第10讲 反比例函数（原卷）初中数学

第十讲一一反比例函数

考向一反比例函数的定义

典例引领

5?13

1.（山东滨州•中考真题）下列函数：①尸2x-1；②丫:-；@y=x2+Sx-2；（4）y=—；⑤丫=一；（6）y=—

xx~2xx

中，y是x的反比例函数的有▲（填序号）

2.（2020•湖北宜昌•中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR（或者/=2）,

R

实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（）

变式拓展

1.（2020•湖南长沙•中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘

四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承

担了运送总量为1。6加3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度V（单位：加3/天）与完成运送

任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）

1()617

6cv=r62

A.v=^—B.v=10-T¥D.v=ior

考向二反比例函数的图象和性质

典例引领

1.（2020•山东荷泽•中考真题）从-1,2，-3.4这四个数中任取两个不同的数分别作为。，b的值，得

到反比例函数y=兹，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是.

X

1

2.（2020•山东威海•中考真题）一次函数>=依一。与反比例函数y=@（aH0）在同一坐标系中的图象可能

k

3.（2020•浙江金华•中考真题）己知点（-2,a）,（2,b）,（3,c）在函数y=不攵>0）的图象上，则下列判断

正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

变式拓展

k

1.（2020•湖南衡阳•中考真题）反比例函数>=一经过点（2,1）,则下列说法错误的是（）

x

A.攵=2B.函数图象分布在第一、三象限

c.当%>o时，y随x的增大而增大D.当x>o时，y随x的增大而减小

2.（2020•湖北武汉•中考真题）若点A（a—l,yj,B（a+1,%）在反比例函数y=£（左<0）的图象上，且

乂〉%，则。的取值范围是（）

A.a<-\B.—\<a<\C.a>\D.〃<一1或a>l

3.（2020•广西中考真题）反比例函数），=刍（x<0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：

X

2

①k>0；②当x<0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线>=-x对称；④若点（-2,3）在该

反比例函数图象上，则点（-1,6）也在该函数的图象上.其中正确结论的个数有个.

考向三反比例函数解析式的确定

典例引领

1.（2020•陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（-2,1）,B（3,2）,C（-6,m）分别在三个不同

的象限.若反比例函数（七0）的图象经过其中两点，则根的值为.

x

2.（2020•山东滨州•中考真题）若正比例函数y=2*的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2,

则该反比例函数的解析式为.

变式拓展

1.（2020•上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式是（）

2288

A.y=-B.y=---C.y=-D.y=---

xxxx

b

2.（2020•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知反比例函数y=-的图像经过点（-3,4）,则上的值是

X

考向四反比例函数与平面几何综合

典例引领

1.（2020•浙江衢州•中考真题）如图，将一把矩形直尺A8C。和一块含30。角的三角板EFG摆放在平面直角

3

坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在A。上，三角板的直角边EF交BC于点M,反比例函数

>•=-（%>0）的图象恰好经过点凡M.若直尺的宽CD=3,三角板的斜边FG=8后，则k.

2.（2020•江苏苏州•中考真题）如图，平行四边形0WC的顶点A在％轴的正半轴上，点。（3,2）在对角线

b15

OB上,反比例函数y=-（A>0,x>0）的图像经过C、。两点.已知平行四边形。钻C的面积是一，

x2

变式拓展

1.（2020•四川乐山•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线丁二一x与双曲线丁=公交于A、B两点,

X

P是以点C（2,2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP,。为AP的中点.若线段。。长度的最大值为

2,则k的值为（）

4

1

c.-2D.——

4

2.（2020•重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CQ的对角线AC的中点与坐标原点重合，

k

点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分NQ4E,反比例函数y=*/>0,x>0）的图象经过AE上的两点

x

A,F,且AF=EF，AABE的面积为18,则k的值为（）

A.6B.12C.18D.24

考向五反比例函数中2的几何意义

典例引领

4

1.（2020•山东威海•中考真题）如图，点P（，加D,点Q（-2,〃）都在反比例函数>=—的图象上，过点P分别

x

向X轴、y轴作垂线,垂足分别为点M,N.连接OP,.若四边形OMPN的面积记作S,,△POQ

5

的面积记作邑，则（）

A.S]:S2=2:3B.S]:52=1:1C.SI:S2=4:3D.S]:S2=5:3

2.（2020•山东日照•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，DABCC的顶点8位于y轴的正半轴上，顶点C,

k

。位于X轴的负半轴上，双曲线y=—（A<0,x<0）与口A8CD的边AB,AD交于点E、凡点A的纵坐标

x

为10,F（-12,5）,把"OC沿着8c所在直线翻折，使原点。落在点G处，连接EG,若EG〃y轴，则

△BOC的面积是.

变式拓展

1.（2020•浙江湖州•中考真题）如图，已知在平面直角坐标系X。），中，Rt/kOAB的直角顶点8在x轴的正半

轴上，点A在第一象限，反比例函数y=&（x>0）的图象经过0A的中点C.交A8于点。，连结CQ.若

4r\

2.（2020•内蒙古赤峰）如图，点3在反比例函数y=—（x>0）的图象上，点C在反比例函数y=一一（x>0）

xx

的图象上，且3C//y轴，AC1BC,垂足为点C,交），轴于点4,则△ABC的面积为（）

6

A.3B.4C.5D.6

考向五反比例函数与一次函数的综合

典例引领

2

1.（2020•宁夏中考真题）如图，函数y=x+l与函数％=指的图象相交于点M（1，M，N（—2,〃）.若y>%，

则x的取值范围是（）

A.xv-2或OvxvlB.x<-2或x>lC.-2<无<0或Ov尤<1D.-2<xv0或x>l

4

2.（2020•西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=—（x>0）的图象交于

x

点A,将直线y=x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B,交反比例函数图象于点C.若0A=2BC,

则b的值为（）

A.1B.2C.3D.4

7

3.（2020•湖北省直辖县级单位•中考真题）如图，直线4?与反比例函数y=5x>0）的图象交于A,B两点，

X

已知点A的坐标为（6,1）,AAQB的面积为8.（1）填空：反比例函数的关系式为；（2）

求直线的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段出与心之差最大时，求点P的坐标.

变式拓展

2

L（2020•四川甘孜•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+l的图象与反比例函数y二—

X

的图象交于A,B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△A8P的面积是AAQB的面积的

2倍，则点P的里半标为.

2.（2020•湖北襄阳•）如图，反比例函数乂=—。〉0）和一次函数为=依+》的图象都经过点41,4）和点

X

B（n,2）.（1）m=,n=；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y<%时x的取值范围；

（3）若点P是反比例函数必='（x>0）的图象上一点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,则APOM的

3.（2020•山东荷泽•中考真题）如图，一次函数y="+匕的图象与反比例函数二三的图象相交于A（l,2）,

两点.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是》轴上的点,

若△AC尸的面积是4,求点尸的坐标.

考向六反比例函数的应用

典例引领

1.（2020•山东临沂•中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单

9

位：Q)是反比例函数关系.当R=4C时，/=9A.(1)写出I关于R的函数解析式；(2)完成下表,

并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；

R/Q・・・・・・

I/A・・・・・・

(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A.那么用电器可变电阻应控制在什么范围

内？

10

变式拓展

1.（2020•广西玉林•中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首

期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天.设每天打

通土石方x千立方米.（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要,

实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天

才能完成首期工程？

11

.亨点冲关上

1.（2019•湖北孝感•中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳

为“杠杆原理”，即：阻力x阻力臂=动力x动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是

1200N和（）.5m,则动力F（单位：N）关于动力臂1（单位：m）的函数解析式正确的是（）

600厂500尸0.5

A.C.F=-D.F=7

2.（2020•辽宁营口•中考真题）反比例函数y=L（x<0）的图象位于（）

X

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

k

3.（2020•黑龙江鹤岗•中考真题）如图，正方形A3CD的两个顶点3,。在反比例函数丁=一的图象上,

x

2019

4.（2019・江苏徐州・中考真题）若4%,M）、8（%,必）都在函数>=——的图象上，且看<0<%，则（）

x

A.必<%B.%=为C.必>为D.y产一%

5.（2019•安徽中考真题）已知点A（1,-3）关于x轴的对称点A，在反比例函数y=K的图像上，则实数k

X

的值为（）

A.3B.-C.-3D.—

33

6.（2019•山东济南•中考真题）函数y=一/+a与y=3（QWO）在同一坐标系中的图象可能是（）

x

12

7.（2020•湖南张家界•中考真题）如图所示，过）'轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比

例函数y=-9和>=刍的图象交于点A和点8,若点C是X轴上任意一点，连接AC,5C,则AA6c的

XX

8.（2020•辽宁营口•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边。A在x轴正半轴上，其中NQ48

=90°,AO=AB,点C为斜边。8的中点，反比例函数丫=工（&>0,x>0）的图象过点C且交线段A8

X

3

于点。，连接CD,OD,若SAOCD=一则左的值为（）

2

2

9.（2019•江西中考真题）已知正比例函数月的图象与反比例函数月图象相交于点4（2,4）,下列说法正确的

是（）

13

A.反比例函数丫2的解析式是y?=B.两个函数图象的另一交点坐标为（2,-4）

C.当％<-2或0<x<2时，yi<y2D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大

10.（2020•四川内江•中考真题）如图，点A是反比例函数y=人图象上的一点，过点A作AC_Lx轴，垂

x

足为点C,。为AC的中点，若A4OO的面积为1,则上的值为（）

33

11.（2020•湖北鄂州•中考真题）如图，点A是双曲线^=’。<0）上一动点，连接Q4,作且

X

1人

使。？=3Q4,当点A在双曲线丫=—上运动时，点B在双曲线^=一上移动，则k的值为.

xx

12.（2020•江苏盐城•中考真题）如图，已知点A（5,2）,3（5,4）,C（8,1）,直线/_Lx轴，垂足为点〃（加，0）,其

14

5k

中若VA'B'C与△/WC关于直线/对称，且VA'8'C有两个顶点在函数y=—（%。0）的图像上，则

2x

攵的值为：•

A

13.（2020•湖南永州•中考真题）如图，正比例函数>=-X与反比例函数y=一一的图象交于A,C两点，过

X

点A作轴于点3,过点（7作8，》轴于点。，则的面积为.

kk

14.（2020•浙江杭州•中考真题）设函数yi=—,J2=--（%>0）.

XX

（1）当2WxW3时，函数yi的最大值是。，函数”的最小值是4-4,求〃和人的值.

（2）设"2W0,且加#-1,当x=〃2时，yi=p；当x=/n+l时，yi=q.圆圆说：“p一定大于你认为圆

圆的说法正确吗？为什么？

k

15.（2020•湖南岳阳•中考真题）如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=一（%为常数且Aw0）

x

15

的图象相交于4（-1,加），6两点.（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y=x+5的图象沿>轴向

下平移6个单位S>0）,使平移后的图象与反比例函数y=±的图象有且只有一个交点，求b的值.

k

16.（2020•四川南充•中考真题）如图，反比例函数y=—（k工0,x>0）的函数与y=2x的图象相交于点C,

x

过直线上一点A（a,8）作AABLy轴交于点B,交反比函数图象于点D,且AB=4BD.

（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB的面积.

17.（2020•四川凉山•中考真题）如图，已知直线/：y=-x+5

16

y

o\\

(1)当反比例函数y=A(A>0,x>0)的图象与直线/在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围

X

k

(2)若反比例函数>=一优>。">0)的图象与直线/在第一象限内相交于点A(%,y)、5(%2，%)，当

X

k

玉=3时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式-工+5〈一的解集

x

17

18.(2020•山东济南•中考真题)如图，矩形OA8C的顶点A,C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2,

2Ji),反比例函数y=8(x>0)的图象与BC,AB分别交于。，E,BD=-.(1)求反比例函数关系式

x2

和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)点尸在直线AC上，点G是坐标系内点，

当四边形8C/G为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上.

备用图

18

19.（2019•湖南郴州中考真题）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，称这样的函数

为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数>=<（"'-D的图象与性质.列表:

_5_3工5_

X-3-2-10123

~2~2222

2443£3_

y121012

3532222

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如

图所示.

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象;

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点4-5,另）,L%）,cfx„|j,。（巧,6）在函数图象上,M

y2,*%；（填

”或“<”）

②当函数值y=2时，求自变量x的值；③在直线x=—l的右侧的函数图象上有两个不同的点P（七,%），

。（七，乂），且为=>4,求&+%的值；④若直线丫=。与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围.

19

20.（2020•广东省•中考模拟）某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min,之后将

对泄漏有害气体进行清理，线段OE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的

函数关系（0WxW40）,反比例函数产工对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y

x

与时间x（min）之间的函数关系（40WxW?）.根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之

初显示的数据是；

（2）求反比例函数产的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值.

20

直通中考

1.（2020•无锡）反比例函数y=［与一次函数产基％+II的图形有一个交点B（1,m）,则上的值为（）

24

A.1B.2C.-D.一

33

2.（2020•山西中考真题）已知点A（石,yj,B（x2,y2）,。（七,%）都在反比例函数）'=［仕<0）的图像

上，且无।<%2<。<%3，则y，%，%的大小关系是（）

A.B.%>%〉弘C.乂>%〉为D.%>%〉为

2

3.（2020•湖南衡阳•中考模拟）对于反比例函数丁=-一，下列说法不正确的是（）

x

A.图象分布在第二、四象限B.当x>0时，y随X的增大而增大

C.图象经过点（1,-2）D.若点A（x，y）,3（々,%）都在图象上，且西<与，则,<必

4.（2020-青海）若打?<0,则正比例函数>与反比例函数y=2在同一平面直角坐标系中的大致图像

X

21

4

5.（2020•辽宁朝阳•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=§x+4的图象与x轴、y轴分别

相交于点B,点A,以线段A8为边作正方形ABC。，且点C在反比例函数y=A（x<0）的图象上，则A

x

的值为（）

A.-12B.-42C.42D.-21

6.（2020•吉林长春•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,2）,轴于点B，点C

是线段OB上的点，连结AC.点尸在线段AC上，且AP=2PC.函数y=?x>0）的图象经过点尸.当

点C在线段。8上运动时，攵的取值范围是（）

228

A.Q<k<2B.-<k<3C.-<k<2D.-<k<4

333

7.（2020•贵州黔东南•中考真题）如图，点A是反比例函数），=幺（x>0）上的一点，过点A作轴,

X

2

垂足为点GAC交反比例函数y=—的图象于点3,点P是x轴上的动点，则4%3的面积为（)

x

C.6D.8

22

8.（2020•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，点A在反比例函数弘=一1>0）的图象上，过点A作

x

轴，垂足为B,交反比例函数%=9*>0）的图象于点C.P为y轴上一点，连接Q4，PC.则△APC

x

的面积为（）

9.（2020•湖南怀化•中考真题）如图，△。44，△4员4,△4员4,…，△&纥4,都是一边在x

轴上的等边三角形，点用，B”B.,-,B“都在反比例函数y=Y3（x>0）的图象上，点A，%,4,…，

10.（2020•湖北随州•中考真题）如图，直线A3与双曲线y=A（攵>0）在第一象限内交于A、8两点，与

X

X轴交于点。，点8为线段AC的中点，连接。4,若△A。。的面积为3,则k的值为一.

23

rn

H.（2020•北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线丁=一交于A,B两点.若点A,

B的纵坐标分别为,，乂，则X+%的值为

12.（2020•湖南株洲•中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分

k9

别在x轴、y轴上，点B在函数弘=一（x>0,k为常数且后>2）的图象上，边AB与函数必=一*>0）

XX

的图象交于点D,则阴影部分ODBC的面积为（结果用含k的式子表示）

13.（2020•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x

轴平行，A,B两点的纵坐标分别为6,4,反比例函数y=&（x>0）的图象经过A,B两点，若菱形ABCD

的面积为26，则k的值为

6

4

24

14.(2020•浙江嘉兴•中考真题)经过实验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的一组对应值如下表.

X123456

y62.921.51.21

(1)请画出相应函数的图象，并求出函数表达式.

(2)点A(xi,yi),B(及，”)在此函数图象上.若xiV%2,则yi,”有怎样的大小关系？请说明理由.

---：_：_：_:_：---B

0

1234567x

15.(2020•四川绵阳•中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=&(k

X

<0)的图象在第二象限交于A(-3,m),B(n,2)两点.(1)当m=l时，求一次函数的解析式；

(2)若点E在x轴上，满足NAEB=90。，且AE=2-m,求反比例函数的解析式.

25

16.（2020•山东枣庄•中考真题）如图，在平面直角坐标系X。），中，一次函数y=：%+5和〉=-2》的图

象相交于点A，反比例函数^=人的图象经过点A.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数

X

1k

y=；x+5的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为3,连接。8,求A43O的面积.

26

17.(2020•湖北咸宁•中考真题)如图，已知一次函数y=依+。与反比例函数为=一的图象在第一、三象

x

限分别交于46,1),B(a,-3)两点，连接Q4,OB.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)AAOB的面积为；(3)直接写出X＞当时x的取值

范围.

27

k

18.(202()•贵州贵阳•中考真题)如图，一次函数y=x+i的图象与反比例函数y=—的图象相交，其中一个

(1)求反比例函数的表达式；

(2)将一次函数y=x+l的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数丁=与图象的交点坐标;