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文档简介
专题5.15坐标与图形变换——轴对称(分层练习)(培优练)单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(2023秋·九年级课前预习)台风“纳沙”来袭,气象台需要确定台风中心位置,下列说法能确定台风中心位置的是(
).A.北纬,东经 B.距离三沙市C.海南省附近 D.北纬,偏东2.(2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末)已知点,,点在线段上运动,当时,的取值范围为()A. B. C. D.3.(2023·全国·九年级专题练习)点关于第一、三象限的角平分线对称的点为点,关于第二、四象限的角平分线对称的点为点,则点,的坐标分别为()A.,B.,C., D.,4.(2022·四川绵阳·校考二模)已知点的坐标为,且,则点关于轴的对称点坐标为()A. B. C. D.5.(2022秋·全国·八年级期中)已知点B(1,0)与点B'关于y轴对称,直线m过点B(1,0)且与y轴平行,点C(4,2)与点C'关于直线m对称,则B'C'的长为(
)A. B. C. D.6.(2022秋·八年级课时练习)在平面直角坐标系中,P点坐标为(,),点坐标为(m,n),两点关于y轴对称,则下列选项正确的是(
)A.m>0,n<0 B.m<0,n>0C.m>0,n>0 D.m<0,n<07.(2023春·四川内江·七年级统考阶段练习)如图,在锐角三角形中,的面积15,平分交于点D,若分别是上的动点,则的最小值为()
A.3 B.4 C.5 D.68.(2023春·河北邢台·七年级校考期中)有甲、乙、丙三人,他们所在的位置不同,三人都以相同的单位长度和方向建立不同的坐标系.根据甲、丙两人的描述,如果以乙为坐标原点,甲和丙的位置分别是(
)甲:“以我为坐标原点,乙的位置是.”
丙:“以我为坐标原点,甲的位置是.”A., B.,C., D.,9.(2023春·全国·七年级期中)下列说法中正确的有()个①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的;②点位于第三象限;③点到y轴的距离为m;④点和点关于x轴对称,则的值为5;⑤若,则点在第一、三象限角平分线上.A.1 B.2 C.3 D.410.(2021秋·全国·八年级专题练习)在平面直角坐标系xOy中,第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到△A1B1C1,第二次在作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2,第三次△A2B2C2作原点的中心对称图形得到△A3B3C3,第四次再作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4,按照此规律作图形的变换,可以得到△A2021B2021C2021的图形,若点C(3,2),则C2021的坐标为(
)A.(3,-2) B.(-3,2) C.(3,2) D.(-3,-2)填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.(2023春·辽宁大连·七年级统考期中)如图,货轮正驶向此刻与它相距海里的港口,如要将港口相对于货轮的位置表示为北偏东,,那么货轮相对于港口的位置可表示为.
12.(2023秋·福建福州·九年级校考开学考试)在平面直角坐标系中,,,则的最小值是.13.(2020秋·辽宁沈阳·八年级统考期末)已知a、b为整数,,则关于y轴对称点的坐标为.14.(2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期末)如图,在中,,点是边上一点,连接,,是线段上两点,,,点,分别是,边上的动点,连接,,,则的最小值为.
15.(2023春·河南周口·七年级统考期末)将一组数,,,,按下面的方法进行排列:
……若的位置记为,的位置记为,则这组数中最大的有理数的位置记为.16.(2020秋·广东潮州·八年级统考期中)如图,在平面直角坐标系中,点、在y轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小,则点P的坐标是.
17.(2023秋·全国·八年级专题练习)在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形,其中点的对称点A′坐标为,点为图象上的一点,则点M在图象上的对称点坐标为.18.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,在中,AD为BC边上的高线,且,点M为直线BC上方的一个动点,且面积为的面积2倍,则当最小时,的度数为°.三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)(2022秋·山西太原·八年级统考期中)如图,平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,.(1)将点A,B,C的横坐标乘,纵坐标不变,依次得到点D,E,F.请在图中画出;(2)上面所画与的位置关系为______.(3)若与关于x轴对称,请画出,此时C,两点之间的距离为______.20.(8分)(2022秋·山东烟台·七年级统考期末)如图所示,平面直角坐标系中网格小正方形的边长都为1,点A、B、C、D是四边形的四个顶点.(1)请你画出四边形关于y轴对称的图形.(2)若点,且PC//y轴,求P点的坐标.(3)若点在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求的值.21.(10分)(2022秋·辽宁抚顺·八年级校考期中)如图,三个顶点的坐标是,,,点D的坐标是,E在坐标平面内,与全等.(1)画出满足条件的所有的;(2)写出点E的坐标.22.(10分)(2022秋·山东东营·七年级校联考期中)如图,是一个简单的平面示意图,已知OA=2km,OB=6km,OC=BD=4km,点E为OC的中点,回答下列问题:(1)由图可知,高铁站在小明家南偏西65°方向6km处.请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置;(2)图中到小明家距离相同的是哪些地方?(3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处,请在图中标出小强家的位置.23.(10分)(2023秋·山东德州·八年级统考期末)如图,的顶点分别为,先将以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到,再将以x轴为对称轴通过轴对称得到.(1)画出;(2)写出三点的坐标;(3)一般地,某一点经过这样的两次轴对称变换后得到的点的坐标为__________.24.(12分)(2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习)(1)呈现:如图1,等腰直角三角形的直角顶点在直线上,分别过点作于,于,则有.请你证明这个结论;(2)应用:如图2,已知,,把线段绕点顺时针方向旋转后得到线段,求点的坐标;(3)拓展:如图3,直线直线,垂足为,点A是直线上一定点,且,点在直线上运动,以为边作等腰,(点呈顺时针排列),当点在直线上运动时,点也随之运动.在点的运动过程中,的最小值为______.参考答案:1.A【分析】根据坐标确定位置的相关知识可直接进行分析即可得解.解:A、北纬,东经表示具体坐标,能确定台风中心位置,故符合题意;B、距离三沙市,范围太广,不能确定台风中心位置,故不符合题意;C、海南省附近,范围太广,不能确定台风中心位置,故不符合题意;D、北纬,偏东,范围太广,不能确定台风中心的具体位置,故不符合题意;故选∶A.【点拨】本题主要考查坐标表示位置,解题的关键是判断是不是利用坐标来表示位置.2.A【分析】作点A关于x轴的对称点,则.再结合图象即可直接确定的取值范围.解:如图,作点A关于x轴的对称点,则.∵,∴点C在上,且不与重合.∵,∴的取值范围为.故选A.【点拨】本题考查坐标与图形,轴对称的性质.利用数形结合的思想是解题关键.3.B【分析】分别利用关于第一、三象限的角平分线和关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标特征解决问题即可.解:点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为,关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为.故选:B.【点拨】本题考查坐标与图形变化—对称,点关于轴对称的点的坐标为;点关于轴对称的点的坐标为;点关于原点对称的点的坐标为;点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为;点关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为.解题的关键是掌握轴对称的性质和点对称的坐标特征.4.A【分析】根据二次根式的非负性和完全平方公式求出m,n的值,进而即可求解.解:∵,∴,∴,解得:,∴的坐标为,∴点关于轴的对称点坐标为.故选:A.【点拨】本题主要考查二次根式与平方的非负性,点的坐标,轴对称变换,根据非负数的性质,求出m,n的值是关键.5.A【分析】根据轴对称的性质得到点、的坐标,再根据勾股定理求出的长.解:点B(1,0)与点关于y轴对称,∴(-1,0),∵直线m过点B(1,0)且与y轴平行,∴直线m的解析式为x=1,∴点C(4,2)关于直线m对称的点的坐标为(-2,2),∴==,故选:A.【点拨】此题考查了轴对称的性质,勾股定理求线段长度,正确理解轴对称的性质得到点、的坐标是解题的关键.6.B【分析】根据关于y轴对称的两点横坐标互为相反数,纵坐标相等,得=-m,=n,求解即可.解:∵点P与点P`关于y轴对称,∴两点横坐标互为相反,纵坐标相等,∴=-m,=n,即m<0,n>0,故选:B.【点拨】本题考查关于y轴对称点的坐标特征,绝对值的意义,熟练掌握关于y轴对称的两点横坐标互为相反数,纵坐标相等是解题的关键.7.D【分析】过作于点,交于点,过点作于,则即为的最小值,再根据三角形的面积公式求出的长,即为的最小值;解:过作于点,交于点,过点作于,如图:
∵平分于点于,∴,∴是最小值,此时与重合,与重合,∵三角形的面积为,∴,∴,即的最小值为6;故选:D【点拨】本题考查三角形中的最短路径,解题的关键是理解的长度即为最小值8.B【分析】先根据甲的描述确定甲的位置,再根据丙的描述确定丙和甲的相对位置,进而求出丙的位置.解:以甲为坐标原点,乙的位置是,则以乙为坐标原点,甲的位置是,由“以丙为坐标原点,甲的位置是”,可知甲向右移动7个单位长度,再向上移动5个单位长度与丙重合,因此以乙为坐标原点,丙的位置是,即,故选B.【点拨】本题考查用坐标表示位置,解题的关键是根据丙的描述确定丙和甲的相对位置.9.B【分析】根据直角坐标系的特点可判断①正确;举反例即可判断②错误;根据点到坐标轴的距离为非负数即可判断③错误;关于x轴对称的两点横坐标相等,纵坐标互为相反数,据此可知④正确;由可得,可知直线是第二、四象限的角平分线,即可判断⑤错误.解:①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的,说法正确;②当时,点位于第二象限,故原说法错误;③点到y轴的距离为,故原说法错误;④关于x轴对称的两点横坐标相等,纵坐标互为相反数,则有:,,即,故说法正确;⑤由可得,可知直线是第二、四象限的角平分线,故原说法错误;即正确的有2个,故选:B.【点拨】本题主要考查了直角坐标系的相关知识,涉及点到坐标轴的距离、点坐在象限的判断、关于坐标轴对称的点的性质等知识,充分掌握直角坐标系的相关知识,是解答本题的关键.解答此类题目时要善于举反例求证.10.D【分析】根据题意做出前几次的图像,找出规律,根据规律推出C2021即可解:根据题意做出如图前四次图像如下:由图像知每四次一个循环,则,即第2021次在第三象限,∵点C(3,2),∴C2021点坐标为:(-3,-2);故答案选:D【点拨】此题考查坐标变换,属于规律题,根据前几个图像坐标推算出规律是解题关键.11.南偏西,【分析】以点为观测点,来描述点的方向及距离即可.解:如图,由题意知货轮相对于港口的位置可表示为南偏西,.
故答案为:南偏西,.【点拨】本题考查了用方向角和距离确定位置,用方向角描述方向时,通常以正北或正南方向为角的始边,以对象所处的射线为终边,故描述方向角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.12.【分析】根据点的坐标可确定点在直线上,可得是等腰直角三角形,作点关于直线的对称点,连接与交于点,连接,可求出点的坐标,当点在线段时,的值最小,即最小,由此可得,在中,根据勾股定理即可求解.解:当时,,∴点在直线的直线上,如图所示,令时,;令时,;即直线与轴的交点为,与轴的交点为,∴是等腰直角三角形,且,如图所示,作点关于直线的对称点,连接与交于点,连接,∴,∴,即是的垂直平分线,∴,,∴,∵点关于直线的对称点,∴,当点在线段时,的值最小,即最小,如图所示,∴,在中,,,∴,∴的最小值是,故答案为:.【点拨】本题主要考查一次函数与对称轴—对短路径的问题,掌握点关于直线对称的性质,对称性与对短路径的计算方法,勾股定理等知识是解题的关键.13.【分析】根据无理数的估算求出的值,再根据关于轴对称的点的特征:横坐标互为相反数,纵坐标相同,进行求解即可.解:∵,且a,b为整数∴,且a,b为整数∴关于y轴对称点的坐标为;故答案为:.【点拨】本题考查无理数的估算,坐标与轴对称.解题的关键是掌握夹逼法估算无理数,以及关于轴对称的点的特征:横坐标互为相反数,纵坐标相同.14.17【分析】作点M关于的对称点,作点N关于的对称点,连接分别交,,于点P,Q,此时有最小值,即的长度.解:作点M关于的对称点,作点N关于的对称点,连接分别交,,于点P,Q,连接,,
∵,由对称性可知,,,∴,∴,由对称性可得,,由勾股定理得,,∴,当M、N、P、Q共线时,的值最小,即的最小值为17.【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题,勾股定理,找出P点的位置是解题的关键.15.【分析】每相邻的二次根式的被开方数是的倍数,故求,一行个数,得,位于第五行第五个数,进而得位于第五行第三个数.解:由题意可知,一行个数,每个数都为的倍数,可得,,位于第五行第五个数,记作,这组数中最大的有理数是,位于第五行第三个数,记作,故答案为:.【点拨】本题考查了算术平方根和数字变化规律,掌握算术平方根的定义,根据数字变化规律找出位于第五行第五个数是解题关键.16.【分析】如图所示,过点A作轴于D,作点B关于y轴的对称点C,连接交y轴于H,连接,则,利用轴对称的性质推出当A、C、P三点共线时,最小,即最小,此时点P与点H重合,根据求出,由此即可得到答案.解:如图所示,过点A作轴于D,作点B关于y轴的对称点C,连接交y轴于H,连接,则,∴,∴,∴当A、C、P三点共线时,最小,即最小,此时点P与点H重合,∵、,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,即,故答案为:.
【点拨】本题主要考查了坐标与图形,轴对称最短路径问题,正确作出辅助线是解题的关键.17.【分析】先求出对称轴的表达式,设点M在图象上的对称点坐标为,根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案.解:∵点的对称点坐标为,∴对称轴为:,设点M在图象上的对称点坐标为,∴3,,∴,∴点M在图象上的对称点坐标为.故答案为:.【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣对称,掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键.18.45解:如图,作过点的直线,使得,作关于的对称点,连接,交于点,则,当三点共线时,取得最小值,过点作,,,,中,AD为BC边上的高线,面积为的面积2倍,,,根据平行线间的距离相等,可得,则,是等腰直角三角形,.故答案为:.【点拨】本题考查了三角形的高线,等腰直角三角形的性质,平行线的距离,轴对称求线段和的最小值,掌握轴对称的性质是解题的关键.19.(1)见分析;(2)关于轴对称;(3)【分析】(1)求出D,E,F的坐标,描点连线即可;(2)由图象可知关于轴对称;(3)由于与关于轴对称,求出各点坐标,描点连线,再根据勾股定理求得两点之间的距离.(1)解:根据题意,,,∴,,∴D,E,F的坐标为,,;如下图所示:(2)∵,∴,∴与关于轴对称(3)∵与关于轴对称,∴对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,∴,,∴,,的坐标为,,;如下图所示:∴.【点拨】本题考查了轴对称的特点,用勾股定理求两点之间的距离,根据题意求得对应点的坐标是解题的关键.20.(1)见分析;(2);(3)2020【分析】(1)分别画出A,B,C,D的对应点A′,B′,C′,D′即可解决问题;(2)确定点C坐标,根据平行y轴的直线上点的坐标特征得出方程求解即可;(3)根据点在第二象限,它到x轴、y轴的距离相等,列方程,求出a的值,再代入计算即可.解:(1)四边形ABCD关于y轴的对称图形四边形A′B′C′D′如图所示;(2)由图知∵PC//y轴,∴解得:∴(3)∵点P在第二象限,∴,a+5>0,又∵点P到x轴、y轴的距离相等∴,解得:
则【点拨】本题考查作图-轴对称变换,坐标与图形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.21.(1)见分析;(2),,,【分析】(1)利用关于x轴对称得到,画出点关于的垂直平分线的对称点,可得然后画出点、点关于直线的对称点、,可得,,再画图即可;(2)根据(1)的图形,可得E的坐标.解:(1)如图,利用关于x轴对称得到,画出点关于的垂直平分线的对称点,可得然后画出点、点关于直线的对称点、,可得,,(2)由(1)得:,,,【点拨】本题考查的是利用轴对称,全等三角形的定义,坐标与图形,熟练的利用轴对称的性质构建全等三角形是解本题的关键.22.(1)学校在小明家北偏东45°方向2km处,博物馆在小明家南偏东50°方向4km处;(2)图
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