专题5.3 平面直角坐标系（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.3平面直角坐标系（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).特别解读：平面直角坐标系三要素：两条数轴、有公共原点、互相垂直.【知识点2】点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.特别解读：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.（3）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．【知识点3】坐标平面1.象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．特别解读：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.【知识点4】点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律特别解读：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【知识点5】建立平面直角坐标系1.建立平面直角坐标系的基本思路（1）分析条件，选择适当的点作为原点；（2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴和y轴；（3）确定正方向、单位长度。2.建立平面直角坐标系的基本方法（1）使图形中尽量多的点在坐标轴上；（2）以某条特殊线段所在的直线为x轴或y轴,如三角形的高、中线等；（3）以对称图形的对称轴为x轴或y轴；（4）以某个已知点为原点,使其坐标为(0，0)。特别解读：根据条件建立平面直角坐标系是确定点的坐标的必须过程，只有建立适当的平面直角坐标系的基础上，点的位置才能确定，这是数形结合的体现。【考点一】平面直角坐标系➼➻写出点的坐标【例1】（2023春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标．（1）点的纵坐标比横坐标大3；（2）点到轴的距离为2，且在第四象限．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意列出，解方程即可求解；（2）根据题意列出，再根据点在第四象限，即可求解．（1）解：根据题意有：，∴，∴；（2）∵，∴或者，∴或者，∵点在第四象限，∴．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一元一次方程的应用等知识，根据题意列出一元一次方程，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，由，可求点N的坐标．解：由题意知，，∵，∴点N的坐标为，故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理，点的坐标．解题的关键是掌握勾股定理．【变式2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知线段平行于轴，且的长度为（在的右侧），若，则点的坐标为．【答案】【分析】轴，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，的长度为（在的右侧），则点的横坐标为．解：如图所示．

因为轴，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，均为．因为的长度为（在的右侧），则点的横坐标为．所以，点的坐标为．故答案为：．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移，能根据题意找到点的位置是解题的关键．【考点二】平面直角坐标系➼➻求点到坐标轴的距离【例2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知点，分别求符合下列条件a的值：（1）点P到y轴的距离为2；（2）点P到两坐标轴的距离相等．【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）根据横坐标的绝对值等于2列式求解即可；（2）根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列式计算即可．解：（1）∵点P到y轴的距离为2，∴，即或，解得或（2）∵点P到两坐标轴的距离相等，∴，即：或，解得：或．【点拨】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．【举一反三】【变式1】（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）如果点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（

）A．4 B． C．4或 D．4或【答案】D【分析】根据点到轴的距离与到轴的距离相等得到或，再解一元一次方程即可得到答案．解：点到轴的距离与到轴的距离相等，，即或，解得：或，故选：D．【点拨】本题主要考查了求点到坐标轴的距离，解一元一次方程，根据题意得出是解题的关键．【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如果点到x轴的距离为4，那么a的值为．【答案】或【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，进行求解即可．解：由题意，得：，∴或，故答案为：或．【点拨】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到坐标轴的距离是点的横纵坐标的绝对值，是解题的关键．【考点三】平面直角坐标系➼➻判断点所在象限【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）若x，y为实数，且满足．（1）如果实数x，y对应为平面直角坐标系上的点，则点A在第几象限？（2）求的值？【答案】（1）点A在第四象限；（2）【分析】（1）根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值，根据点的符号特征，即可判断出点A所在象限；（2）将的值，代入代数式进行计算即可．（1）解：∵，，，∴，，解得：，；∴，在第四象限；（2）解：∵，，∴．【点拨】本题考查非负性．熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．同时考查了象限点的符号特征，以及有理数的乘方运算．【举一反三】【变式1】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）已知是x轴上一点，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用轴上点的坐标得出，进而得出点坐标，即可所在象限．解：点在轴上，，即，，则点即在第四象限．故选：D．【点拨】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．【变式2】（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）已知a，b为两个连续的整数，且，则点在第象限【答案】四【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大求得a、b的值，然后利用坐标即可判断．解：∵，∴．∵a，b为两个连续整数，且，∴，．∴的实际坐标为：在第四象限，故答案为：四．【点拨】本题主要考查的是估算无理数的大小，判断点所在的象限，求得a、b的值是解题的关键．【考点四】平面直角坐标系➼➻由点所在象限求参数【例4】（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标（1）点在轴上．（2）到轴的距离为3，且在第四象限．（3）在第一、三象限角平分线上．（4）点在第一象限，则的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据点在轴上y为0，列式求解即可得到答案；（2）根据点到轴的距离是列式求解，并结合点在第四象限选择，即可得到答案；（3）根据一三象限角平分线上点横纵坐标相同列式求解即可得到答案；（4）根据第一象限点横纵坐标都大于0直接列不等式求解即可得到答案；（1）解：∵点在轴上，∴，解得：，此时点P为：；（2）解：∵到轴的距离为3，点在第四象限，∴，解得：，∴；（3）解：∵在第一、三象限角平分线上，∴，解得：，∴；（4）解：∵点在第一象限，∴，解得：；【点拨】本题考查平面内点坐标的特征：x轴上点y为0，y轴上点x为0，点到坐标轴的距离是另一坐标轴的绝对值，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．【举一反三】【变式1】（2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）若点是第四象限内的点，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据第四象限内的点的坐标特点解答即可．解：点是第四象限内的点，，，，，，不一定小于0．故选项A符合题意．故选：A．【点拨】此题考查点的坐标，关键是根据第四象限内的点的坐标特点解答．【变式2】（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考开学考试）若点在第二象限，则a的取值范围．【答案】【分析】根据第二象限点的坐标特征进行解答即可．解：∵第二象限点的坐标特征是横坐标小于0，纵坐标大于0，，．故答案为：．【点拨】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特征，第二象限点的坐标特征是横坐标小于0是解题关键．【考点五】平面直角坐标系➼➻建立平面直角坐标系【例5】（2023春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点上．

（1）请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为和，并写出点C的坐标为__________；（2）求三角形的面积．【答案】（1）见分析，；（2）【分析】（1）根据点A，B的坐标即可确定平面直角坐标系，即可求解；（2）将补成长方形，即可求解．（1）解：如图

由上图得：．故答案：．（2）解：如图，

将补成如上图的长方形，．【点拨】本题主要考查了建立适当的平面直角坐标系，并会找出点的坐标，用割补法求格点三角形的面积，掌握面积求法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图，正方形的边长为，建立平面直角坐标系后，表示点的坐标正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正方形的性质以及坐标系，逐项分析判断即可求解．解：A.的坐标为，故该选项正确，符合题意；B.的坐标为，故该选项不正确，不符合题意；

C.的坐标为，故该选项不正确，不符合题意；

D.的坐标为，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）如图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋的坐标是，白棋的坐标是，则黑棋的坐标是．

【答案】【分析】先建立坐标系，根据黑棋在坐标系中的位置即可得出结论．解：建立平面直角坐标系如图，

黑棋的坐标为．故答案为：．【点拨】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点是解题的关键．【考点六】平面直角坐标系➼➻坐标与图形【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）如图建立平面直角坐标系，长方形中，点，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点运动时间为秒．（1）写出点的坐标（____________，____________），当时点坐标为（____________，____________）（2）在点运动过程中，当点到轴的距离为个单位长度时，则点运动的时间为____________秒．（3）若点出发秒时，点以每秒个单位长度的速度也沿着的路线运动到点停止，求为何值时点、在运动路线上相距的路程为个单位长度？并直接写出此时点的坐标．【答案】（1）；；（2）或；（3）当秒时，；当秒时，；当秒时，【分析】（1）根据长方形的性质，可得点坐标，根据速度乘以时间，可得点的横坐标，根据长方形的性质，可得点的纵坐标；（2）根据题意可得的长，根据线段的和差，可得的长，利用时间等于路程除以速度，可得答案；（3）根据、间的距离，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．（1）解：∵长方形中，点，∴，，轴，轴，∴，∵点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，∴，∴，∴．故答案为：；．（2）当时，∴；当时，，∴．故答案为：或．（3）设运动了秒时点、在运动路线上相距的路程为个单位长度，由（1）知：，，当在前面时，，解得，∴，∴；当在前面时，，解得，∴，∴，∴；当停止，到时，即，．∴综上所述，当秒时，；当秒时，；当秒时，．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，利用了长方形的性质，路程、时间、速度的关系，利用两点间的距离得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．【举一反三】【变式1】（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设交轴于点，由四边形是矩形与折叠的性质，证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得，的长，进而得出，勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积即可求解．解：如图所示，设交轴于点，

∵四边形是长方形，∴，，∴，根据题意得：，，∴，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，∴，在中，，设到轴的距离为，∴，即，则点的横坐标为．故选：D．【点拨】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．【变式2】（2023秋·江西赣州·八年级统考期末）在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别为，，．如果要使与全等，那么符合条件的点D的坐标是．【答案】或或【分析】要使与全等，可知两个三角形的公共边为，运用对称即可求出所需的点的个数．解：如下图所示，有三种情况满足与全等，，∴点D的坐标为或或．故答案为：或或．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，写出直角坐标系中的点坐标，熟练掌握关于对称作图中点的坐标特征并能灵活运用是本题解题的关键．【考点七】平面直角坐标系➼➻坐标系中规律问题【例7】（2023春·安徽淮南·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，设，n＝1，2，3，…．

（1）依次写出，，，，，的值；（2）计算的值为；（3）计算的值．【答案】（1）1，，，3，3，；（2）4；（3）1012【分析】（1）根据平面直角坐标系结合各