八年级数学上册压轴题训练

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八年级数擘上册屋轴题to束

1制题背景：

如图1:在四边形ABC中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,CD上（D点.且/EAF=60".探

究图中线段BE,EF,FD之间＜Z）数量关系.

小王同学探究此问题（Z）方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明aABE丝ZlsADG,再证明

△AEF^AAGF,可得出结论，他结论应是；

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,/B+/D=180".E,F分别是BC,CD上。（点，且/EAF=/BJLD,

2

上述结论是否仍然成立，并说明理由；

除鹰用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西3000A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。0B

处，并且两舰艇到指挥中心CD距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时（Z）速度前进，舰艇

乙沿北偏东50°方向以80海里/小时G速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，

且两舰艇之间夹角为70°,试求此时两舰艇之间距离•

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2.I问题提出】学习了三角形全等G判定方法(即"SAS"、"ASA"、"AAS"、"SSS”)和直角三角形全等CD判定方法

(即“HL")后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边对角对应相等“，•情形进行研究.

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ZXABC和ADEF中，AC=DF,BC=EF,/B=/E,然后,

对/B进行分类，可分为“/B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】第一种情况：当/B是直角时，△ABCSZkDEF.

⑴如图①，在aABC和ZSDEF,AC=DF,BC=EF,/B=/E=90",

根据,可以知道RtAABC^RtADEF.

第二种情况：当/B是钝角时，△ABC04DEF.

(2)如图②，在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且/B、

/E都是钝角，求证：ZXABC组ZSDEF.

第三种情况：当/B是锐角时，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在△八15(2和4DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且/B、/E都是锐角，请你用尺规在图③中作出aDEF,

使4DEF和AABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)/B还要满足什么条件，就可以使AABC必ADEF?请直接写出结论：在4ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,

ZB=ZE,且/B、ZE都是锐角，若,则△ABC@Z\DEF.

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3.有道檬一道题：把一张项角悬36,G等腰三角形纸片剪雨刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形,

你能辨到嚅？方青重示意明剪法.

我1H有多少槿剪法，B1是其中（Z）一槿方法:

图1

定塾：如果丽段揩一10三角形分成3他等腰三角形，我什1把造雨^^段叫做道他三角形，＞三分

⑴你在圈2中用雨槿不同（©方法重出项角悬45"0）等腰三角形（Z）三分加襟注每他等腰三角形项角G度数；

（若雨槿方法分得（D三角形成3封全等三角形，即视悬同一槿）

（2）ZXABC中，ZB=30°,AD和口£是4ABCC（三分黠D在BC遏上，黠E在AC遏上，且AD=BD,DE=CE,

^/C=x°,就耋出示意圈，加求出x所有可能（Z）值；

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4.如图，AABC中，AB=AC,ZA=36°,称满足此条件G三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作：(画图不要求

使用圆规，以下问题所指G等腰三角形个数均不包括aABC)

⑴在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形顶角度数分别是度

和度;

⑵在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

(3)继续按以上操作发现：在AABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰

三角形.

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5.在等腰直角三角形ABC中，/BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN//BC,过点B为一锐角顶点作RtABDE,

ZBDE=90°,且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1,DE与AC交于点P,易证:BD=DP.（无需写证明

过程）

⑴在图2中，DE与CA延长线交于点BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理

由；

⑵在图3中，DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等？请直接写出你G结论，无需证明.

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6.如图，已知ABAD和4BCE均为等腰直角三角形，/BAD=/BCE=90"，点M为DEO中点，过点E与AD平行

O直线交射线AM于点N.

⑴当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证：M为ANO中点;

⑵将图1中(Z)Z\BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证：ZXACN为等腰直角三角

形；

(3)将图1中4BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中(©结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明

理由.

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7.【问题情境】张老师给爱好学习G小军和小俊提出这样一个问题：如图1,在aABC中，AB=AC,点P为边BC

上任一点，过点P作PD1AB,PE1AC,垂足分别为D、E,过点C作CF±AB,垂足为F.求证：PD+PE=CF.

小军G证明思路是：如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABCG）面积可以证得:PD+PE=CF.

小俊（©证明思路是：如图2,过点P作PG1CF,垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.

【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF.

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8.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC。＞延长线上.

（1）如图1,AABC和4APE均为正三角形，连接CE.

①求证：△ABPSSAACE.

②/ECMO度数为".

（2）①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则/ECMCD度数为°.

②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.则/ECMO度数为'.

（3）如图4,n边形ABC-和n边形APE-均为正n边形，连接CE,请你探索并猜想/ECMO度数与正多边形边

数“0数量关系（用含n，＞式子表示NECM（©度数），并利用图4（放大后CD局部图形）证明你（D结论.

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9、如圄，在aABC中，黠DAifBCO中黠，谩黠A作射^AE,遇黠C作CFJ_AE於黠F,谩患占B作BG1AE

於黠G,速接FDjt延是，交BG於黠H

(1)求瞪:DF=DH;

(2)若/CFD=120‘，求瞪：△DHG悬等遏三角形.

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10、已知雨等遏△ABC,△DEC有公共(DI真黠Co

(1)如圜①，tD在AC±,E在BC上畴，AD舆BE之『同②数量系卷;

(2)如圄②，tB、C、D共^畴，建接AD、BE交於M,速接CM,段BM舆^段AM、

CM之^有何数量^保？就就明理由；

(3)如II③，tB、C、D不共^畤，^段BM^^段AM、CM之情］(D数量^^是.

(不要求18明)。

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3、在^ABC中，ZACB^^角，勤黠D(巽於黠B)在射^BC上，速接AD,以AD点，遏在ADCD右位］

作正方形ADEF,速接CF.

(1)若AB=AC,ZBAC=90"那麽

①如圈一，常黠上段BC上畴，^段CF舆BD之位置、大小^你是(直接嘉出^)

圃二，常黠上段BC6D延假:上畤，①中0幺协会是否仍然成立？^就明理由.

(2)若ABxAC,ZBACK90".黠上段BC上，那麽常/ACB等於多少度畴？^段CF舆BD之^

o位置^^仍然成立.it霓出相愿圈形，Ji就明理由.

图二

ffi-

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4、如HI1,等腰直角三角板CD^角1真黠舆正方形ABCD01M&A重合，揩此三角板^黠A旋穗，使三角板中

^角，)丽修遏分别交正方形CD雨遏BC,DC於黠E,F,建接EF.

(1)猜想BE,EF,DF三脩^段之数量HIM系，jt瞪明你O猜想；

(2)在圃1中，遒黠A作AMJ_EF於黠M,^直接嘉出AM和ABO数量^^；

(3)如圃2,符Rt^ABC沿斜遏AC翻折得到RtAADC,E,F分别是BC,CD遏上，(黠，ZEAF=1/2ZBAD,

建接EF,谩黠A作AM」_EF於黠M,就猜想AM典AB之数量她瞪明你猜想.

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答案

1、全等三角形(D判定奥性等谖三角形(D判定.

分标一(i1)首先瞪明/1=Z2,再瞪明△DCF^ADBH即可得到DF=DH;

(2)首先根掠角，।和差^保可以日•算出/GFH=30°,再由/BGM=90°可得/GHD=60°,再根獴直角

三角形(Z)性^可得，HG=-HF,迤而得到结

2

解答：瞪明：(DVCF1AE,BG_LAE,

/.ZBGF=ZCFG=9OC,

/.Z1+ZGMB=Z2+ZCME,

,/ZGMB=ZCME,

AZ1=Z2,

•黠BCO中黠，

DB=CD,

在△8卜2和4CED中，

Z1=Z2

DB=CD

Z3=Z4

/.△BHD^ACED(ASA),

CFD=120°,ZCFG=90°,Z

GFH=30°,z

BGM=90B,

j/.ZGHD=60°,

".'AHGF是直角三角形，HD二DF,

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.HG二一HF二DH

2

「.△DHG卷等遏三角形.

此题主要考查了全等三角形（2）判定舆性以及直角三角形斜遏上CO中^等於斜遏一半，

是掌握全等三角形判定定理.

2、解：(1)AD=BE

(2)BM=AM+CM

理由：在BM上截取BM'二AM,建接CM'

•「△ABC、ZXCED均悬等遏三角形，

/.BC=AC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°

」./ACB+ZACE=ZECD+/ACE即

ZBCE=ZACD

.,.在△BCE^PAACD中

"AC=BC

</BCE=/ACD

CE=CD

/.△BCE^AACD(SAS)

1=Z2

.,・在△BM'(2和4AMC中

“BM，=AM

〈Z1=Z2

BC=AC

.1△BM'C^AAMC(SAS)

AZ3=Z4,CM=CM'

vZACB=Z3+/5=60°

"4+/5=60°即/MM'C=60°

.1△MM'C_^等遏三角形

；.CM=MM'

.,.BM=BM'+MM'=AM+CM

⑶BM=AM+CM

(l)①CF=BDCF1BD.

解；结论述成立，CF=BDCF1BD.

理由是，：四边形ADEF是正方形，

.".AD=AF.ZDAF=90*,/.ZB+ZBC1=9O*,

•--ZBAC=90*,.'.ZACF4-ZACB=90B,

:.ZBAC-ZDAC=ZI>AF-ZDAC,.•.CF1BD.

AZBAD=ZCAF.故答案为，CF=BD,CF1BD.

:在ABAD和ACAF«P

"AB=AC

<NBJW=NC4尸，

AD=AF

:.△BADS2ACAF,

.,.CF=BD.ZB=ZACF.

^gZBAC=90",

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②解；结论还成立,(2)解：当NACB=45，时，CFXBD

理由是由①如，ZBAC=FAD=90,，理由是：知图1，当NBAO9CT,过点A作AIL

ZBAC+ZCAD=ZFAD*ZCAD.则AI=AC，

由(I)同理可证明AFACSA1AD,

”在ABAD和ACAF中.".ZACF=ZA«r=45,，

AB=ACAZFCB=90*.

<CBAD=4CAF'RPCF±BD.

AD=AF'

A△BADSACAF.

二CF=BD,ZB=ZACF,

•••ZBAC=90".

.•.ZB+ZBCA=90'>

.,.ZACF+ZACB=90,.

/.CF1BD.

即①的结论还成立.

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(1)Er=BE+DF.

证朗,如答图1，延长CB到Q,使3Q=DF,连搀AQ,

VZDAB=90*,ZFA3=450,

J.NDAF+NBAE=45°.

NBAE+NBAQ=45°,

即NEAQ=/FAE,

在^EAQ和ZkEAF卬

AE=AE

NEd0=NE.iF

{AQ=AF

:国边形ABCD是正方形，.•.△EAQSAEAF.

.•.AD=AB.ZD=ZDAB=ZABE=ZABQ=90*»EF=EQ=BE+BQ=BE+IiF.

在AAD