高二数学寒假讲义

第一讲圆锥曲线专题（一）题型一：面积问题1.设是抛物线:的焦点，设为抛物线上异于原点的两点，且满足,延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值.QPNMFO2.、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最值.QPNMFO题型二：直线过定点问题3.、是抛物线上的两点，且满足（为坐标原点），求证：直线经过一个定点.4.已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.5.已知点是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹对应的方程；（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.题型三：直线斜率为定值问题6.如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线的斜率为定值.7．已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.第三讲圆锥曲线专题（二）【知识要点】熟练向量共线问题与坐标的转化【经典例题】1.已知抛物线，为的焦点，过焦点斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则.2.给定抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若，求直线的方程.3.已知椭圆，若过点的直线椭圆交于不同的两点、（点在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）.4.已知两定点,动点在轴的射影为，若.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线交轴于点，交轨迹于两点，且满足，求实数的取值范围.5.如图，已知点，直线为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且有. (1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于两点，交直线于点，已知求的值.6.双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线，交双曲线于两点，交轴于点（点与的顶点不重合）,当，且时，求点的坐标.7.已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点分所成比为，点分所成比为，求证为定值，并计算出该定值.第四讲圆锥曲线专题（三）1.设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.2.设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.（1）求椭圆的方程；（2）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.xxyPABMNO3.已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（1）求E的方程；（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒5.已知椭圆C的离心率为，长轴的左右端点分别为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于两点，直线与交于点.试问：当变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.6.已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.第五讲导数的概念与切线问题【知识要点】⒈导数的概念及其几何意义；⒉你熟悉常用的导数公式吗？⒊导数的运算法则：⑴.两个函数四则运算的导数；⑵.复合函数的导数：.4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?【经典例题】例1.导数的概念题:1.一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为（）A.B.C.D.2.已知,则.3.求导公式的应用（1），则=.（2），若，则=.（3），则=，=.（4），则=.4.已知，则=.例2.切线问题:1.曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为（）A. B. C.D.2.曲线在点处的切线方程是.3.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_____.4.曲线的所有切线中,斜率最小的切线的方程是.例3.曲线：在点处的切线为在点处的切线为，求曲线的方程.例4.已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求的值.例5.切线问题的综合应用:1.（江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为.2.（安徽卷理）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.3.（全国卷Ⅰ理）已知直线与曲线相切，则的值为()A.1B.2C.-1D.-24.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是________.5.曲线上的点到直线的最短距离为.*6.向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟，则当水深为5m时，水面上升的速度为.【经典练习】1.设曲线在点处的切线与直线平行，则（）A.1 B. C.D.2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A.1 B.2 C.3 D.43.若曲线在点处的切线方程是，则（）A.B.C.D.4.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A. B. C. D.5.若满足，则（）A. B. C.2 D.46.已知函数的图象在点处的切线方程是，则.7.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.8.过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是.9.已知，,则.10.已知直线为曲线的一条切线，则=.第六讲导数的应用（一）【知识要点】导数的应用（1）求曲线的切线方程;（2）求单调区间;（3）求函数的极值（或函数最值）.【经典例题】1.已知曲线.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点并与曲线相切的直线方程.2.（2009北京文）设函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）求函数的单调区间与极值.3．已知，直线与函数的图象都相切于点.（1）求直线的方程及的解析式；（2）若（其中是的导函数），求函数的值域.4.设函数.（1）讨论的单调性；（2）求在区间的最大值和最小值.5.设函数在及时取得极值．（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.*6.（2009安徽卷文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，求在区间上的值域.【经典练习】1.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是（）2.在下列结论中，正确的结论有（ ）①单调增函数的导函数也是单调增函数；②单调减函数的导函数也是单调减函数；③单调函数的导函数也是单调函数；④导函数是单调的，则原函数也是单调的．A.0个 B.2个 C.3个 D.4个3.函数在[－1,3]上的最大值为()A．11B．2C．12D.104.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. B. C. D.5.（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）A.2 B.3 C.4 D.56.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是（）A.B.(0,3)C.(1,4)D.7.函数的单调递增区间是.8.曲线过点P的切线方程为.【经典作业】1.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°2.如果质点A按规律运动，则在秒时的瞬时速度为()A.6B.8C.16D.243.经过原点且与曲线相切的直线的方程是___________________.4.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.5.函数的极大值为6,极小值为2,则的减区间是.6.已知函数（其中常数），是奇函数.（1）求的表达式；（2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.第七讲导数的应用（二）【知识要点】（1）单调性问题（2）极值的存在性问题【经典例题】题型一：单调性问题1.（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.2.（全国一19）已知函数，．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．3.（2009北京理）设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.*4．已知函数.（1）任取两个不等的正数，恒成立，求的取值范围；（2）当时，求证：没有实数解．题型二：极值的存在性问题5.已知，讨论函数的极值点的个数.*6.（海南理21）设函数.（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．【经典练习】1.（辽宁卷6）设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.2.（2009福建卷理）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（）A.=B.=C.=D.3．若函数有三个单调区间，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.设函数则下列结论中，正确的是（ ）A.有一个极大值点和一个极小值点 B.只有一个极大值点C.只有一个极小值点 D.有二个极小值点5.函数，当时，有极值，则函数的单调减区间为．6．已知曲线上一点，则点处的切线方程是；过点的切线方程是．7.已知在上为减函数，则的取值范围为．【经典作业】1．设,点是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点处有相同的切线.(1)用表示.(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.2.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4.（1）当且曲线过原点时，求的解析式；（2）若在无极值点，求的取值范围.第八讲导数的应用（三）【知识要点】（1）不等式证明问题（2）恒成立问题求范围【经典例题】题型一：不等式证明问题1.证明不等式(1)；(2).2.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.（1）用表示，并求的最大值；（2）求证：（）．题型二：恒成立问题3.已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.4.设函数．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.5.（安徽卷20）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）已知对任意成立，求实数的取值范围.*6．设函数，若对于任意的都有成立，求实数.【经典练习】1.已知对任意实数，有，且时，，则时（）A. B.C. D.2.已知是定义在上的函数，且,则当,有（）A.B.C.D.3.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时,且则不等式的解集是（）A.B.C.D.4.函数有（）A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值35.（2009天津卷理）设函数则（）A．在区间内均有零点B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点【经典作业】1．函数有极值的充要条件是（）A.B.C.D.2.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A.或B.或C.或D.或3.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.4.设为实数，函数.(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，.第九讲导数的应用（四）【知识要点】图像的交点问题【典型例题】1.（2009陕西卷文）已知函数（1）求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.2．设函数，，当时，取得极值.（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.3.已知函数其中是的的导函数（1）对满足的一切的值，都有求实数的取值范围（2）设()，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数的图像与直线只有一个公共点.4.设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1（1）确定b、c的值；（2）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，；（3）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围.【课堂练习】1.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）2．方程的实数解的集合是（）A.至少有2个元素B.至少有3个元素C.恰有1个元素D.恰好有5个元素3.直线是曲线的一条切线，则实数b＝.4.若上是减函数，则的取值范围是________.5.已知函数(1)求在区间上的最大值(2)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【课后作业】1.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.曲线在原点处的切线方程为（）A.B.C.D.3.设，若函数，有大于零的极值点，则（）A. B. C. D.4.已知是函数的一个极值点.(1)求；(2)求函数的单调区间；(3)若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.第十讲导数专题（一）【知识要点】1.证明不等式2.恒成立问题【典型例题】1.证明：.2.设函数，其中．（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）求函数的极值点；（3）证明对任意的正整数，不等式都成立．3.设，．（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．4.已知,.(1)求函数的单调区间；(2)求函数上的最小值；(3)对一切的,恒成立，求实数的取值范围.5.设函数.（1）若=，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围.6．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)