高考数学一轮复习 第十章 计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习 理 试题

第十章计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.从3名男同学和2名女同学中选1人主持本班某次主题班会，不同选法种数为()A.6种 B.5种 C.3种 D.2种解析由分类加法计算原理知总方法数为3＋2＝5(种).答案B2.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A.30个 B.42个 C.36个 D.35个解析∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数.答案C3.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个).当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.∴因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).答案B4.(2016·济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式()A.24 B.14 C.10 D.9解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.∴由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式.答案B5.(2016·长沙二模)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有Aeq\o\al(3,3)种不同排法.再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有Aeq\o\al(3,3)·2·1＝12(种)不同的排列方法.答案A二、填空题6.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种.解析从男生中抽1人有4种方法，从女生中抽两人有Ceq\o\al(2,8)＝28种方法，∴由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法.答案1127.(2016·西安质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.解析当相同的数字不是1时，有Ceq\o\al(1,3)个；当相同的数字是1时，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)个，由分类加法计数原理知共有“好数”Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝12(个).答案128.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案40三、解答题9.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20＝17400(种).(2)幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11400(种).共有不同结果17400＋11400＝28800(种).10.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法36＝729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279解析0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).答案B12.(2014·安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对 B.30对 C.48对 D.60对解析与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对.正方体的12条面对角线共有12×8＝96(对)，且每对均重复计算一次，故共有eq\f(96,2)＝48(对).答案C13.(2016·广州模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有9×10n种填法.答案(1)90(2)9×10n14.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示①②)，要求在A、B、C、D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.(1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？(2)若为②着色时共有120种不同