专题06 线段的垂直平分线与角平分线综合问题之五大考点（原卷版）

专题06线段的垂直平分线与角平分线综合问题之五大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】 1【考点二线段垂直平分线的判定】 4【考点三利用角平分线的性质求解】 8【考点四角平分线的判定】 11【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 14【过关检测】 20【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】例题：（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，P在内，点C、D分别是点P关于的对称点．如果的周长为12，则的长为（

）

A．6 B．12 C．15 D．18【变式训练】1．（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则．

3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．(1)若，则的周长为______；(2)若，求的度数．【考点二线段垂直平分线的判定】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．

(1)若，，求的度数；(2)写出与的关系，并说明理由；【变式训练】1．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．(1)求证：；(2)求证：点在线段的垂直平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、．(1)求证：是的垂直平分线；(2)若平分，，求的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】例题：（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，是中的平分线，于点E，，则（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【变式训练】1．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点2．（2023春·山西运城·七年级统考期末）如图，BD平分，P是上一点，过点P作于点Q，，O是上任意一点，连接，则的最小值为．

3．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．

(1)求的度数；(2)试说明．【考点四角平分线的判定】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，的平分线与的外角平分线相交于点，连接．求证：是的外角平分线．【变式训练】1．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；(2)若，，求的长．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，于点E，于点F，若．(1)求证：平分；(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．(1)求证：．(2)连接，求证垂直平分．(3)若，，求的长．【变式训练】1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接．(1)求证：点D在的垂直平分线上；(2)若，，则的长为___________2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．(1)求证：为的角平分线；(2)若，，求的长．3．（2023春·全国·八年级开学考试）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题3．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则的值为．4．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有．（填序号）

三、解答题5．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题：(1)求的长；(2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．6．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分，平分，于点．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的面积．8．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、．(1)求证：是的平分线．(2)求证：线段垂直平分．9．（2023秋·江西赣州·八年级统考期末）已知在中，和的平分线交于点O，．(1)如图①，若，求的度数．

图①(2)如图②，连接，求证：平分

图②(3)如图③，若射线与的外角平分线交于点P，求证：