2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练 专题1.4北京卷（压轴8道+模拟变式40道）（原卷版）

【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练专题1.4北京卷（压轴8道+模拟变式40道）说明：本专辑精选了2021年北京卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第8题函数的实际问题、第16题方程的实际应用问题、第21题一元二次方程的判别式及根与系数的关系、第22题四边形的性质与判定、第24题圆的有关计算与证明、第26题二次函数综合问题、第27题几何综合问题、第28题新定义与阅读材料问题，每道题精讲精析，配有变式练习各5道，北京模拟变式训练题共40道，本试题解析共71页.【压轴一】函数的实际问题【真题再现】（2021•北京第8题）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系【变式训练】【变式1.1】（2021•朝阳区校级模拟）如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系【变式1.2】（2021•建湖县一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18° B．36° C．41° D．58°【变式1.3】（2021•海淀区二模）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为2m，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系【变式1.4】（2021•北京模拟）甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上速匀行驶，乙到B地后即停车等甲．甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为（）A．0.25小时 B．0.5小时 C．1小时 D．2.5小时【变式1.5】（2021•丰台区二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（）A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多【压轴二】方程的实际应用【真题再现】（2021•北京第16题）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则𝑚𝑛的值为．【变式训练】【变式2.1】（2021•丰台区二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．【变式2.2】（2021•丰台区二模）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件，依据题意列出关于x的方程．【变式2.3】（2021•通州区一模）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为52，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．【变式2.4】（2021•西城区一模）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是．【变式2.5】（2021•海淀区二模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．【压轴三】一元二次方程的判别式及根与系数的关系【真题再现】（2021•北京第21题）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【变式训练】【变式3.1】（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．【变式3.2】（2021•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．【变式3.3】（2021•东城区二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．（1）求证：此方程总有实数根；（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．【变式3.4】（2021•西城区二模）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【变式3.5】（2021•昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．【压轴四】四边形的性质与判定【真题再现】（2021•北京第22题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB=45，求BF和AD的长．【变式训练】【变式4.1】（2021•平谷区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF=10，DF＝2，求AE的长．【变式4.2】（2021•门头沟区二模）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC＝8，AO=52，求四边形AEBC的面积．【变式4.3】（2021•西城区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N，点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．（2）若DN=10，则BC＝，tan∠DBC＝．【变式4.4】（2021•北京二模）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高及DE的长．【变式4.5】（2021•房山区二模）如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，∠BAC＝30°，点M是DC延长线上一点，∠BAC的平分线与∠BCM的平分线交于点E，将线段CA绕点C逆时针旋转，得到线段CF，使点F在射线CB上，连接EF．（1）依题意补全图形；（2）求∠AEC的度数；（3）用等式表示线段AE，CE，EF之间的数量关系，并证明．【压轴五】圆的有关计算与证明【真题再现】（2021•北京第24题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．【变式训练】【变式5.1】（2021•平谷区二模）如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．（1）求证：CB平分∠ABD；（2）若𝑠𝑖𝑛∠𝐸=35，BC＝5，求CE长．【变式5.2】（2021•门头沟区二模）已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，直线AC是⊙O的切线，OD∥AC．（1）求∠ACD的度数；（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．【变式5.3】（2021•顺义区二模）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）若AB＝6，sin∠CEB=35，求CB和EF的长．【变式5.4】（2021•海淀区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．（1）求∠EAB的度数；（2）若BC＝22−2，求BE的长．【变式5.5】（2021•东城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF＝4，𝑠𝑖𝑛𝐷=23，求BE的长．【压轴六】二次函数的性质综合问题【真题再现】（2021•北京第26题）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．【变式训练】【变式6.1】（2021•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值；（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．【变式6.2】（2021•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．【变式6.3】（2021•房山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2．（1）用含a的代数式表示b；（2）当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值；（3）当y1＜y2时，求a的取值范围．【变式6.4】（2021•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣5（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若抛物线与y轴的一个交点为A（0，﹣4），且当m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5≤y≤n，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n的值和对应m的取值范围．【变式6.5】（2021•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ahx+ah2+1（a＜0）上的两点．（1）当h＝1时，求抛物线的对称轴；（2）若对于0≤x1≤2，4﹣h≤x2≤5﹣h，都有y1≥y2，求h的取值范围．【压轴七】几何综合问题【真题再现】（2021•北京第27题）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．【变式训练】【变式7.1】（2021•海淀区校级模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，连接AE．（1）直接判断AE与AD的位置关系（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若𝐴𝐸=2，𝐸𝐶=2，求EG的长．【变式7.2】（2021•丰台区二模）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），且OA＞OB，OP平分∠MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF＝OA，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）求证：CB＝CF；（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明．【变式7.3】（2021•西城区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且∠APB＝45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．（1）当∠ABP＝90°时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数量关系；（2）如图2，当∠ABP＞90°时，①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；②在线段AP上取一点K，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出此时𝐾𝑃𝐵𝑃的值．【变式7.4】（2021•石景山区一模）阅读下面材料：小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：线段PM与PN的数量关系为；PM+PN与a的数量关系是．参考小石思考问题的方法，解决问题：如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．【变式7.5】（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【压轴八】新定义与阅读综合问题【真题再现】（2021•北京第28题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是B2C2；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．【变式训练】【变式8.1】（2021•平谷区二模）对于平面直角坐标系xOy中的一点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在一个点A，连接PA，将射线PA绕点P顺时针旋转90°得到射线PM，若射线PM与⊙C相交于点B，则称P为⊙C的直角点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D（0，0）、E（﹣1，1）、F（2，2）中，⊙O的直角点是．②已知直线l：y＝x+b，若直线l上存在⊙O的直角点，求b的取值范围．（2）若Q（q，0），⊙Q的半径为1，直线y=−3x+32q上存在⊙Q的直角点，直接写出q的取值范围．【变式8.2】（2021•门头沟区二模）在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC关于∠BAC的“劲度点”，线段PA的长度称为△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点P1、P2、P3、P4中，连接点A和点的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N（4，0）．①当t＝5时，求出△MON关于∠MON的“劲度距离”d1的最大值．②如果2≤𝑑≤22内至少有一个值是△MON关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．【变式8.3】（2021•北京二模）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图