹣1×4＝﹣4；（2）∵四边形ABOC是平行四边形，∴BO＝AC＝3∴B（﹣3，0）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则-3k+b=0-k+b=0∴k=2b=6∴直线AB的解析式为y＝2x+6．总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．类型三反比例函数与矩形综合15．（2022秋•永城市期末）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，双曲线y=kx在第一象限经过C，D两点，则A．6 B．274 C．272 D思路引领：将y＝0，x＝0分别代入直线的解析式，然后解得x、y的值，从而可求得点A、B的坐标，通过证得△ADH∽△BAO，求得DH＝AH=32，从而得到点D的坐标，进而即可求得解：作DH⊥x轴于H，将y＝0代入直线y＝﹣x+3得﹣x+3＝0，解得：x＝3．∴点A的坐标为（3，0）．将x＝0代入直线y＝﹣x+3得；y＝3，∴点B的坐标为（0，3），∴OA＝3，OB＝3，∵∠BAD＝90°，∴∠DAH+∠BAO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DAH＝∠ABO．又∵∠DHA＝∠BOA＝90°，∴△ADH∽△BAO，∴DHAO∴DH＝AH=3∴点D的坐标为（92，3∵曲线y=kx在第一象限经过∴k=9故选：B．总结提升：本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得D点的坐标是解题的关键．16．（2022秋•岚山区校级期末）如右图，已知矩形OABC的面积为1003，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OB：OD＝5：3A．10 B．20 C．6 D．12思路引领：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），∵矩形OABC的面积为1003∴5m•5n=100∴mn=4把D的坐标代入函数解析式得：3n=k∴k＝9mn＝9×43故选：D．总结提升：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键．17．（2022秋•达川区期末）如图，矩形AOBC的边OA＝3，OB＝4，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y=kx的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和①若k＝6，则△OEF的面积为92②若k=218，则点C关于直线EF的对称点在③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE⋅EG=256，则k＝其中正确的命题个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：①若k＝6，则计算S△OEF=92，故命题②如答图所示，若k=218，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，即可得出k的范围；④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=256，求出k＝1，故命题解：命题①正确．理由如下：∵k＝6，∴E（2，3），F（4，32∴CE＝4﹣2＝2，CF＝3-3∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF＝S矩形AOBC-12OA•AE-12OB•BF-12CE•CF＝4×3-12×3×命题②正确．理由如下：∵k=21∴E（78，3），F（4，21∴CE＝4-78=258，如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM=7在线段BM上取一点N，使得EN＝CE=258，连接在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=E∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4-7在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=B∴NF＝CF，又∵EN＝CE，∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确；命题③正确．理由如下：由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，∴0＜k＜12，故③正确；命题④错误．理由如下：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有4ma+b=34a+b=3m，解得a=-∴y=-34x+3m令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE•EG＝5m×5＝25m=2512，解得m∴k＝12m＝1，故命题④错误．综上所述，正确的命题是：①②③，共3个，故选：C．总结提升：此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．18．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=-8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△A．5 B．6 C．7 D．8思路引领：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．∵点A在y=-8∴A（-4m，2∴AJ=4∵四边形ABCD是矩形，∴DK∥BC，∴DKBC∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b-4∵JF∥DE，∴JFDE∴JFm∴JF=2mb-4∴OF＝OJ﹣JF＝2m-2mb-4∴S△BFC=12•BC•OF=12×3故选：B．总结提升：本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．19．（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A为双曲线y=-2x在第二象限上的动点，AO的延长线与双曲线的另一个交点为B，以AB为边的矩形ABCD满足AB：BC＝4：3，对角线AC，BD交于点P，设P的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为思路引领：连接OP，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，证明△AOM∽△OPN，然后利用相似三角形的性质分析求解．解：连接OP，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，∴∠AMO＝∠PNO＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AP＝PC，∵OA＝OB，∴OP∥BC，BC＝2OP，∴∠AOP＝∠ABC＝90°，AO：OP＝AB：BC＝4：3，∴∠AOM+∠PON＝90°，∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠MAO＝90°，∴∠MAO＝∠PON，∴△AOM∽△OPN，∴S△AOMS△OPN=（AO∵点A为双曲线y=-2x设点A的坐标为（a，-2∵S△AOM=1∴S△OPN=9∵P的坐标为（m，n），∴S△OPN=12mn∴mn=9故答案为：mn=9总结提升：本题考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键．20．（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则2k思路引领：根据反比例函数中k的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于|k|2，数形结合可以得到S△AOM=|k1|2，S△CON=|k1|2解：∵矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0∴由反比例函数中k的几何意义知，S△AOM∵矩形OABC与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x∴由反比例函数中k的几何意义知，S矩形OABC＝|k2|，∵四边形OMBN的面积为3，∴由图可知，S矩形OABC＝S△AOM+S△CON+S四边形OMBN，即k2=k12+k12∴2k2﹣2k1＝6，故答案为：6．总结提升：本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用k的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．21．（2022秋•长安区校级期末）如图，矩形ABCD顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），CB＝2．（1）若反比例函数y=kx与的图象过点D，则k＝（2）若反比例函数与矩形ABCD的边CD、CB分别交于点E、点F，且△CEF的面积是，则反比例函数的表达式为．（3）若反比例函数y=kx(x＞0)的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k思路引领：（1）根据题意得到点D的坐标，代入y=kx即可求得（2）设反比例函数的表达式为y=mx，可得E（m3，3），F（2，m2），而△CEF的面积是13，故12（2-（3）找出矩形ABCD边界上横、纵坐标均为整数的点，再由反比例函数y=kx（x＞解：（1）由题意可知D点的坐标为（1，3），∵反比例函数y=kx与的图象过点∴k＝1×3＝3；故答案为：3；（2）如图：设反比例函数的表达式为y=m在y=mx中，令x＝2得y=m2，令y＝3∴E（m3，3），F（2，m∵C（2，3），∴CE＝2-m3，CF＝3∵△CEF的面积是13∴12（2-m3）（3-解得m＝4或m＝8（不符合题意，舍去），∴反比例函数的表达式为y=4故答案为：y=4（3）如图：矩形ABCD边界上横、纵坐标均为整数的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），∵1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，2×1＝2，2×2＝4，2×3＝6，∴反比例函数y=kx（x＞0）的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则2＜k＜故答案为：2＜k＜3．总结提升：本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，坐标系中的整点等知识，解题的关键是数形结合思想的应用和用含字母的代数式表示相关点的坐标，相关线段的长度．22．（2022秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，求思路引领：先求得C的坐标，然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出B（2，k2），进而表示出D的坐标，代入y＝﹣3x+6即可求得k解：在y＝﹣3x+6中，令y＝0，则﹣3x+6＝0，解得x＝2，∴C（2，0），∴B（2，k2∴A（0，k2∵点D为AB的中点，∴点D（1，k2∵点D在直线y＝﹣3x+6上，∴k2=-3×∴k＝6．总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出D的坐标是解题的关键．23．（2022•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．思路引领：（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后令y＝0，即可得到点P坐标．解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，∴B（4，2）．由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），∵反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB∴k1＝xy＝2×1＝2，故反比例函数表达式为y=2令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y=1故点E坐标为（1，2），F（4，12设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：2=k解得：k2故一次函数的解析式为y=-1（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：-2=m+n1解得：m=5则直线E'F的解析式为y=5令y＝0，则x=17∴点P坐标为（175，0故答案为：（175，0总结提升：本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．24．（2022•台山市校级一模）如图，矩形OABC的边AB、BC分别与反比例函数y=4x的图象相交于点D、E，OB与DE相交于点（1）若点B的坐标为（4，2），求点D、E、F的坐标；（2）求证：点F是ED的中点．思路引领：（1）根据矩形的性质可知，D点横坐标为4，E点纵坐标为2，再结合D、E点在函数y=4x上，即可求D、E点坐标，由待定系数法求出直线ED、直线OB的解析式，直线ED与OB的交点即为（2）利用中点坐标公式求出ED的中点，刚好和F点重合．（1）解：∵点B的坐标为（4，2），∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，∴D（4，1），E（2，2），设直线ED的解析式为y＝kx+b，∴4k+b=12k+b=2解得k=-1∴直线ED的解析式为y=-12x∵直线OB的解析式为y=12联立方程组y=-1解得x=3y=∴F（3，32（2）证明：∵D（4，1），E（2，2），∴DE的中点坐标为（4+22，1+22），即（3，∵F（3，32∴点F是ED的中点．总结提升：本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．25．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE＝2（1）求证：BD＝2AD；（2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值．思路引领：（1）应从BE＝2CE入手，得到反比例函数上点E的坐标，进而得到反比例函数上另一点D的坐标，和B的纵坐标比较即可求解；（2）把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．（1）证明：∵BE＝2CE，B（a，b），∴E的坐标为（13a，b又∵E在反比例函数y=k∴k=13∵D的横坐标为a，D在反比例函数y=k∴D的纵坐标为13b∴BD＝2AD；（2）解：∵S四边形ODBE＝6，∴S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△OAD＝6，即ab-16ab-16∴ab＝9，∴k=13ab＝总结提升：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k类型四反比例函数与菱形综合26．（2022秋•江北区校级期末）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为10，BE＝3DE，则A．15 B．6 C．154 D．思路引领：由已知可得菱形边长为19，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．解：过点D做DF⊥BC于F．由已知，BC＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝10，∵BE＝3DE，∴设DE＝x，则BE＝3x，∴DF＝3x，BF＝x，FC＝10﹣x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（3x）2+（10﹣x）2＝102，解得x＝2，∴DE＝2，FD＝6，设OB＝a，则点D坐标为（2，a+6），点C坐标为（10，a），∵点D、C在双曲线上，∴2×（a+6）＝10a，∴a=3∴点C坐标为（10，32∴k＝15，故选：A．总结提升：本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．27．（2022•珠海校级三模）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x的图象上，且∠A．﹣3 B．-13 C．3 D思路引领：连接AO、BO，过点A作AM⊥x轴交于点M，过点B作BN⊥x轴交于点N，根据反比例函数关于原点中心对称，菱形也是中心对称图形，可得AC与BD相交于点O，证明△AOM∽△OBN，则（AOBO）2=-k2k1，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，可得解：连接AO、BO，过点A作AM⊥x轴交于点M，过点B作BN⊥x轴交于点N，∵y=k1x是中心对称图形，∴AC与BD相交于点O，∴AO⊥BO，∴∠AOM+∠BON＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BON＝∠OAM，∴△AOM∽△OBN，∴（AOBO）2=∵∠ADC＝120°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∴AOBO∴k2k故选：A．总结提升：本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．28．（2022秋•岚山区校级期末）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为242，则点A的坐标为思路引领：作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．想办法证明OE＝EF＝CF即可解决问题．解：作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．∵四边形ABCO是菱形，∴AD＝DC，∵AE∥DF，∴EF＝FC，∴DF=12AE∵反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点∴D（2a，12b∴OE＝EF＝FC＝a，∴OA＝OC＝3a，∴AE=OA2-O∵OC•AE＝242，∴3a•22a＝242，∴a2＝4，∵a＞0，∴a＝2，∴A（2，42）．总结提升：本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．（2022秋•福州期末）如图，四边形ABOC为菱形，∠BOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点B，交AC边于点P，若△BOP的面积为43，则点A思路引领：过点B作BE⊥CO，根据四边形四边形ABOC为菱形，得出S△POB=12S菱形ABOC，设BO＝CO＝a，根据△BOP解：如图，过点B作BE⊥CO，∵四边形ABOC为菱形，∴BO∥AC，∴S△POB∴S菱形设BO＝CO＝a，∵∠BOC＝60°，∴BE=3∴34解得：a＝4，∴OE=1∴AB＝CO＝4，∴A(-6，故答案为：（﹣6，23）．总结提升：本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．30．（2022秋•通川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为思路引领：过点C作CD⊥OA于D，根据点A的坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积列方程求出CD，然后利用勾股定理列式求出OD，从而得到点C的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可．解：如图，过点C作CD⊥OA于D，∵A点的坐标为（5，0），∴菱形的边长OA＝5，∵S菱形OABC＝OA•CD=12OB•∴5CD=12解得CD＝4，在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OD=OC∴点C的坐标为（3，﹣4），∵函数y=kx（x＞0）的图象经过∴k＝xy＝3×（﹣4）＝﹣12．故答案为：﹣12．总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的面积列方程求出OA边上的高是解题的关键．31．（2023•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，（1）求反比例函数的关系式；（2）设点M在反比例函数图象上，连接MA、MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的14，求点M思路引领：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标，利用勾股定理可求出OD的长，利用菱形的性质可得出AD的长，可得A，D，F三点共线，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值；（2）根据△MAD的面积是菱形ABCD面积的14解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，则AD∥OB，如图1所示．∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD=CF∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝OD＝5，AD∥OB，∴A，D，F三点共线，∴点A坐标为（4，8）．∵点A在反比例函数y=k∴k＝4×8＝32；∴y=32（2）由（1）知：反比例函数的关系式为y=32x（x＞设点M的坐标为（m，32m∵△MAD的面积是菱形ABCD面积的14∴12•AD•|xM﹣xD|=14OB•12×5×|m﹣4|=14∴m＝6或2，∴M（6，163）或（2，16总结提升：本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点A的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点M的坐标，列方程解决问题．类型五反比例函数与正方形综合32．（2022秋•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜A．﹣21 B．21 C．﹣24 D．24思路引领：过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．解：∵当x＝0时，y=43x+4＝∴A（0，4），∴OA＝4；∵当y＝0时，0=43x∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，∠CBE=∠BAO∠BEC=∠AOB∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝4+3＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），∵点点C在反比例函数y=kx（x＜∴k＝﹣7×3＝﹣21．故选：A．总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．33．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数y=kx(x＞0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD＝A．3 B．185 C．165 D思路引领：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，通过证得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN＝OE＝OM，BN＝CE＝AM，由BD＝2CD，根据平行线分线段成比例定理求得CE：CN＝CE：OE＝AM：OM＝1：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．解：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠COE+∠AOE＝∠AOE+∠AOM＝90°，∴∠COE＝∠AOM，在△COE与△AOM中，∠COE=∠AOM∠CEO=∠AMO∴△AOM≌△COE（AAS），∴OM＝OE，AM＝CE，同理，△COE≌△BCN，∴CN＝OE，BN＝CE，∵BH∥y轴，∴CDBC∴BD＝2CD，∴CECN∴CEOE∵OA2＝OM2+AM2，正方形OABC的面积为12，∴12＝9AM2+AM2，∴AM=30∴OM=3∴A（3305，∵反比例函数y=kx（x＞0）图象经过正方形OABC的顶点∴k=3解法二：tan∠COD＝tan∠AOM=1设AM＝a，OM＝3a，∴AO=10a由题意10a2＝12，∴a2=6∴k＝3a2=18故选：B．总结提升：本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．34．（2022秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，a）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则A．16 B．1 C．4 D．﹣16思路引领：根据反比例函数的中心对称性得到正方形OABC的面积＝16，则4a×4a＝16，解得a＝1（a＝﹣1舍去），所以P点坐标为（4，1），然后把P点坐标代入y=kx即可求出解：∵图中阴影部分的面积等于16，∴正方形OABC的面积＝16，∵P点坐标为（4a，a），∴4a×4a＝16，∴a＝1（a＝﹣1舍去），∴P点坐标为（4，1），把P（4，1）代入y=kk＝4×1＝4．故选：C．总结提升：本题考查了反比例函数的对称性和反比例函数比例系数k的几何意义．k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k35．（2022•南关区校级模拟）如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y=6x（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△A．2 B．2.5 C．3 D．3.5思路引领：连接CE．只要证明CE∥OB，推出S△OBE＝S△OBC，即可解决问题．解：连接CE．∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，∴∠ECF＝∠BOC＝45°，∴CE∥OB，∴S△OBE＝S△OBC，∵点B在y=6∴S△OBE＝S△OBC=12故选：C．总结提升：本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．36．（2022•绿园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x轴，y轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A的函数y=kx（x＞0）的图象与大正方形的一边交于点B（1，A．6 B．3 C．32 D．3思路引领：根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为m2＝3，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为32＝9，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点B（1，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y=3∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，∴设A点的坐标为（m，m），∵反比例函数y=3x的图象经过∴m=3∴m2＝3，∴小正方形的面积为3，∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且B（1，3），∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（3，3），∴大正方形的面积为32＝9，∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝9﹣3＝6．故选：A．总结提升：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．37．（2022秋•徐汇区期末）点A、M在函数y=1x（x＞0）图象上，点B、N在函数y=-3x（x＜0）图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段AB的垂线，垂足为Q、P，若四边形ABCD与四边形MNPQ均为正方形，则正方形MNPQ思路引领：设点A(a，1a)，B(b，-3b)，M(m，1解：设点A(a，1a)，B(b，∵四边形ABCD为正方形，∴1a解得a=1∴1a∵四边形MNPQ为正方形，∴1m由①，得n＝﹣3m③，把③代入②并整理，得4m2+2m﹣1＝0，解得：m1=-1-∴1m∴S正方形故答案为：6-25总结提升：此题考查了反比例函数的性质和正方形的性质，解题的关键是熟练运用上述知识，数形结合找出等量关系．38．（2022秋•薛城区期末）如图，点B是反比例函数y=kx图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为思路引领：设设B（a，b），根据正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68可得a2+b2＝68，再根据矩形OABC的周长是20得a+b＝10，则（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，将a2+b2＝68整体代入即可求出ab的值，以此即可求解．解：设B（a，b），∴AO＝BC＝a，AB＝OC＝b，∵正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，∴a2+b2＝68，∵矩形OABC的周长是20，∴2（a+b）＝20，即a+b＝10，∴（a+b）2＝100，∴a2+b2+2ab＝100，∴68+2ab＝100，∴ab＝16，∵点B是反比例函数y=k∴k＝ab＝16．故答案为：16．总结提升：本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式、整体思想是解题关键．39．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与边长等于6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△MON的面积是16，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右运动，记运动时间为t，当t＝s思路引领：由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，k6），N（k6，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，2），N（2，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM+PN的最小值，运用待定系数法求出NM′的解析式，再求出解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，k6），N（k6，∴BN＝6-k6，BM＝6∵△OMN的面积为16，∴6×6-1整理得，k2＝144∴k＝±12∵k＞0∴k＝12，∴M（6，2），N（2，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM+PN的最小值，∵AM＝AM′＝2，∴点M′的坐标为（6，﹣2），设直线NM′的解析式为y＝mx+n，把（2，6），（6，﹣2）代入得，2m+n=6解得，m=-2∴直线NM′的解析式为y＝﹣2x+10，令y＝0，则﹣2x+10＝0，解得，x＝5∴P（5，0）∴OP＝5，∴t＝5÷2＝2.5（s）故答案为2.5．总结提升：本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．40．（2022•香洲区校级三模）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象过点B，E，四边形ODEF和ABCD是正方形，顶点F在x轴的正半轴上，A，D在y轴正半轴上，点C在边DE上，延长BC交x轴于点G．若AB＝2，则四边形CEFG的面积为思路引领：设E（x，x），则B（2，x+2），根据反比例函数系数的几何意义得出x2＝2（x+2），解方程即可．解：设E（x，x），∴B（2，x+2），∵反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象过点B，∴x2＝2×（x+2），解得x1＝1+5，x2＝1-∴OF＝EF＝1+5∴GF＝1+5-2=∴四边形CEFG的面积为GF•EF＝（1+5）×（5-1）＝故答案为：4．总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上点与反比例函数中系数k的关系．41．（2022秋•蚌山区月考）如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=kx在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若OB2﹣BE2＝8，则（1）S正方形OABC﹣S正方形DEFB＝；（2）k的值是思路引领：（1）连接OB，BE，由正方形的性质和勾股定理得OB2＝2OA2，BE2＝2BD2，由OB2﹣BE2＝8得到OA2﹣BD2＝4，即可得到答案；（2）设点E的坐标是（x，y），则AO+DE＝x，AB﹣BD＝y，进一步得到（AO+DE）（AB﹣BD）＝4，则xy＝4，即可得到k的值．解：（1）连接OB，BE，∵四边形OABC和DEFB都是正方形，∴∠OAB＝∠BDE＝90°，OA＝AB，BD＝DE，∴OB2＝OA2+AB2＝2OA2，BE2＝BD2+DE2＝2BD2，∵OB2﹣BE2＝8，∴2OA2﹣2BD2＝8，∴OA2﹣BD2＝4，∴S正方形OABC﹣S正方形DEFB＝4；故答案为：4（2）设点E的坐标是（x，y），则AO+DE＝x，AB﹣BD＝y，∵OA2﹣BD2＝4，∴AB2﹣BD2＝4，∴（AB+BD）（AB﹣BD）＝4，∴（AO+DE）（AB﹣BD）＝4，∴xy＝4，∵点E在反比例函数y=k∴k＝xy＝4．故答案为：4总结提升：此题考查了反比例函数图象上点的特征、正方形的性质、勾股定理等知识，充分利用OB2﹣BE2＝8是解题的关键．42．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），连结AB，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD：y＝ax+b交双曲线y=kx（k≠0）于D、E两点，连结（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线（2）求△BEC的面积；（3）请直接写出不等式ax+b＞k思路引领：（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得BE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△BEC的面积；（3）根据图象即可求得．解：（1）∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），∴OA＝4，OB＝2，作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝2，DM＝OA＝4，∴D（4，6），∵双曲线y=kx（k≠0）经过∴k＝4×6＝24，∴双曲线为y=24把B（2，0），D（4，6）代入y＝ax+b得2a+b=04a+b=6解得a=3b=-6∴直线DE的解析式为y＝3x﹣6；（2）连接AC，交BD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解y=3x-6y=24x得x=4∴E（﹣2，﹣12），∵B（2，0），D（4，6），∴BE=(2+2)2+(0+12)2=4∴CN=12BD∴S△BEC=12BE•CN=（3）观察图象，不等式ax+b＞kx的解集﹣2＜x＜0或x＞总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了正方形的性质、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，勾股定理的应用，求得D、E的坐标是解题的关键．43．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．思路引领：（1）设AE＝3x，则OE＝5x，由勾股定理得AO＝4x，则3x+2＝4x，求出x即可求点E坐标为（6，8），再由E点坐标即可求k值；（2）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，求出D（8，6），证明△AOF∽△BFD，则∠AOF＝∠BFD，可得∠OFD＝90°，即可得到OF⊥DF，证明△AFG≌△BFD（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），即可得出PD+PC＝PG+PC＝CG，此时PD+PC的值最小，根据勾股定理即可求得结果．解：（1）∵四边形OABC是正方形，∴AO＝AB，∠OAB＝90°，设正方形的边长为x，∵BE＝2，OE＝10，∴AE＝x﹣2，由勾股定理得102＝x2+（x﹣2）2解得x1＝8，x2＝﹣6（舍去），∴点E坐标为（6，8），∴k＝6×8＝48；（2）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，将x＝8代入y=48x得y＝∴D（8，6）∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵点F是线段AB的中点，∴AF＝BF＝4，∵AFAO=12=BDBF∴△AOF∽△BFD，∴∠AOF＝∠BFD，∴∠AFO+∠BFD＝∠AFO+∠AOF＝90°，∴OF⊥DF，∵四边形OABC为正方形，∠AFG＝∠BFD，AF＝BF，∴△AFG≌△BFD（ASA），∴FG＝FD，AG＝BD＝2，∴OF为线段DG的垂直平分线，OG＝8+2＝10，∴OD＝OG，∴PG＝PD，∴PD+PC＝PG+PC＝CG．∵CG=OC2∴PD+PC的最小值为241．总结提升：本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．44．（2021秋•榆林期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），以线段AB为一边在第一象限内作平行四边形ABCD，其顶点D（3，1）在反比例函数y=kx（x＞0（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）设将正方形ABCD沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后，得到正方形A′B′C′D′，点C的对应点C′恰好落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，求思路引领：（1）过点D作DE⊥x轴于E，则DE＝1，AE＝2，进而判断出△AOB≌△DEA（SAS），得出AB＝AD，进而判断出▱ABCD是菱形，再判断出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）根据平移的性质求出点C的坐标，设正方形向左平移m个单位，则点C的对应点C'（2﹣m，3），将C'的坐标代入反比例函数解析式中求解，即可求出m．（1）证明：∵A（1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（3，1），∴DE＝1，AE＝3﹣