高一-平面向量讲义

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝______________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝______.②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______.③零向量的相反向量仍是__________．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的___________________________________________________________________．(2)作法：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝__________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.5．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝__________.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当时，与a方向相同,当时，与a方向相反))；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.6．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝____________.(3)λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝____________＝________；λ(a－b)＝____________.7．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．8．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________________.考点一运用向量加法法则作和向量例1如图所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.变式训练1如图所示，已知向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c.考点二运用向量加减法法则化简向量例2化简：（1）eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).（4）(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．(5)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))；（6）(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．变式训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.变式训练3如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(DA,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求证：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up6(→)).考点三向量的共线例3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝eq\f(1,2)变式训练4已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若Aeq\o(B,\s\up6(→))＝a＋b，Beq\o(C,\s\up6(→))＝2a＋8b，Ceq\o(D,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．变式训练5已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D变式训练6已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则x＋y＝________.§2.3平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________.(2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个__________a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则________＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．②当θ＝0°时，a与b________.③当θ＝180°时，a与b________.(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝________________________.4．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．5．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有______________________．(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．6．若eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，则P与P1、P2三点共线．当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．考点一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②变式训练1设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例2如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b试用a，b表示eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).变式训练2如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→)).考点三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.变式训练3如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq\f(1,2)a－eq\f(1,3)b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与a＝(2,3)同向，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(13)，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，连接DC，点E在CD上，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(ED,\s\up6(→))，求E点坐标．§2.4平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.即两个向量的数量积等于________________．5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________________.6．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________________.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________________________.7．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝________＝__________.考点一求两向量的数量积例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．变式训练1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).考点二求向量的模长例2已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.变式训练2已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．变式训练3已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝_______________＝_______________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是______________．(4)功即是力F与所产生位移s的________．考点一三角形问题例1点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则点O是△ABC的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．2eq