高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、解三角形 5.3 解三角形专用题组 理 试题

§5.3解三角形考点一正弦、余弦定理答案A由正弦定理得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB,即sinBsin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以sinB=,所以∠B=或π,又因为a>b,故∠B=,选A.19.(2013陕西,7,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,∴sinA=1,即A=.故选B.20.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.

答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsinA=10得sinA=,因为A为锐角,所以A=60°,cosA=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cosA是求解关键.21.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.

答案解析令∠BAM=β,∠BAC=α,故|CM|=|AM|sin(α-β),∵M为BC的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB中,由正弦定理知:=,即=,∵sinβ=,∴cosβ=,∴=cosα·=sinαcosα-cos2α,整理得1=2sinαcosα-cos2α,解得tanα=,故sinα=.评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.22.(2012湖北,11,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=.

答案解析由已知得a2+b2-c2=-ab,∴cosC==-,∴C=.评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.23.(2012重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c=.

答案解析∵A,B,C为三角形内角且cosA=,cosB=,∴sinA=,sinB=.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.由正弦定理=,得c=b×=3×=.评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(1)求cosA的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cosA=.(2)由(1)知cosA=,所以sinA==.又因为∠B=2∠A,所以cosB=2cos2A-1=.所以sinB==.在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.所以c==5.评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用16.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+⇒sin2A+sin2B=-sin2C+⇒sin2A+sin2B+sin2C=⇒2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=⇒2sinC·[cos(A-B)-cos(A+B)]=⇒4sinAsinBsinC=⇒sinAsinBsinC=.则S=absinC=2R2·sinAsinBsinC=R2∈[1,2],∴R∈[2,2],∴abc=8R3sinAsinBsinC=R3∈[8,16],知C、D均不正确.bc(b+c)>bc·a=R3≥8,∴A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且16>8,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.17.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=,cosC=.又因为sinB=sin(A+C)=sin,所以sinB=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsinA=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.18.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由a2=b2+c2-2bccosA及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得=,从而sinB=,又由a>b,知A>B,所以cosB=.故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=.所以△ABC的面积为absinC=.19.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)tan===.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+++=+.连结BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC,所以AB2+AD2-2AB·ADcosA=BC2+CD2+2BC·CDcosA.则cosA===.于是sinA===.连结AC.同理可得cosB===,于是sinB===.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.21.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cosB==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cosB的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.22.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cosA===-.由于0<A<π,所以sinA===.故sin=sinAcos+cosAsin=×+×=.评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识,属容易题.23.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sinA=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以,△ABC的面积为S=acsinB=.评析本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.24.(2013四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.(1)求cosA的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.(2)由cosA=-,0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,所以sinB==.由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.评析本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.25.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sinB===,由题设知0<B<,所以cosB===.在△ABD中,由正弦定理得AD====.26.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sinA+sinC的取值范围.解析(1)由a=btanA及正弦定理,得==,所以sinB=cosA,即sinB=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈.于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2+.因为0<A<,所以0<sinA<,因此<-2+≤.由此可知sinA+sinC的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(2013江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-sinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-sinAcosB=0,即有sinAsinB-sinAcosB=0,因为sinA≠0,所以sinB-cosB=0,又cosB≠0,所以tanB=,又0<B<π,所以B=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1,cosB=,所以b2=3+.又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.28.(2013课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△AB