2023年广西高考数学试卷（理科）（甲卷）

2023年广西高考数学试卷（理科）（甲卷）试题数：23，满分：1501.（单选题，5分）设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）=（）A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅2.（单选题，5分）若复数（a+i）（1-ai）=2，a∈R，则a=（）A.-1B.0C.1D.23.（单选题，5分）执行下面的程序框图，输出的B=（）A.21B.34C.55D.894.（单选题，5分）向量||=||=1，||=，且+=，则cos〈-，-〉=（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）已知正项等比数列{an}中，a1=1，Sn为{an}前n项和，S5=5S3-4，则S4=（）A.7B.9C.15D.306.（单选题，5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.（单选题，5分）“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.（单选题，5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，则|AB|=（）A.B.C.D.9.（单选题，5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010.（单选题，5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y=f（x）与的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411.（单选题，5分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的面积为（）A.B.C.D.12.（单选题，5分）已知椭圆=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=，则|PO|=（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）若y=（x-1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a=___．14.（填空题，5分）设x,y满足约束条件，设z=3x+2y,则z的最大值为___．15.（填空题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为___．16.（填空题，5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=___．17.（问答题，12分）已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn．18.（问答题，12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°，A1到平面BCC1B1的距离为1．

（1）求证：AC=A1C；

（2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．19.（问答题，12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．

（1）设X表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：＜m≥m对照组实验组（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：K2=，P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63520.（问答题，12分）设抛物线C：y2=2px（p＞0），直线x-2y+1=0与C交于A，B两点，且|AB|=4．

（1）求p的值；

（2）F为y2=2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且•=0，求△MNF面积的最小值．21.（问答题，12分）已知f（x）=ax-，x∈（0，）．

（1）若a=8，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围．22.（问答题，10分）已知P（2，1），直线（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，|PA|•|PB|=4．

（1）求α的值；

（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．23.（问答题，0分）已知f（x）=2|x-a|-a,a＞0．

（1）解不等式f（x）＜x；

（2）若曲线y=f（x）与x轴所围成的面积为2，求a.

2023年广西高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析试题数：23，满分：1501.（单选题，5分）设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）=（）A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅【正确答案】：A【解析】：根据集合的基本运算，即可求解．

【解答】：解：∵A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，

∴A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2，k∈Z}，又U为整数集，

∴∁U（A⋃B）={x|x=3k,k∈Z}．

故选：A．

【点评】：本题考查集合的基本运算，属基础题．2.（单选题，5分）若复数（a+i）（1-ai）=2，a∈R，则a=（）A.-1B.0C.1D.2【正确答案】：C【解析】：根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出a的值．

【解答】：解：因为复数（a+i）（1-ai）=2，

所以2a+（1-a2）i=2，

即，解得a=1．

故选：C．

【点评】：本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题．3.（单选题，5分）执行下面的程序框图，输出的B=（）A.21B.34C.55D.89【正确答案】：B【解析】：根据程序框图列表，即可求解．

【解答】：解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B=34．

故选：B．

【点评】：本题考查程序框图问题，列表法，属基础题．4.（单选题，5分）向量||=||=1，||=，且+=，则cos〈-，-〉=（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据题意，用、表示，利用模长公式求出cos＜，＞，再计算-与-的数量积和夹角余弦值．

【解答】：解：因为向量||=||=1，||=，且+=，所以-=+，

所以=++2•，

即2=1+1+2×1×1×cos＜，＞，

解得cos＜，＞=0，

所以⊥，

又-=2+，-=+2，

所以（-）•（-）=（2+）•（+2）=2+2+5•=2+2+0=4，

|-|=|-|===，

所以cos〈-，-〉===．

故选：D．

【点评】：本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．5.（单选题，5分）已知正项等比数列{an}中，a1=1，Sn为{an}前n项和，S5=5S3-4，则S4=（）A.7B.9C.15D.30【正确答案】：C【解析】：利用已知条件求解等比数列的公比，然后求解即可．

【解答】：解：等比数列{an}中，设公比为q,

a1=1，Sn为{an}前n项和，S5=5S3-4，显然q≠1，

（如果q=1，可得5=15-4矛盾），

可得=5•-4，

解得q2=4，即q=2，

S4===15．

故选：C．

【点评】：本题考查等比数列前n项和的求法，是中档题．6.（单选题，5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【正确答案】：A【解析】：根据题意，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，由古典概型公式求出P（A）和P（AB），进而由条件概率公式计算可得答案．

【解答】：解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，

则P（A）==，

由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60-70=40人，则P（AB）==，

则P（B|A）===0.8．

故选：A．

【点评】：本题考查条件概率的计算，涉及集合间的基本关系，属于基础题．7.（单选题，5分）“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【正确答案】：B【解析】：利用同角三角函数基本关系式，结合充要条件判断即可．

【解答】：解：sin2α+sin2β=1，可知sinα=±cosβ，可得sinα±cosβ=0，

所以“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】：本题考查同角三角函数基本关系式以及充要条件的应用，是基础题．8.（单选题，5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，则|AB|=（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．

【解答】：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，

可得c=a,所以b=2a,

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,

一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，

圆的圆心到直线y=2x的距离为：=，

所以|AB|=2=．

故选：D．

【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．9.（单选题，5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【正确答案】：B【解析】：先选连续参加两天服务的人，再分别给星期六，星期日选人，然后根据分步乘法计数原理计算即可．

【解答】：解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有=5种选法，

然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有=12种选法，

根据分步乘法计数原理可得共有5×12=60种选法．

故选：B．

【点评】：本题考查了排列组合简单计数问题，属于基础题．10.（单选题，5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y=f（x）与的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由题意，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】：解：把函数向

左平移个单位可得

函数f（x）=cos（2x+）=-sin2x的图象，

而直线=（x-1）经过点（1，0），且斜率为，

且直线还经过点（，）、

（-，-），

0＜＜1，

-1＜-＜0，如图，

故y=f（x）与的交点个数为3．

故选：C．

【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．11.（单选题，5分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的面积为（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：解法一：先根据对称性易知∠PDB=∠PCA=45°，再根据余弦定理求出PB，然后用余弦定理求△PBC的一个角的余弦值，从而得该角的正弦值，最后代入三角形面积公式，即可得解．

解法二：设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH=θ，∠ACH=α，且α∈（0，），则∠HCD=45°-α，或∠HCD=45°+α，易知cos∠PCD=，又∠PCA=45°，再根据最小角定理及三角形面积公式，即可求解．

【解答】：解：解法一：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，

又PC=PD=3，∠PCA=45°，

∴根据对称性易知∠PDB=∠PCA=45°，

又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD=，

∴在△PBD中，根据余弦定理可得：

=，

又BC=4，PC=3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：

cos∠PCB==，∴sin∠PCB=，

∴△PBC的面积为==．

解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，

设∠PCH=θ，∠ACH=α，且α∈（0，），

则∠HCD=45°-α，或∠HCD=45°+α，

易知cos∠PCD=，又∠PCA=45°，

则根据最小角定理（三余弦定理）可得：

，

∴或，

∴或，

∴或，

∴tanα=或tanα=，又α∈（0，），

∴tanα=，∴cosα=，sinα=，

∴，∴cosθ=，

再根据最小角定理可得：

cos∠PCB=cosθcos（45°+α）==，

∴sin∠PCB=，又BC=4，PC=3，

∴△PBC的面积为==．

故选：C．

【点评】：本题考查三角形面积的求解，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，最小角定理的应用，化归转化思想，属中档题．12.（单选题，5分）已知椭圆=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=，则|PO|=（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用椭圆的定义，结合余弦定理，通过向量的模，然后转化求解即可．

【解答】：解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c=，

O为原点，P为椭圆上一点，，

设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨m＞n,

可得m+n=6，4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2，即12=m2+n2-mn,可得mn=，m2+n2=21，

=（），

可得|PO|2=

=（m2+n2+2mncos∠F1PF2）

=（m2+n2+mn）

=（21+）=．

可得|PO|=．

故选：B．

【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．13.（填空题，5分）若y=（x-1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a=___．【正确答案】：[1]2【解析】：根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形分析可得答案．

【解答】：解：根据题意，设f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）=x2-2x+ax+1+cosx,

其定义域为R，

若f（x）为偶函数，则f（-x）=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f（x），

变形可得（a-2）x=0，必有a=2．

故答案为：2．

【点评】：本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．14.（填空题，5分）设x,y满足约束条件，设z=3x+2y,则z的最大值为___．【正确答案】：[1]15【解析】：画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解，代入，即可求解．

【解答】：解：由题意，作出x,y满足约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

目标函数z=3x+2y,可化为直线y=，

由，可得，

即A（3，3），

当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

代入可得zmax=3×3+2×3=15．

故答案为：15．

【点评】：本题考查了简单的线性规划，属于基础题．15.（填空题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为___．【正确答案】：[1]12【解析】：根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，由此能求出结果．

【解答】：解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，

设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，EF中点为O，

取AB，BB1中点G，M，侧面BB1C1C的中心为N，

连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，

由题意得O为球心，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF==，

∴R=，

则球心O到BB1的距离为OM==，

∴球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有一个交点，

同理，根据正方体ABCD-A1B1C1D1的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，

∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．

故答案为：12．

【点评】：本题考查正方体的对称性、球心到各棱距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.（填空题，5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=___．【正确答案】：[1]2【解析】：在△ABC中，根据正弦定理可求出∠ACB=45°，从而可得∠ABC=∠ADB=75°，即得AD=AB=2．

【解答】：解：如图，∵在△ABC中，AB=2，，

∴由正弦定理可得，

∴sin∠ACB===，又∠BAC=60°，

∴∠ACB=45°，∴∠ABC=180°-45°-60°=75°，

又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC=60°，

∴∠BAD=30°，又∠ABC=75°，∴∠ADB=75°，

∴AD=AB=2．

故答案为：2．

【点评】：本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．17.（问答题，12分）已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn．【正确答案】：

【解析】：（1）求得a1=0，进而可得当n≥3时，可得=，由累乘法可求{an}的通项公式；

（2）=，利用错位相减法可求数列的前n项和Tn．

【解答】：解：（1）当n=1时，2S1=a1，解得a1=0，

当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an-1，

∴2an=nan-（n-1）an-1，∴（n-1）an-1=（n-2）an，

当n≥3时，可得=，

∴an=×××⋯××a2=n-1，

当n=2或n=1时，a1=0，a2=1适合上式，

∴{an}的通项公式为an=n-1；

（2）由（1）可得=，

∴Tn=+++⋯+，∴Tn=+++⋯+，

∴Tn=+++⋯+-=-=1--，

∴Tn=2-．

【点评】：本题考查求数列的通项公式，考查数列的前n项的和的求法，属中档题．18.（问答题，12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°，A1到平面BCC1B1的距离为1．

（1）求证：AC=A1C；

（2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．【正确答案】：

【解析】：（1）取CC1的中点，连接A1O，可证平面BCC1B1⊥平面A1C1CA（可根据A1O的长度以及A1到平面的距离直接求出A1O⊥CC1），可得A1到CC1的距离为1，进而可得A1O⊥CC1，可证结论；

（2）过A作AM||A1O交C1C的延长线与M，连接MB1，取BB1的中点N，连接ON，可证A1N为直线AA1与BB1距离，进而可得∠AB1M为AB1与平面BCC1B1所成角的角，求解即可．

【解答】：解：（1）方法一：证明：取CC1的中点O，连接A1O，

∵A1C⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，

∴A1C⊥AC，∴A1C⊥A1C1，∴A1O=C1C=1，

∵A1到平面BCC1B1的距离为1，点O∈平面BCC1B1，且A1O=1，

∴A1O⊥平面BCC1B1，

∴A1O⊥CC1，

∵O为CC1的中点，

∴A1C=A1C1=AC，

∴AC=A1C；

方法二：证明：取CC1的中点O，连接A1O，

∵A1C⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，

∴A1C⊥AC，∴A1C⊥A1C1，∴A1O=C1C=1，

∵A1C⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，

∴A1C⊥BC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，

∵A1C∩AC=C，∴BC⊥平面A1C1CA，

∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面A1C1CA，

∵A1到平面BCC1B1的距离为1，

∴A1到CC1的距离为1，

∴A1O⊥CC1，

∵O为CC1的中点，

∴A1C=A1C1=AC，

∴AC=A1C；

（2）过A作AM||A1O交C1C的延长线与M，连接MB1，

取BB1的中点N，连接ON，

∴四边形BCON为平行四边形，

∴ON⊥平面A1C1CA，

A1O∩ON=O，∴CC1⊥平面A1ON，

∵A1N⊂平面A1ON，

∴CC1⊥A1N，

∴AA1⊥A1N，

∴A1N为直线AA1与BB1距离，

∴A1N=2，∴ON=，

由（1）可知AM⊥平面BCC1B1，

∴∠AB1M为AB1与平面BCC1B1所成角的角，

易求得C1M=3，

∴B1M==2，

∵A1M=1，∴AB1==，

∴sin∠AB1M==．

∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为．

【点评】：本题考查线线相等的证明，考查线面角的求法，属中档题．19.（问答题，12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．

（1）设X表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：＜m≥m对照组实验组（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：K2=，P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【正确答案】：

【解析】：（1）根据组合数公式及古典概型的概率公式，分布列的概念及期望的定义，即可求解；

（2）（i）根据中位数的概念，即可求解；（ii）根据独立性检验原理，即可求解．

【解答】：解：（1）根据题意可得X=0，1，2，

又P（X=0）==，

P（X=1）=，

P（X=2）=，

∴X的分布列为：X12P∴E（X）==1；

（2）（i）40个数据从小到大排列后，中位数m即为第20位和第21位数的平均数，

第20位数为23.2，第21位数为23.6，

∴m=，

∴补全列联表为：＜m≥m合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可知=6.400＞3.841，

∴能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，中位数的求解，独立性检验原理的应用，化归转化思想，属中档题．20.（问答题，12分）设抛物线C：y2=2px（p＞0），直线x-2y+1=0与C交于A，B两点，且|AB|=4．

（1）求p的值；

（2）F为y2=2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且•=0，求△MNF面积的最小值．【正确答案】：

【解析】：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p；

（2）设直线MN：x=my+n,M（x1，y1），N（x2，y2），利用，找到m,n的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．

【解答】：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，

消去x得：y2-4py+2p=0，

∴y1+y2=4p,y1y2=2p,Δ=16p2-8p＞0，

∴p（2p-1）＞0，∴p＞，

|AB|=|y1-y2|==4，

∴16p2-8p=48，∴2p2-p-6=0，∴（2p+3）（p-2）=0，

∴p=2；

（2）由（1）知y2=4x,所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：x=my+n,M（x1，y1），N（x2，y2），

由，可得y2-4my-4n=0，所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,

Δ=16m2+16n＞0→m2+n＞0，

因为，所以（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，

即（my1+n-1）（my2+n-1）+y1y2=0，即，

将y1+y2=4m,y2=-4n,代入得4m2=n2-6n+1，

∴4（m2+n）=（n-1）2＞0，所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2．

设点F到直线MN的距离为d,所以d=，

|MN|=|y1-y2|==

==2|n-1|，

所以△MNF的面积S=|MN|×d=××2|n-1|，

又或，所以当n=3-2时，△MNF的面积Smin=（2-2）2=12-8．

【点评】：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．21.（问答题，12分）已知f（x）=ax-，x∈（0，）．

（1）若a=8，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围．【正确答案】：

【解析】：（1）由题意，将a=8代入f（x）的解析式中，对f（x）进行求导，利用导数即可得到f（x）的单调区间；

（2）构造函数g（x）=f（x）-sin2x,对g（x）进行求导，利用换元法，得到g′（x）的最大值，将最大值与0进行比较，得到a的分界点，再对a进行讨论即可．

【解答】：解：（1）已知f（x）=ax-，函数定义域为（0，），

若a=8，此时f（x）=8x-，

可得f′（x）=8-

=，

因为4cos²x+3＞0，cos4x＞0，

所以当cosx＞，即0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当cosx＜，即＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

（2）不妨设g（x）=ax--sin2x,函数定义域为（0，），

g′（x）=a--2cos2x=a--2（2cos²x-1），

令cos²x=t,0＜t＜1，

此时g′（t）=a+2-4t+-，

不妨令k（t）=a+2-4t+-，

可得k′（t）=-4-+=-＞0，

所以k（t）单调递增，

此时k（t）＜k（1）=a-3，

①当a≤3时，g′（x）=k（t）＜a-