3平面转子的转动惯量为求能量允许值

[3]第二章：波函数与波动方程„„„„„„1——第三章：一维定态问题„„„„„„„„26——80第四章：力学量用符体现„„„„„„„80168„„„„„„168——199第七章：粒子在电磁场中的运动„„„„273——289—340****1．19812．周世勋编：量子力学教程人教。19793．L．I．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学人教。19824．D．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集人教。列维奇著，李平译：量子力学教程习题集高教。原岛鲜著：初等量子力学（日文）裳华房。19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:WaveMechanicsanditsApplications8．L.Pauling.E.B.Wilson:IntroductiontoQuantum-(有中译本：陈洪生译。科学)19519.A.S.Davydov:QuantumPergamonPress10.SIEGFRIED.Fluegge:PracticalQuantum-（英译本）SpringerVerlag197311.A.Messian:QuantumMechanicsVolI.North.HollandPubs196112.L.Landau,E.Lifshitz:Quantum-(1)n1naxnaxn,1axxedx,xe,xedx(n,0),,aaaxeax(2)esinbxdx,(asinbx,bcosbx)22,a，baxeax(3)ecosaxdx,(acosbx，bsinbx),22a，b11(4)xsinaxdx,sinax,xcosax2,aa22x2x2(5)xsinaxdx,sinax，(,)cosax,22aaa1x(6)xcosaxdx,cosax，sinax2,aa22xx22(7xcosaxdx,cosax，(,)sinax)23,aaaxc22a,0()ax，c，ln(ax，ax，c)22a2(8)ax，cdx,,xc,a2(a<0),,(n,1)!!n2sinxdx(正偶数)(9),(n,1)!!n2cosxdx(正奇数),a,0(),sinax(10),dx,a,0,(),n!,axn(11))exdx,n,正整数,a,0(),2,1,ax(12),,2,,(2n1)!!2n,ax(13),xedxn，12n，1,02a2,n!2n，1,ax(14),xedxn，1,02a2,ax,asin(15)dx,2,02x,2ab,ax(16)a,0()xesinbxdx,222,0(a，b)22,a,b,axa,0()xecosbxdx,,2220(a，b)122V(x)mx,,[1]2(解)(甲法)能够用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:pdq,nh,,在量子化条件中,令q,xp,mxE22222Pm,xm,x则E,，pmE,2(,)2m2222,mx代入公式得:122点动能为0,,,,(1)改写为:a22(2)2m,a,xdx,nh,,a,1遍乘得,hE,,n,,写出位移x,t求微分:dq,dx,a,cos,tdt,求积分:p,mx,ma,cos,t(5)T222pdq,ma,cos,tdt,nh0,2,,h2T是振动周期,T=E,n,n,,m,a,,nhn,1,2,3[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为ad,h,2dx,2a(1)pqppn,,xxxxx0b(2)cd,h,2dz,2c(3)222p,p，p，p,,pppxyzxyz2p1222E,,(p，p，p)xyz2m2mhhh1nynn222xz=[()，()，()]mabc22222nhynn222xz=[()，()，()]8mabc但正整数.#的运动是一种[3]平面转子的转动惯量为,1角动量2E,,,,,,,但是角速度,能量是2,(1)nhn,(2),(……..)(2)22n,n,1,22(3):E,,,,(),(3)22,2,允许值.em单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:v2Bevmv,(1)又运用量子化条件,令p,q,,2,pdq,mrvd,,2,mrv,nh(2)即mrv,nh1Ben,2由(1)(2)求得电荷动能=mv,2,磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*r*Bv=,,v,,v,2,rcccBe,n(符号是正的)代入前式得2mcBe,n运动电荷的磁势能=点电荷的总能量=动能+磁势能=E=n,1,2,32mcm2mc(1)E,2v1,2c2mv(2)2422试根据哈密顿量H,E,mc，cp,,,H(解)根据(3)式来构成哈氏正则方程式组:,,v,p,qpiiq,pii2,cp2422v,mc，cp,(4)p,,k于(3)式vvG右方,又用E,,,h于(3)式左方,遍除:24mc22vG24,mc22,，ckv2G,k,22ckcp=最后一式按照（4）式等于粒子速度v,v，vG又按普通的波动理论，波的相速度是由下式规定,,,,,（是频率）运用（5）24mc2（6）故相速度（物质波的）最后找出和的关系，将（1）（2）vvpG222cE,cc,,，（7）,,,vppkv,vGvG#认为则,,pdl,0Ev这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有,pdl,0，？设A，B到界面距离是a,b(I,asec，bsec又AB沿界面的投影c也是常数，因而，存在约束条件：,,12atg，btg,c,看作能独立变化的,有下列极值条件求(1)的变分,而将(3)22再求（2）的变分asec，bsecd,,c,0,d,,,1122(3)与(4)消去和得(5)[乙法]见同一图,取为变分参数,取0x2222I,a，x，b，(c,x)nn12xx(c,x)x,,nn12求此式变分,令之为零,有：I,,,0,22cc,,dl,0,,cn,依前题相速,而,是折射率,是波前阵面更引发的,而波阵面速度则是相速度,这样最小作用量原理仍能够化成最小光程原理.,ndl,0前一非难是将光子的传输速度看作相速度的误解.2d,2m，[E,V(x)],,0C,将方程式左边加减相等的量得:2d,2m，{[E，C],[V(x)，C]},,0#[8]E2,*23E,,[,,，V(r),]dx,,,2m,2,*232,**=,{,[,,,],,,,,}d,22,,**=,,,,,,d,，,,,,d,()22,,,**用高斯定理:2,*=中间一式的第一项是零,由于假定满足平方可积条件,因而T,0E,T，V,V让能量平均值,,因此令(本征态)则而,VEnmin,[9]设粒子在势场V(r)中运动(1)2,2*是:E,Wdx,[,,,,,]dx(1)其中W是能量密度(2),,W，,,S,0(2)2*,,,,,,*其中S,,(,，,,)(能流密度)2,,2(证明)(1)三维粒子的能量算符是:H,,,,，V,(3),H,2,求,**23*2**2,**3*E,,{,(,,,),,,,,}dx，,,,dx,,,,,,2mrr,,,,,,dx，,,,,dx，,,,dx{(),,,,,,,,,mm22rrr2,,*3*,,,,,,,,,,*若,满足平方可积条件，则，S2,W,,**此，因而：,{,,,,，,,,},t,t2m2**,,,,,,,,,**{},,,,，,,,，,,，,,2**,,,,,,,,,*2*2,{,,[,,,，,,,],[,,，,,]}*,,,,*，,,，,,,t,t2**2,,,,,,,,*2,,,[,,,，,,,]，[,,,，,,]2m,t,t,t2m2,,,2**，[,,,，,,]2*2,,,,,,22**,,,,，,,,i,,i,,,,，,,2*,,,,,,*S,,[,,,，,,]则有又设**,,,W,,,,,,,,,,,,S，,,,,,S,t,t,t,t,t公式?得证。2NN,,,2ˆ?,,,是它的任一态函数，定义：,,?,,,,?,333*,(r,t),？drdr？dr,,,,,333**j(r,t),？drdr？dr(,,,,,,,),,,求证：，,,j,0?,,,,[证明]按定义：,(r,t),,3333*,？？？,,drdrdrdr*,,,,3333*,?2,,,2轭方程式：,i,(,,),，v,（6a）*2,,,2**(6b)*,,,,将前二式等式右方的式子替代左方的，，代进式?,,,22333**i,？dr？drdr？,(,,,,,,,),1i,1i，1kk,,,t2imk1333**，？dr？drdr？,(,v,,,v,),1i,1i，1jkjk,,i,jk,223333**,3333**,,,,,(,,,,,,,),,,,,,,,,,,,,,,3333**,？dr？drdr？dr，,,(,,,,,,,)? 将?式两个求和合一，注意到i,k*[*,,,,,1*3*32,,dx,(,，,)dx*2,,,12**因,,i,,,,，,,2,,,22，,i,,,,，,,,**3,,**若Ψ，Ψ12lim,,0,lim,,,011,,r,,r,,,,*3等，可使这面积分等于零。因此体积分1,(x,t,)(x,t)dxo[12]2,,,,,,,2i,,(x,t),,,,(x,t)，[V(x)，iV(x)],(x,t)加”的速率出现的总几率，按Born*3*P,,,,,,*3*3（1）*,,,,再根据薛定谔方程式和其共轭方程式求出和，有,,1,,2,,[ViV],,,，，12,,t2mi,i,将（2）代入（1），2V,P,*22**32,2,P**3*3,,2***3*,,,,,0，因而（3）式的面积分等于0,P2*3（4）,P*3这证明总几率,0不守恒，由于。如果考察有限体积Ω,,**,,P2,,*3,,J,ds，,V(x),dx（5）速率，题目所指的是这一项2[13]对于一维自由运动粒子，设,(x,t),(x,0),,(x)求多平面波的叠加），i(px,Ei),1,,(x,t),,(p)edp（1）这是一维波包的通用表达法，是一种福里哀变换，上式若令t,0ipx,1,,(x,0),,(p)edp（2）,。但我们懂得一维函数一种表达是：但按题意，此式等于,1ikx（3）1p将（2）（3）二式比较：懂得，并且求得，于是（1）,(p),k,,2,,i(px,Ei),1,（4）xt,edp,(,),p,,,2,,2p这是符合初条件的波函数，但,E之间尚有约束条件（由于是自由粒子m2ip(),pxi,12,m（5）xt,edp,(,),,,,p2,,2imxitmx(),,pi,1222,,tm,2,,,,运用积分：2imx12,,m2,t(,),,xte2,it,2imx,m12,,2,txt,e,(,),it2,,12m,,m2本题也能够用Fresnel积分表达，为此可将（6）,,tmxtmx22cos[(p,)]dp,isin[(p,)]dp,,,,,,2mt2mt,,2,,,,,,23[14]在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：,,,，Vx，x求。几率守恒的条件是,*3*,,,,,,*3或,,,,，,dx,0(2)与[13]题类似，可写出[1]2,,,,,,,*2***3,,,,i,，，xt,,,,x，，，，，，t，Vxx,xtdx,，，，，(3*,,,,将[1]和[3]中的和想等同的式子代入到[2],x，tdx,dx,0,,,,,,,,,,,,,,xx，，，第二项变成六重积分：,1,**,,,,,,,,,ds，，，,,2mi,is,,因,,xx，，，，,x，t和,x，t,,,,,,**33,,,,,，，，，，，，，,,,x，t,Vx，x,Vx，x,x，tdx,dx,0,,,,*2,,,2[A]写出含时间薛氏方程式：，，i,,,,，Vx,,（1）2,tm2,,,,,ip,x/,3，，（2）2,,,,,ip,x/,3，，（3）,,1,ip,x/h为了能用（3）变换（1）式，将（1）,,,,1,ip,x/,3iedx,3/2,,,,t，，,2,2,,12,ip,x/,3,,,edx3/2,,,，，m22,,1,ip,x/,3,，Vxedx，，3/2,,,，，2,,,,,1,,ip,x/,3,i,x，tedx，，3/2,,,,t，，2,,2222,,,,,,,1，，ipx，py，pz/,xyz,,,，，,edxdydz计算（5）的x2,,，，ipx，py，pz/,xyz,,，，ipx，py，pz/,,,xyzdedydz,,,i（px，py，pz）/,xyzedydz,,,,,x,xyip,,，，ipx，py，pz/,xxyz,edxdydz,,,,,xip（，，）/,ipxpypzxyzx,ip，，i（pxpypz）/,xxyz,,,edydz,,,,,xyip（，，）/,ipxpypz2xyzx（，）e,dxdydz,,,,zyx2pipxpypz（，，）/,xxyz,,e,dxdydz,,,2,zyx22,,有关的积分按同法计算，（5），22,y,z2,,p1ip,x/,2p,，，,,p，t再计算（4）,,1,,,,ip,x/,3Vx,x，tedx,,1,,,,ip,x/,3,,1,,,,ip,x/h3i（p,p）,x/,33,,，，，，,,,3,,,，，，，,Gp，p,,p，tdp（7）,,,1,,,,i（p,p）,x/,3，，，，G，pp,Vxedx,,,h2,,p指坐标空间，指动量相空间，最后将（4）（6）（7）2,p,,,,,3,,,,，，，，，，，，，，，，i,pt,,pt，Gpp,ptdp子能量为E，2,,,,2,,，，，，x，,,E,Vx,，，x,0p，p2p,,,,,2,,,，，，，，，，，,,p，E,p,Gp，p,p，tdp,0（9）,,,2m,p#123[16]*设在曲线坐