专题03 多边形及其内角和（解析版）

专题03多边形及其内角和【知识点睛】n边形的内角和公式：，n边形的外角和为360°[反过来，当已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数]正多边形中的角度计算正n边形的每个内角都相等，均为；正n边形的每个外角都相等，均为；多边形对角线公式从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的对角线共有条【类题训练】1．为了求n边形内角和，下面是老师与同学们从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出n边形的内角和公式．这种数学的推理方式是（）A．归纳推理 B．数形结合 C．公理化 D．演绎推理【分析】由题意可知求解过程需要由易到难一步一步推理得到，进而判断出结果即可．【解答】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割成（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是归纳推理思想，故选：A．2．若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍，则n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和多边形外角和为360°，可列方程，再解方程即可．【解答】解：∵一个n边形的内角和是五边形外角和的3倍，∴180°×（n﹣2）＝360°×3，解得：n＝8，故选：C．3．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为（）A．八 B．九 C．十 D．七【分析】根据多边形的外角和是360°求解即可．【解答】解：∵360÷45＝8（边），∴多边形的边数为八，故选：A．4．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（）A．内角和不变，外角和增加180° B．外角和不变，内角和增加180° C．内角和不变，外角和增加360° D．外角和不变，内角和增加360°【分析】根据多边形的内角和公式及外角和定理求解即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则多边形的内角和为（n﹣1）×180°，外角和为360°，∴多边形的边数增加2，内角和增加2×180°＝360°，外角和不变，故选：D．5．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（）A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形【分析】设这个多边形为n边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：设这个多边形为n边形，它的外角分别为x1，x2，⋯，xn，则对应的内角分别为4x1+30°，4x2+30°，⋯，4xn+30°，根据题意得，x1+x2+⋯+xn＝360°，（4x1+30°）+（4x2+30°）+⋯+（4xn+30°）＝（n﹣2）×180°，∴4×（x1+x2+⋯+xn）+30°n＝（n﹣2）×180°，∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°，∴1440°+30°n＝180°n﹣360°，∴150°n＝1800°，∴n＝12，故选：C．6．一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．9条 B．8条 C．7条 D．6条【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D．7．小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n−2＜7，∵n为正整数，∴n＝9，∴这个多边形的边数n的值是9．故选：C．8．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（）A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，∴多边形的边数为5+3＝8，故选：B．9．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36° B．72° C．108° D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（）A．90° B．85° C．80° D．70°【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故选：D．11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．12．如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为（）A．108° B．120° C．135° D．144°【分析】根据正多边形的性质解决此题．【解答】解：如图．由题意得，∠1＝∠2＝72°，∠4＝∠5＝108°．∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝36°．∴∠AOB＝360°﹣∠4﹣∠5﹣∠3＝108°．故选：A．13．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣α B．90°+α C． D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，则∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．故选：C．14．将一副直角三角板与正五边形按如图所示的方式摆放．如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（）A．5° B．10° C．15° D．20°【分析】利用360°减去两个三角形两个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．【解答】解：因为一个三角形的内角的度数是90°，另一个三角形的内角度数是60°，正五边形的内角的度数是：×（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣41°﹣51°＝10°．故选：B．15．如图，已知AB是正六边形ABCDEF与正五边形ABGHI的公共边，连接FI，则∠AFI的度数为（）A．24° B．26° C．28° D．30°【分析】先求出正六边形和正五边形的内角，根据周角等于360°求出∠FAI的度数，根据AF＝AI，得到等腰三角形两底角相等即可得出答案．【解答】解：∵∠FAB＝＝120°，∠IAB＝＝108°，∴∠FAI＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AF＝AI，∴∠AFI＝∠AIF＝＝24°，故选：A．16．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥EF，∠BCO＝68°32'，则∠AOC的度数是（）A．92°8' B．102°8' C．110°28' D．111°28'【分析】根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角相等，∴∠EFA＝∠FAB＝∠B＝＝120°，∵AD∥EF，∴∠EFA+∠FAD＝180°，∴∠FAD＝180°﹣∠EFA＝60°，∴∠OAB＝∠FAB﹣∠FAD＝60°．∵∠BCO＝68°32'，∴∠AOC＝360°﹣∠OAB﹣∠B﹣∠BCO＝360°﹣60°﹣120°﹣68°32′＝111°28′，故选：D．17．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．18．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是．【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，∴边数n＝360°÷60°＝6．故答案为：6．19．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，则这个多边形的内角和为．【分析】设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α，然后根据多边形内角和公式求解．【解答】解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意得，（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为360°÷40°＝9．∴多边形的边数为9，∴这个多边形的内角和为（9﹣2）•180°＝1260°．故答案为：1260°．20．如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了．【分析】根据题意可知该汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．【解答】解：根据题意得：360°÷45°＝8，则他走回点A时共走的路程是8×200＝1600（米）．故回到A点共走了1600米．故答案为：1600米．21．如图，将透明直尺叠放在正五边形ABCDE上，若正五边形恰好有一个顶点E在直尺的边上，且直尺一边与DE垂直，与另一边AB交于点F，则∠AFE等于度．【分析】求出正五边形的内角后，通过推理推导即可得出答案．【解答】解：如图标记，正五边形的内角＝＝108°，∠1＝108°﹣90°＝18°，在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠1﹣∠A＝180°﹣18°﹣108°＝54°，故答案为：54．22．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝°．【分析】利用五边形的内角和，求出∠BCD+∠CDE+∠DEA＝310°，再根据平角的定义，即可求出答案．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，而∠A+∠B＝230°，∴∠BCD+∠CDE+∠DEA＝540°﹣230°＝310°，又∴∠1+∠BCD+∠2+∠CDE+∠3+∠DEA＝180°×3＝540°，∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°，故答案为：230．23．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝度．【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．故答案为：1080．24．如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝90°，求∠EFC的度数．【分析】根据角平分线的性质，，，再根据五边形内角和求出∠AED+∠BCD的值，可得到∠DEF+∠DCF的值，再利用四边形内角和为360°即可求出∠EFC的度数．【解答】解：∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，∴，．∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°．∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∠D＝90°，∴∠AED+∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B+∠D）＝540°﹣（180°+90°）＝270°，即，∵四边形EFBD内角和为360°，∴∠EFC＝360°﹣（∠D+∠DEF+∠DCF）＝360°﹣（90°+135°）＝135°．25．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．（1）求六边形ABCDEF的内角和；（2）求∠BGD的度数．【分析】（1）根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°即可得出答案；（2）根据（1）得到∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣470°＝250°，再根据四边形的内角和是360°即可得出答案．【解答】解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣