2023年新教材高中数学人教A版必修第二册7 3 1 复数的三角表示式（夯实基础+能力提升）

731复数的三角表示式（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2023・高一课时练习）以下不满足复数立i的三角形式的是（）.

22

C.

D.

【答案】C

【分析】逐一计算每个选项即可得答案.

【详解】对于A：cosf-|^+isin^-^=l-^i,符合;

对于B：cos^-^^+isin^-^^=i-^i,符合;

C°S(f}+iSin(t)=l+^i，不符合;

对于C：

对于D：

2.（2023・高一课时练习）下列结论中正确的是（）.

A.复数z的任意两个辐角之间都差2兀的整数倍；

B.任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；

C.实数0不能写成三角形式；

D.复数0的辐角主值是0.

【答案】B

【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.

【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2兀整数倍，错误；

B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；

C：0x（cose+isin6）=0其中。eR,故实数0能写成三角形式，错误；

D：复数0的辐角主值不唯一，错误.

3.（2023・高一课时练习）欧拉公式短=cosx+isinx建立了三角函数和指数函数的关系，被

誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①*+1=0;

cos，isin，os型+isin当9兀9兀1

②cos—+isin—l=i.下列说法正确的是()

1010人1010)

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

【答案】A

【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②

【详解】@e,7t+1=cos7r4-isinn+1=-1+1=0

7i..7iV2兀..2兀1(9兀..9兀、

②cos—+isin—cos—+ism—cos—+isin—

I1010人1010JV1010J

脸专端犒磊++高9兀..9兀.

=e10xe10xxe10=ev7=e2=cos——+isin—=i

22

则①②均正确

4.(2022・全国•高一假期作业)复数z=cos,g)+isin(q)的辐角主值为()

A8兀87r2兀

A・TB.c.如D.

y5T

【答案】A

2

【分析】设出辐角为6,利用公式计算出。=-(兀+2E,keZ,结合辐角主值的取值范围求

出答案.

的辐角为。,

2

所以6=-丁+2E,kwZ,

因为argz€[0,27i),

R7r

所以当Z=1时，满足要求，argz=y

所以辐角主值为

5.(2022春•河北张家口•高一统考期末)欧拉公式e'Jcose+isine(e=2.71828)是由18

世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知

则0=()

22

A.y+2Z：7i(A:eZ)B,2+2kn(kwZ)C.^+kn(^keZ)D.*+kn(keZ)

【答案】B

【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.

【详解】e，"=cosO+isin®,

6=2/乃+[,(/wZ)

二、多选题

6.（2022・高一单元测试）欧拉公式e'i=cosx+isinx（其中i为虚数单位，xeR）是由瑞士

著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函

数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥“，依据欧拉

公式，下列选项正确的是（）

A.复数e2i对应的点位于第三象限B.为纯虚数

C.复数高•的模等于5D.1的共扼复数为3i

【答案】BC

【分析】根据欧拉公式写出e2'=cos2+isin2、=cos-+isin-.=cos-+isin-,再判

2266

断复数所在象限、类型及求模长、共输复数.

【详解】由题知e'i=cos2+isin2,而cos2v0,sin2>0,则复数e?’对应的点位于第二象限,

故A错误；

e^=cos-+isin-=i,则习为纯虚数，故B正确；

22e

encosx+isinx(cosx+isinx)(x/3-i)>/3cosx-bsinx5/3sinx-cosx.er,,,

—P=——=----j=---------=--------产-------7=---------=---------------------1--------------------1,贝IJ—j=的

G+i6+i(^+i)(V3-i)44V3+i

'百cosx+sinx\/3sinx-cosx3cos2x+sin2x+3sin2x+cos2x

模为+-------------------=-,故c正

4162

确;

e^'=cos-+isin-=^-+-!-i,其共加复数为也一匕，故D错误.

662222

7.（2022春•江苏常州•高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函

数的关系，并给出公式/=cos6+isine（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式

被誉为“数学中的天桥，，.据此公式，下列说法正确的是（）

A.e'表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限

B.e13+l=O

3"+片2

D.cos6>=

2

【答案】BCD

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.

【详解】解：对于A：e3i=cos3+isin3.因为］<3<乃，所以sin3>0,cos3<0,

所以e"表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；

对于B：el/r+1=coszr+isinzr+l=-1+1=0,故B正确；

Y<(£A3

对于C：—+—i=cos—+isin—=e$'=eOT=cos^+isin=-1,故C正确;

(22J【33j)

对于D：由J"=cos6+isin，，e=cos(-e)+isin(-9)=cos(?-isin。，

所以暧+e-ia=2cos0,所以cos®=e蓝，选项D正确；

三、填空题

8.（2023・高一课时练习）把复数-1-i（i为虚数单位）改写成三角形式为

【答案】及"予is吟］

【分析】根据复数三角表示的定义求解即可.

【详解】由题可得r=J（-1『+（-l）2=亚,tan，===l且。在第三象限，

—1

所以辐角的主值为5一兀，

所以-l-i=J5（cos?+isin?）

故答案为：血（cos苧+isin午）.

9.（2023.高一课时练习）复数1+Gi（i为虚数单位）的辐角主值为.

7T

【答案】y##60°

【分析】将复数写成三角表达形式即可.

【详解】1+后=2（cos]+isin；）,

10.（2022春•上海闵行•高一校考期末）若复数z=-K+i（i为虚数单位），则argz=.

【答案】

O

【分析】将复数化为三角形式即可得辐角.

【详解】设复数Z的辐角为6,

由z=-6+i=2i=2（cos2+isin2]

[22）{66J

5兀

所以argz="r

o

11.（2022•全国•高一专题练习）计算：3（cosq+is呜）+2（cos*isi吟卜.（用

代数形式表示）

【答案】-会

【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可.

【详解】

J万，..万1/5^-54、3「（71（九5万

3cos——Fisin—+2cos——+isin-——=—cos---------+isin-----------

I33jI66）2[U6）136〃

3「C..（"3.

21I2；I2；J2

--+^i,则/=______.

12.（2023・高一课时练习）设0=

22

【答案】」+@i

22

【分析】将复数①表示成三角形式,利用复数三角形式的乘方法则可化简方°.

【详解】因为①二一1+34=85史+isin空，

2233

在[、iio（27t..2兀丫°20兀..20兀2兀2兀1

用T以，a）=cos—+1SH1—=cos-----+isin-----=cos—4-ism——=-----1-----1.

（33）333322

13.（2023・高一课时练习）若z=cos。-isin。（i为虚数单位）,则使z2=-l的。的一个可能

值是______.

【答案】y（答案不唯一）

2

【分析】z=-1BPcos20-isinlO=-1,可得8s26=—1,sin23=09求得6.

2

【详解】解:z=cos6-isin6（i为虚数单位），z=-iBPcos2^-isin2^=-l,

c71

...cos26=—1,sin2^=0,，2e=2E+兀，6=E+—,ZeZ.

2

jrJr

所以。的一个可能值是5（满足e=E+1,km.

四、解答题

14.(2023•高一课时练习)-3(cosg+isin])是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示

成三角形式.

【答案】不是三角形式，三角形式表示为3(cos£+isin竽).

【分析】根据三角形式的定义判断，再根据三角形式的结构确定辐角主值即可求解.

【详解】因为三角形式是形如r(cose+isine),C0的形式，

所以-3(cos]+isin])不是三角形式，

[g^j-3fcos-1-+isin-1-^=3f-cosy-isin^j,

6兀.兀.6元

且l-COSTyi=cos-Siny=sin-,

兀..兀)67t..6兀、

Wrrflx以l一31cos—+isinyI=31cos—+isin—I,

即复数的三角形式为3(cos*+ising}

15.(2023・高一单元测试)已知/(z)=z-l,且/'(4-Z2)=4+4i,若4=2-2i.

⑴求复数4的三角形式与arg4；

⑵求上攵.

Z|+Z2

【答案】⑴4=2何cos与+isin与],argz,^

⑵标

【分析】(1)求出复数4的模和辐角主值后，可得复数4的三角形式;

二:

（2）根据〃z）=\l,/（马一22）=4+不以及4=2-劣求出与，将马和4代入可求

Z|+Z?

出结果.

【详解】（1）因为Z=2-2i,所以其模因+（-2）2=2及,设其辐角为

则"二壶二拳s’®羌=一号

因为复数z—对应的点（2,-2）在第四象限，所以呼=7,

所以复数4的三角形式为4=20{os与+isin，）.

(2)因为/(z)=z-l,所以/(Z|-Z2)=Z1-Z2-1=4一司-1=4+4i,

因为4=2-2i,所以2+2i-互T=4+4i,

所以马=-3-2i,所以Z2=-3+2i,

_2-2i+3-2i

所以Z\f=124+16=a.

4+Z2—2-2i-3+2i

16.（2022•全国•高一假期作业）已知复数z=（,〃+3）-（m+l）i已在复平面内对应的点在第一

象限，i是虚数单位.

⑴求实数”?的取值范围

（2）当桃=-2时，求复数z的三角表示

⑶若复平面内，向量OZ对应（2）中的复数z,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到04,

求向量04对应的复数否（结果用代数形式表示）

【答案】⑴（一3,—1）

机+3〉0

【分析】（1）根据题意得（八C，再求解集即可；（2）根据题意得Z=l+i,再分别

一（〃?+1）>0

a2+b2=2

求出「，cos。，sin。即可求解；（3）设。4=（43，根据题意得，“y_1,再分

_yf2x\la2+b-2

析求解即可.

（1）

因为复数2=(加+3)-(m+1〉已在复平面内对应的点在第一象限,

m+3>0.

所以-(〃?+1)>0'解得一3<加<-1，所以实数”的取值范围为：(T-1)

⑵

____1

当机=-2时，z=l+i,所以T=Jf+]2=6,cos0=sin^=-y=r=—,

7TTC.n.

所以""所以z=—+sin—1

44

⑶

根据题意得0Z=(1,1),设其旋转60。后对应向量=(〃力),

1+G1-V3

a2+b2=2a=------a-=-------

22

所以a+b_J,解得<或，

,I-A/3

Wx&t2+〃2b=-------b“=-T-+----5-

22

又因为绕点。顺时针方向旋转60。得到,所以。乙对应的点在第四象限,

i+G

:吃,所以钎i+G11-6：

所以-------1.

22

b--------

2

17.(2022•全国•高一专题练习)下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式.

J11..11

(1)Z,=2COS—九+1SH1—71

~।I1212

I1f2..2)

(2)z=21COS3；r-1Sin3；rJ;

22

(3)Z3=—2(COS0+isin8).

【答案】(1)是三角形式.

一1(44A

(2)不是三角形式，z2=-lcos-^+isin-^-I

(3)不是三角形式，Z3=2[cos(7t+0)+isin(兀+。)].

【分析】(1)由复数的三角形式的特征判断即可；

(2)由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案；

(3)由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案.

(1)

解：4=2(cos昔乃+isin?j符合三角形式的结构特征，是三角形式.

（2）

解：由“加号连”知，不是三角形式.

模r=g,cos"-g.复数对应的点在第三象限，所以取。=与,

所以z2=；(44

cos—不+isin—4

(33

（3）

解：由“模非负''知，不是三角形式.

复平面上的点Z,（一2cos。，-2sin0）在第三象限（假定6为锐角），余弦“一cos/已在前，不需

要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“兀+夕’将。变换到第三象限.

所以Z3=—2（COS6+isin6）=2[cos（7r+6）+isin（兀+。）].

18.（2022•全国♦高一专题练习）设4=6+i,z2=l~i,Z3=sinW+icos^,求存的值

12121*Z3

【答案】-20-2而

【分析】将z”Z2化为三角形式，利用复数三角形式的乘除法、乘方运算直接求解即可.

=-20-2而.

【能力提升】

一、单选题

1.（2022・全国•高一假期作业）欧拉公式e"=cosx+isinx（i为虚数单位，xeR）是由数学

家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉

公式，下列选项正确的是（）

A.e学的虚部为iB.段'=正-也i

e22

C.|eJi|=|cosx|+|sinx|D.e；，的共辗复数为;-亭i

【答案】D

【分析】对于A,由]_i，其虚部为1，可判断A；对于B,e^=-—+—i,判断B；

et22

i22

对于C,|e'|=>/cosx+sinx=l,判断C；对于D,求得J,结合共辗复数的概念即可判断.

【详解】对于A,e?=cos-+isin-=i,其虚部为1,故A错误；

22

对于B,'=cos—+isin—=i,故B错误；

4422

对于C,ed=cosx+isinx,则卜"卜Jcos^x+sin，x=1,故C错误；

对于D,』'=cos工+isin&=』+且i,故/的共规复数为,-3i,D正确，

3322e22

2.(2022•高一单元测试)在复平面内，复数z="+》(“,〃eR)对应向量为oz(。为坐标原

点)，设|OZ|=r,以射线Or为始边，0Z为终边逆时针旋转所得的角为。，则

z=r(cos6+isine),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：4+isin6Q,

z2=/;(cos6»2+isin6»2),则z。=/[cos(q+a)+isin(q+名)],由棣莫弗定理导出了复数乘

方公式：z"=[r(cos，+isin。)]"=r"(cos〃0+isin〃9)(〃eN"),则(-1+/i)"，=()

A.1024-1024V3iB.-1024+10245/3iC.512-5120iD.-512+512x/3i

【答案】D

【分析】先将z=-l+gi表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.

【详解】由题意，得当z=-l+Gi时，r=2,

2兀..

（-1+标尸=2cos—+isin

3

2"（cos竽+isin咨）=2">-；+等i）=-512+5125/ii

3.（2023・高一课时练习）计算：（-1+J5i『=（）.

A.1024-1024V3i;B.-1024+1024石i；

C.512-512后；D.-512+512后.

【答案】D

【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值.

【详解】设z=-l+6i=2-；+*i=2fcosy+isiny

r-r-piio「」2n..2兀)[°}L)(20K••2。兀、

所以z=21cos—+isin—I=2Icos—+isin—I

Oiof2兀2兀)10f15/3?

=2cos——+isin—=2——+——i

I33)[22)

=-512+512后.

4.(2022.全国.高一专题练习)已知复数z满足zS=4且z+"Q|z|=0,则4-柒的值为

()

19763952976

A.-2B.-2C.2'D,23952

【答案】D

【分析】首先根据条件求得复数z,再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复

数的值.

【详解】设2=》+河(x,yeR),

z-z=(x+yi)(x-yi)=x2+y2=4,§.\l\z\=yjx2+y2=2,

Z+5+西z|=()o2x+20=O,解得：x=-y/2

x2+y2=4,y=±y[2

当z=-5/2+V2i时，

J死日1/3兀工.34.).斗

I22JI44)

=23952[cos(2964万)+isin(2964万)]

=23952(cosO+isin0)=23952,

当2=-五-"时，

=23952[cos(988万)+isin(988万)]

=23952(cosO+isin0)=23952,

二、多选题

5.（2022・高一单元测试）己知单位向量OZpOZz分别对应复数4、z,,OZ,-0Z2=0,则F

z?

可能为（）

A.iB.1C.-1D.—i

【答案】AD

【分析】根据题意，设复数4=cosa+isinq,z2=cos6>2+isin6>2,计算可得至=±i,即可

z2

选出答案.

【详解】因为单位向量分别对应复数年z”

设复数Z]=cosq+isina，z2=cos02+isin02,

——.-------.TT

因为OZ「OZ2=0,所以OZi^OZ?,即a-%=±5，

所以之舞黑修=8s（4-a）+isin（a-%）=cos（±£|+isin（±£|=±i,

6.（2022春•江苏宿迁•高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函

数的关系，并写出以下公式炭=cosx+isinx（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式

在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥''，已知复数4=/,Z?=3”，Z3=e%

在复平面内对应的点分别为乙，Z2）Z3）且e“的共轨复数为ei'=e*，则下列说法正确的是

()

B.e"表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限

C.e*+e%+e%=3+否

D.若乙，Z2为两个不同的定点，Zj为线段Z/?的垂直平分线上的动点，则区-Z3|=|z2-zJ

【答案】ACD

【分析】根据共辗复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.

【详解】解:对于A选项，e"=cosx+isinx,eu=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinx

eu+e“=2cosx,

则cosx=e"+e",选项A正确；

2

对于B选项，e2'=cos2+isin2,

1<2<"，cos2<0,sin2>0,

ea表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误；

lV|h2Lr

对于C选项，e+e'+e-'=(cos%+cos&+cos毛)+(sin占+sin毛+sinx3)i

L

贝ije"+eM+e"'=(cosx,+cosx,+cosx3)一(sinX|+sinx,+sinx3)i,

L<l-h,

e*+e*2+eg=e'+e*+e=(cosx,+cosx2+cosx3)-(sinXj+sinx,+sinj^)i

,e*+e为+e%=函+霹+匹，选项C正确；

对于D选项，忸-⑷可转化为乙与Z3两点间距离，区-引可转化为Z?与Z3两点间距离,

由于Z3为线段Z|Z?的垂直平分线上的动点，

根据垂直平分线的性质可知Z,与Z：两点间距离等于Z,与Z,两点间距离，

则|Z1—Z31Tz2-Z3I，选项D正确.

7.(2022春•江苏宿迁•高一统考期中)设4,z2,Z?为复数，Z尸0.下列命题正确的有()

A.若乎2=平3，则Z2=Z3B.若z：+z；>0,则Z：>-Z；

C.I^+ZJ^IZJ+IZJID.若z：+z；=o,则Z[=0且Z2=0

【答案】AC

【分析】利用复数除法判断A,根据复数模的几何含义判断C,应用特殊值法判断B、D即

可.

【详解】A：将"2=平3两边同时除以Z1,可得Z2=Z3，正确；

B：若z：=l+i,z；=l-i,而复数不能比大小，故此时z；>-z；不成立，错误；

C：由复数模的三角含义有区+Zz|4㈤+|即,当4=^2且2>0时等号成立，正确；

D：若z：=T+i,z"l-i,止匕时z^+zAO,故此时4=0且Z2=0不成立，错误.

三、填空题

8.(2023・高一课时练习)计算：12卜os^+isin?)

【答案】----i

6464

【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.

【详解】2(cosr+isin口

)]=(-16x/3+16i)'-16痒16i

(-16>/3+16i)(-l6^-16i)

2(cos工+isin4『-166-16i

I66〃~1024~6464

9-(2。23・高一课时练习)将复数日+力对应的向量绕原点逆时针方向旋转年后’所得向

量对应的复数为i,则复数z=.

【答案】一|##-0.5

【分析】先求得复数i对应的向量绕原点顺时针方向旋转等后，所得向量对应的复数，再利

用复数相等即可求得复数z

【详解】由题意，复数i对应的向量绕原点顺时针方向旋转27r?后，所得向量对应的复数为

G1.

--------------1

22

则走一_li=《E+zi,贝(]z=-]

2222

TT7T

10.(2023♦高一单元测试)已知复数2=$皿=—icos^,若z"=z(〃eN*,且“")，则〃

66

的最小值为.

【答案】7

【分析】根据复数的三角表示及三角形式下的乘方求得-^=-[+2%巩ZeZ,然后根据〃的

范围求得最小值.

[详解]复数z=sing_icosg=cosg_ising=cos(_g)+isin(-9],若

oo33\5Jv5)

n(〃4)..(n7t\(..(4、

z=cos----+isin-----=z=cos----+isin----

I3)I3)I3)I3)

则一早=-2+2无肛keZ,

则〃=-6«+l,ZeZ,”wN*,且〃Hl

故〃的最小值为7,

11.(2022•全国•高一专题练习)对任意三个模长小于1的复数4，z2,Z3,均有

|Z|Z2+Z2Z3+Z3Z]「+|Z|Z2Z3|2<2恒成立，则实数4的最小可能值是.

【答案】10

【分析】利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得以仔2+2/3+20『+上危23『的取值范

围，从而得到实数几的最小可能值.

【详解】设4=/7](cosa+isin，)，z2=/?2(cos6,+isin^),z3=p3(cos+isin,

由题设有C«0,l)(i=l,2,3).

2

又|z,+z,z3+Z3Z1「=[pgCOS(4+2)+P1P3COS(g+a)+夕|夕3COS(4+4)]

+[pgsin(a+幻+夕2夕3$皿(。2+a)+pgsin(a+4)了,

222222

=P\Pl+PlP\+PlP3

+2月Q；。3cos(q-4)+2月602COS(G-，2)+2。2。标3cos(2-幻，

而|Z]Z2Z3「=(㈤同值1)2=居「：6,

所以2仔2+Z2Z3+Z3ZJ-+|z|Z2Z3r<4+2[cos(q-a)+cos(a—4)+cos(a-4)],

而cos(a—q)+cos(a—a)+cos(a-名)w3,当且仅当a,a©终边相同时等号成立,

22

^|Z1Z24-Z2Z3+Z3ZI|+|Z1Z2Z3|<10,所以4210,

故实数X的最小可能值为10,

四、解答题

12.（2023・高一课时练习）设i为虚数单位，”为正整数，。«0,2兀）.

（1）观察（cose+isin〃）2=cos20+isin20,（cos，+isin。）'=cos30+isin30,

（cose+isine）4=cos40+isin4e,…猜测：（cosO+isin。）"（直接写出结果）：

⑵若复数z=6-i,利用（1）的结论计算

【答案】⑴cos〃e+isin”e

（2）512+512后

【分析】（1）观察规律即可得;

⑵由特殊角三角函数得z=2,s¥+isin詈

,结合（1）的结论及诱导公式化简求值

即可.

【详解】(1)由观察得(cosg+ising)"=cos〃8+isin〃夕;

IE]

~6~J

=2lo^coslOx-J-^+isinlOx-J^^

=2(os当+isin空]

I33)

=210cos(18n+1)+isin(187t+[)]

=210(cosy+isin今)

=*(23⑷2J

=512+512©

13.(2023・高一课时练习)如果复数Z]={(cosq+isin6j,z2=^(cos6^+isin6^)(z2*0),

(其中4>0,4>0,i为虚数单位).求证：2=〃[cos(a-a)+isin(4-2)].

r

Z22

【答案】证明见解析

【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式即可得证明.

【详解】因为马=T;(COS^+isinq),z2=^(cos6,+isin^)(z2wO),

八

所以五(cosa+isin6jr](cos^+isin^)(cos02-isin^2)