苏州市六区联考2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（教师版）

2021－2022学年江苏省苏州市六区联考九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.已知一组数据：1，2，2，4，6，则这组数据的中位数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】把一组数据按照从小到大（或从大到小）排序，若数据的个数为奇数个，则排在最中间的数据是这组数据的中位数，若数据的个数为偶数个，则排在最中间的两个数据的平均数是这组数据的中位数，根据定义直接作答即可.【详解】解：一组数据：1，2，2，4，6，排在最中间的数据是2，所以其中位数是2，故选A【点睛】本题考查的是中位数的含义，掌握“利用中位数的定义求解一组数据的中位数”是解本题的关键.2.方程x2＝﹣x的根是（）A.x＝0 B.x＝﹣1 C.x1＝1，x2＝﹣1 D.x1＝0，x2＝﹣1【答案】D【解析】【分析】先移项，把方程化为，再利用因式分解的方法把原方程化为两个一次方程即可.【详解】解：x2＝﹣x移项得：解得：故选D【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“把方程分右边变为0，再把左边分解因式”是解本题的关键.3.若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（）A.4cm B.5cm C.6cm D.32cm【答案】A【解析】【分析】由是的比例中项可得再代入数据解方程即可.【详解】解：是的比例中项，且（负根舍去）故选A【点睛】本题考查的是线段的比例中项的含义，掌握“线段的比例中项的含义”是解本题的关键.4.已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切【答案】B【解析】【分析】圆的半径为圆心O到直线l的距离为当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.【详解】解：⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，直线l与⊙O的位置关系为相切，故选B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.5.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（）A.4cm B.4.5cm C.5cm D.6cm【答案】B【解析】【分析】先证明可得再代入数据进行计算即可.【详解】解：由题意得：物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，故选B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质与判定，证明是解本题的关键.6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosB的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图，过作于先求解再利用即可得到答案.【详解】解：如图，过作于AB＝AC＝5，BC＝6，故选B【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，锐角的余弦的定义，掌握“等腰三角形的三线合一，锐角的余弦的定义”是解本题的关键.7.如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（）A. B. C.π D.2π【答案】C【解析】【分析】由题意知，，为等边三角形，，可得弧长的值．【详解】解：如图连接、、∵，∴，∴为等边三角形∴故选C．【点睛】本题考查了圆周角，弧长等知识．解题的关键在于找出弧长所对的圆心角以及半径．8.已知函数y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），当x＝m和x＝n时函数值相等，则当x＝m＋n时的函数值为（）A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣3【答案】D【解析】【分析】根据当x＝m和x＝n时函数的值相等，得出，根据a≠0，，得出，把x=4代入函数求值即可．【详解】解：∵当x＝m和x＝n时函数的值相等，∴，∴，∴，∴，∵a≠0，，∴，当x=4时．故选择D．【点睛】本题考查二次函数的函数值，因式分解，掌握二次函数的函数值，因式分解是解题关键．9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①2a＋b＞0，②2a＋c＜0，③方程ax2＋bx＋c＝﹣m有两个不相等的实数根，④不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的对称轴方程可判断①，结合二次函数过可判断②，由与有两个交点，可判断③，由ax2＋（b﹣1）x＜0可得ax2+bx+c＜x+c，可理解成y＝ax2＋bx＋c与y=x+c的图象交点问题，就可以判断④，从而可得答案；【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0），点B（m，0），抛物线的对称轴为：∵2＜m＜3，则而图象开口向上即故①符合题意；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0），则则故②符合题意；∴与有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝﹣m有两个不相等的实数根，故③符合题意；∵ax2＋（b﹣1）x＜0∴ax2+bx-x＜0，整理一下可得：ax2+bx+c＜x+c，∴此选项可理解成y＝ax2＋bx＋c与y=x+c的图象交点问题，如图所示：∴两个图象交点分别是C（0，-m）、B（m，0），∵ax2+bx+c＜x+c，∴解集为0＜x＜m，∴不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集不是0＜x＜m，故④符合题意；综上：符合题意的有①②③④；故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象判断及代数式的符号，二次函数与一元二次方程，不等式之间的关系，熟练的运用数形结合是解本题的关键．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，得到△ADE，连接BE，则tan∠EBC的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解：如图，连接，交于过作于先求解设再利用勾股定理构建方程组，再解方程组即可得到答案.【详解】解：如图，连接，交于过作于由对折可得：设解得：或（舍去）故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角的正切，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）．11.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”．2021年世界读书日当天，中国新闻出版研究院发布了第18次全国国民阅读调查结果，其中2020年我国14至17周岁青少年课外读书人均阅读量是13.07本．某中学课外阅读小组的5位成员在2020年的课外阅读量如表：成员成员1成员2成员3成员4成员5阅读量（单位：本）1314141618则这5位成员在2020年的平均课外阅读量为______本．【答案】15【解析】【分析】根据求平均数的公式计算即可．【详解】(本)．所以这5位成员在2020年的平均课外阅读量为15本．故答案为：15．【点睛】本题考查求平均数．掌握求平均数的公式是解答本题的关键．12.用黑白两种全等的等腰直角三角形地砖铺成如图所示的方形地面，一只小虫在方形地面上任意爬行，并随机停留在方形地面某处，则小虫停留在黑色区域的概率是______．【答案】##【解析】【分析】先由图得出地砖的总数及黑色地砖的块数，让黑色地砖的块数除以地砖总数即可．【详解】解：可观察图形，黑色地砖与白色地砖的面积相等，停在黑色和白色地砖上的概率是相同的，由此可知小虫停在黑地砖上的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了几何概率，掌握“几何概率=相应的面积与总面积之比．”是解本题的关键.13.已知关于x的方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根为﹣1，则m＝_____．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意可得出，然后利用因式分解法解出该方程的解即可．【详解】解：∵方程的一个根是-1，∴，整理得：，解得：．故答案为：1或2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及利用因式分解法解一元二次方程，理解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解是解答本题的关键．14.如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE，BE交CD于点F，则CF＝_____．【答案】##4.8

【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知，即可证明，推出，由此即可求出CF的长．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴，即，∴，，∴，∴．∵，∴．∵∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．15.这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______．由图像知，当x＝﹣1时二次函数y＝■x2＋6x﹣5有最小值．【答案】【解析】【分析】由图象可得：抛物线的对称轴为：再利用抛物线的对称轴公式建立方程求解即可.【详解】解：由图象可得：抛物线的对称轴为：而解得：故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的对称轴方程求解未知系数的值”是解本题的关键.16.如图，将半径为6cm的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm2．【答案】【解析】【分析】设该圆圆心为O，并用大写字母表示出其它点，作于点C．根据所作图形可知，再根据题意可知，，即得出．结合勾股定理，在中，可求出长，即可求出AB的长，最后根据，结合圆的面积公式、扇形的面积公式，三角形面积公式求出结果即可．【详解】如图，设该圆圆心为O，其它点如图所示，并作于点C．根据垂径定理可知，．∵该圆分别沿两条平行弦对折，且两弧都经过圆心，∴，∴，∴，∴．∵在中，，∴，∴．∴．故答案为：【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，涉及垂径定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，扇形的面积公式．正确的作出辅助线是解答本题的关键．17.我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝_____．【答案】【解析】【分析】作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的长，然后根据正切的定义求解即可．【详解】解：作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，∵∠A，∠B互为半余角，∴∠BCD=∠A+∠B=45°，∴∠CBD=45°，∴∠BCD=∠CBD，∴BD=CD，∵，∴可设BC=，AC=，∵BD2+CD2=BC2，∴BD=CD=，∴AD=3x+2x=5x，∴tanA＝，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，以及正切的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．18.如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．【答案】##厘米【解析】【分析】连接，延长交于点，连接，先根据圆周角定理和圆的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而可得，作，交于点，从而可得，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，设，从而可得，利用直角三角形的面积公式可求出的值，由此即可得．【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接，都是的直径，，，，在中，，，平分，且，，，，，如图，作，交于点，，在中，，，设，则，，，解得或（不符题意，舍去），则，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：sin60°﹣tan30°＋cos45°．【答案】【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：.．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20.解方程：．【答案】，【解析】【分析】移项将方程转化为一般形式，然后利用因式分解法求解即可.【详解】解：∴或，解得：，.【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，先将方程转化为一般形式，然后将左面因式分解是解决此题的关键.21.国家实施“双减”政策后，为了解学生学业负担的减轻情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查设置“显著”，“一般”，“略有”，“未有”四个减轻程度的等级．根据收集到的数据绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）本次共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1800名学生，请根据抽样调查结果，估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数．【答案】（1）150；（2）补全条形统计图见解析；（3）该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数为1260名．【解析】【分析】（1）利用等级为“未有”程度的学生人数除以其所占百分比即可得出所调查的总人数；（2）根据总人数减去其它等级的人数，求出等级为“一般”程度的学生人数，即可补全条形统计图；（3）求出该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的人数所占的百分比，再乘以总人数1800即得出答案．【小问1详解】根据题意可知：等级为“未有”程度的学生有30名，其占比为20%，所以总人数为：．故答案为：150．小问2详解】等级为“一般”程度的学生为：名，故补全条形统计图如下：．【小问3详解】该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的人数所占百分比为，故该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数为名【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体．根据分析条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解答本题的关键．22.如图，电路图上有A，B，C，D4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关A，B，或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发亮．（1）在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为；（2）任意闭合开关A，B，C，D中的两个，求小灯泡发亮的概率（请用列表或画树状图的方法求概率）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，只有闭合B才会发光，从而可得答案；（2）先列表求解所有的等可能的结果，再根据只有闭合或才会发光，再利用概率公式求解即可.【小问1详解】解：在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为故答案为：【小问2详解】解：列表如下：由表格信息可得：所有的等可能的结果数有种，能发光的有种，任意闭合开关A，B，C，D中的两个，小灯泡发亮的概率【点睛】本题考查的简单随机事件的概率，利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表或画树状图的方法”是解本题的关键.23.如图，二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，BC，判定△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入函数解析式，即可求出a的值，即得出二次函数表达式；（2）令，求出x的值，即得出A、B两点的坐标．再根据勾股定理，求出三边长．最后根据勾股定理逆定理即可判断的形状．【小问1详解】解：将点C代入函数解析式得：，解得：，故该二次函数表达式为：．【小问2详解】解：令，得：，解得：，．∴A点坐标为(-1，0)，B点坐标为(3，0)．∴OA=1，OC=，，∴，．∵，即，∴的形状为直角三角形．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，勾股定理逆定理．根据点C的坐标求出函数解析式是解答本题的关键．24.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．【答案】（1）该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%；（2）2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．【解析】【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率x，等量关系是12月销量，两用增长率表示12月份销量=3.63，列方程3（1+x）2=3.63，解方程即可；（2）列算式3.63（1+10%）计算即可．【小问1详解】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率x，根据题意，得：3（1+x）2=3.63,∴∴，或∵增长率不能为负数，舍去，经检验符合题意答该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%；【小问2详解】解：3.63（1+10%）=3.993万件，答2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．【点睛】本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，有理数乘法运算，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，有理数乘法运算法则是解题关键．25.图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？【答案】（1）2.26米；（2）不能，理由见解析．【解析】【分析】（1）作，交BD于点M，AC于点N．根据题意结合作图可知，．再由∠BAE为时，可求出，即可判断为等腰直角三角形，在根据勾股定理即可求出EN的值，从而可求出EM的值，即杆EF与地面BD之间的距离；（2）当张角∠BAE最大，为时，可通过车辆的宽度和高度都是最大的，如图，在BD上截取DP=1.8m，再过点P作，交AC于点Q，PQ延长线交AE于点G．由作图可知，．再根据，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出，即符合G点在AE上．最后根据锐角三角函数解直角三角形可求出的大小，从而求出GP的大小，与该小型厢式货车的高度作比较即可．【小问1详解】如图，作，交BD于点M，AC于点N．根据题意可知，∴，∴四边形为矩形，∴，．当张角∠BAE为时，，∴为等腰直角三角形，∴，∴故杆EF与地面BD之间的距离为2.26米．【小问2详解】当张角∠BAE最大，为时，可通过车辆的宽度和高度都是最大的，如图，在BD上截取DP=1.8m，再过点P作，交AC于点Q，PQ延长线交AE于点G．同理由作图可知．∵，∴，即．∵DP=18m，∴，∴，符合G点在AE上．∴在中，，∴故该小型厢式货车不能正常通过此道闸．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的实际应用等知识．理解题意，作出合适的辅助线是解答本题的关键．26.如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE．（1）若，求证：△ACE∽△EBD；（2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分别证明即可得到结论；（2）如图，连接并延长交于连接利用相似三角形的性质证明再证明可得而可得再利用等角的三角函数值相等建立方程求解即可.【小问1详解】证明：四边形是的内接四边形，【小问2详解】解：如图，连接并延长交于连接而为的切线，为的直径，而所以的半径为【点睛】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.27.如图，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图像经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）填空：b＝，c＝；（2）过点C作轴，交二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图像于点D，点M是二次函数y＝﹣x2＋bx＋c图像上位于线段CD上方的一点，过点M作轴，交线段BC于点N．设点M的横坐标为m，四边形MCND的面积为S．①求S与m的函数表达式，并求S的最大值；②点P为直线MN上一动点，当S取得最大值时，求△POC周长的最小值．【答案】（1）（2）①当时，；②【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴的交点坐标可得再写出的值即可；（2）①如图，记的交点为先推导再分别表示建立二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；②当取得最大值，此时记此时与轴的交点为则证明与的交点即是点此时此时周长最短，再求解周长即可.【小问1详解】解：二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图像经过点A（﹣1，0），点B（3，0），抛物线为故答案为：【小问2详解】解：①如图，轴，轴，记的交点为令则则设为解得：为则轴，抛物线的对称轴为：当时，②当取得最大值，此时记此时与轴的交点为则如图，则与的交点即是点此时此时周长最短，周长的最小值为：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，列面积的二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握“利用二次函数的性质求解面积的最大值，利用轴对称的性质求解周长的最小值”是解本题的关键.28.如图，在矩形OABC中，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，顶点B的坐标为（8，4），∠EAF＝90°，且∠EAF的一边与线段OC交于点E，∠EAF的另一边与线段CB的延长线交于点F，连接EF，作AG⊥EF，垂足为G（m，n），连接OG．（1）当点E由点O移动到点C时，点F运动的路程为；（2）求n与m的函数表达式，并说明点B在直线OG上；（3）当△AOE与△GOE的面积之差为时，求线段OE的长度．【答案】（1）2；（2），点B在直线OG上；（3）线段OE的长度为1或3．【解析】【分析】（1）当点E运动到C时，CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=90°，根据∠EAF=90°，可证∠OAE=∠BAF，再证△COA∽△FBA，得出即，求出BF即可；（2）过点G作GH⊥y轴于H，GJ⊥x轴于J，连结OB，根据四边形A