2021年江苏省各市各区中考数学模拟真题解答题：圆的综合

2021年江苏省各市各区中考数学模拟真题解答题专练:

圆的综合

1.(2021•广陵区校级二模)如图1,已知正方形468的边长为4,以力为圆心，3为半径的圆弧交边

AB、于点E,F,交对角线由于点G、〃，点尸为弧命上的一个动点，过点尸作于M,

作7W1S于N.设PM=m,PN=n.

(1)如图2,当点p运动至G位置时，求m+A的值；

(2)若四边形0MCW的面积为3.5,求四边形。MCW的周长；

(3)求四边形R0CN面积的最小值，并说明此时点尸的位置.

图1图2

2.(2021•海陵区一模)已知：如图，在。。中，弦与。。相交于点E,,给出下列

信息：

①NADC=50°;②AS是。。的直径；③NCEB=100°.

(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论.你选择的条件是,结

论是(只要填写序号).判断此命题是否正确，并说明理由；

(2)在(1)的情况下，若4。=2«，求益的长度.

3.(2021•苏州二模)如图，在△力BC中，NC=90：以点。为圆心，C4长为半径的圆交月8于点。.

(1)若NB=28°,求俞的度数；

(2)若。是月B的中点，AB=2,求阴影部分的面积;

(3)若求的值.

4.(2021•姑苏区一模)如图①，周长为12的矩形内接于。O,设力笈的长为X.

(1)当*=2时，的半径为;

(2)如图②，。是弧力。的中点，设阴影部分的面积为S,求S的值；

(3)如图③，连接力。并延长，试问在月。的延长线上是否存在一点后，连接。E,使得。E与OO相

切，且■月。，若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由.

5.(2021•淮安二模)如图，在中，BE是的平分线，ZC=90°,点。在48边上，以

OB为直径的半圆。经过点E.

(1)求证：是。。的切线.

(2)若6。=3,0。的半径为2,求助的长.

6.(2021•工业园区校级模拟)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.波波决

定研究一下圆.如图，。4、是OO的两条半径，OA1.OB,。是半径03上一动点，连接/。并延

长交于。，过点。作圆的切线交的延长线于E,已知04=6.

(1)求证：ZECD=ZEDC-,

(2)若BC=2OC,求。E长；

(3)当/月从15°增大到30°的过程中，求弦在圆内扫过的面积.

7.(2021•南通一模)四边形内接于力5是的直径，弧40=弧8.过点。作OO的

切线，交延长线于点R

(1)求证/0=90°;

(2)若tan/CZ?P=W,尸。=4,求BC的长.

3

D

C

B

8.(2021•涟水县模拟)如图，力8是。。的直径，。是。。上一点，。是弧力。的中点，石为OA延长

线上一点，且/CAE=/AOE.AC与OE交于点F.

(1)请说明：力后是。。的切线；

(2)若DCIIAB,DC=1,求阴影部分面积.

9.(2021•洪泽区二模)如图，已知月6是。。的弦，。为。。上一点，力。是。。的切线.

(1)求证：(C=/_BAD;

(2)若3。，AS于点B,AD=9,BD=6,求0。半径.

AD

10.(2021•常熟市一模)如图，力B为。。的直径，C,。为。。上不同于4,B的两点,过点。作。。

的切线C尸交直线*3于点F,直线DBV。尸于点E.

(1)求证：/_ABD=22CAB：

(2)连接若sin/A4O=g,且B斤=2,求。。的半径.

5

11.(2021•苏州一模)如图1,是。。的内接三角形，点力在而上运动.

(1)若3C=2且/期C=30°.

①。。的半径为；

②设点/到3。的距离为X,图中阴影部分的面积为力求尸与x之间的函数关系，并写出自变量x的

取值范围.

(2)如图2,NA4。是△月BC的一个外角，ABAC.N期。的平分线分别交O。于点E、F.若连

接ER,则砂'与有怎样的关系？请说明理由.

图1图2

12.(2021•玄武区一模)如图，在△/B。中，。是BC边上的点，过点。作。E1BC交/。边于点石，

垂足为D,过点。作DFVAB,垂足为F,连接EF,经过点D,E,尸的与边3C另一个公共点

为G.

（1）连接G尸，求证ABG尸户;

(2)^AB=AC,BC=4,tanC=2,

①当。。=1.5时，求。。的半径;

②当点。在边上运动时，0。半径的最小值为

备用图

13.（2021•南京一模）如图，在△/3C中，//。8=90°,用直尺与圆规分别作出满足下列条件的。O.（不

写作法，保留作图痕迹）

⑴在图①中，。。过点。且与相切；（作出一个即可）

⑵在图②中，。为43上一定点，。。过点。且与相切于点

⑶在图③中，E为力。上一定点，过点。、E且与相切.

图②

14.（2021•鼓楼区一模）如图①，△43c的内切圆。与/8BC、力。分别相切于点D、E、F,DO、

EO、R9的延长线分别交。。于点G、H、I,过点G、H、/分别作/ABC、/C的平行线，从△力

上截得六边形JKMNPQ.通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻

两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边.

(1)求证：六边形向的对角相等；

(2)小明在完成(1)的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ,他发现△OOSZkGOO、

XDON9XGOJ,于是猜想六边形JAMVF。的对边也相等.请你证明他的发现与猜想.

图①图②

15.(2021•建邺区一模)如图，点F为正方形的边4。上的一点，。。是△/席的外接圆，与

交于点尸，G是8上一点，且NDGF=/AEB.

(1)求证：2G是。。的切线；

(2)若力笈=4,0G=1,求半径。4的长.

16.(2021•梁溪区一模)如图，是。。的直径，弦。P为前上一点，PC、心分别与直线

交于必N,延长。。至点E,使得NCPE=/PDC.

(1)求证：/汨是0。的切线；

(2)若OM・ON=6,求的长.

17.(2021•苏州模拟)如图，点力和动点。在直线/上，点P关于点力的对称点为Q,以nQ为边作

Rt^/SQ,使/氏4。=90°,AQ-AB=3:4,作△/BQ的外接圆O.点C在点尸右侧，PC=4,

过点。作直线mU,过点。作OD_Lm干点D,交右侧的圆弧于点E.在射线8上取点F,使

Q

^=yCD»以DE,。户为邻边作矩形。EGE设力。=3.

(1)用关于x的代数式表示右。=,DF=.

(2)当点。在点/右侧时，若矩形OEGQ的面积等于90,求/P的长.

(3)当点尸在点/右侧时，作直线4G交。。于点N,若加的弦心距为1,求力，的长.

参考答案

图2

.・.四边形/E8是正方形，

/.ZDBC=ZCDB=45°.

•：PMA_BC9

.•・△功阳为等腰直角三角形.

:・BM=PM=m.

•：PMVBC,PN1DC,ZC=90°,

•••四边形加C7V为矩形.

:.CM=PN=n.

•：CM+BM=BC=4,

丁・〃7+刀=4.

同理，当点尸运动至〃位置时，772+22=4.

(2)延长跖NP,交正方形的边月月。于。，R,连接力P,如图1,

图1

■：PMVBC,PNLCD,四边形AB8为正方形,

，四边形列四。为矩形.

；.AQ=PR=4-m,PQ=4-n.

•:A0+PC=A9,

(4-m)2+(4-n)2=32.

16-8m+m2+16-8n+n2=9.

(m+n)2-2mn-8(m+n)+32=9.

••,四边形刊/CW的面积为3.5,

.*.22722=3.5.

(777+n)2-8(m+n)-7+32-9=0.

/.(m+n-4)2=0.

.*.zn+n=4.

••・四边形的周长=2(m+n)=8.

(3)如图1,由(2)知：(4一m)2+(4-n)2=32.

即：16-8n2+zr?2+16-812+n2=9.

m2+n2-8(m+22)+23=0.

.,.z?22+2z22n+n2-8(m+n)+23=2mn

：.2mn=(m+n)2-8(m+n)+23.

,；S矩形PMCN=mn,

199219

**-S矩形pMCN7G+n)-4(m+n)+-y=­((mtn-4)

7

.,.当m+n=4时，S矩形尸有最小值为言

由(1)知，当m+n=4时，点p运动至G、H位置.

此时点尸的位置在G或〃处.

2.解：(1)条件为①②，结论为③，结论正确，理由如下:

连接3G

..Y3是O。的直径，

//C3=90°,

=/ABC,

：，ABAC=90°-^ABC=90°-50°=40°,

ZCEB=ABAC+AACD=400+60°=100°;

故答案为：①②，③；

(2)连接OC,BD,

・••/B是。。的直径，

：.ZADB=90a,

X•••ZABD=/_ACD=60°,AD=2娓,

...AB=________=2我=4

sin/ABDsin60°

：.OA=—AB=2,

2

又..•//。。=2/月。。=2*50°=100°,

・GMK由将100冗X210冗

.•AD的长度为一1而一=『.

3.解：(1)连接。，如图，

•:NACB=90°,NB=28°,

：.ABAC=90°-28°=62°,

CA=CD,

ACDA=ACAD=62°,

48=180°-62°-62°=56°,

・•.俞的度数为56°;

(2)•。是的中点，

CD=AD=BD=—AB=1,

■：CD=CA,

.•.△48为等边三角形,

・二阴影部分的面积=S扇形力8—SXACD

=60XJTXF一遮二［2

(4)CH1AD,

：.AH=DH=^AD,

月C3=90°,CH]_AB,

：.AC1=AH*AB,

即(虫)2=^AL>AB,

.'.AD*AB=6.

4.解：(1)如图①，连接3，

•••四边形是矩形，

.1./^=90°,

.•.用?是。。的直径，

当x=2时，AB=2,AD=4,

BD=7AB2+AD2=V22+42=2V5>

•••。O半径OB=-^BD=巡，

故答案为：巡；

(2)如图②，连接/C,

是弧力。的中点，

AD=CD>

.'.AD=CD,

•.•四边形/BCZ?是矩形，

四边形SBC。是正方形，

:正方形月3co周长为12,

正方形边长为3,即AD=CD=3,

:.AC=^--3-=-----3-=3-^2,

sin45sin45

OA=—AC=冬但，

22_

阴影=/。一_兀*(

••・5505/；148=^>3：2)

(3)存在，x=3爪-3..理由如下：

如图③，连接OD,

•.,。后与OO相切，

；.ZODE=9G°,

•/CE=^AC,OC=^AC,

CE—OCy

CD=OC=OD,

.•.△08是等边三角形，

N/8=60°,

ADl

在Rt4/8中，—=tanZ?1CD=tan60°=«,

CD

：.AD=&CD,即6-x=

解得：m3爪-3.

图②

图①

5.(1)证明：连接OE,如图,

•••3后是NCA4的角平分线，

ZABE=ZCBE.

-：OE=OB,

：.AABE=AOEB,

：.ZOEB=ZCBE,

：.OEIIBC,

：.ZOEC=ZC=90°,

OEVAC,

是。。的切线；

(2)解：如图，过点。作于点”,

：.BE=2BM,

■：OEHBC,

.0A=OE

"AB-BC，

.AD+22

■,AD+4

解得力。=2,

.,Q=4,

r.N4=30°,

：.^AOE=60a,

OE=OB,

：.^OBM=30°,

：.BM=OB*cos300=2X浮正,

：.BE=2BM=2yf2-

6.(1)证明：连接OD,如图1所示：

••,OE是。。的切线，

；"EDC+2ODA=9G°,

•/OA1.OB,

：.AACCHr/LOAC=9G0,

•••04、OB是。。的两条半径，

OA=OB,

/.ZODA=ZOAC,

：./_EDC=/_ACO,

♦:乙ECD=/_ACO,

・•.ZECD=ZEDC;

(2)解：,:BC=2OC,OB=OA=6,

OC=29

设DE=x,

•・,ZECD=ZEDC,

CE—DE=x,

OH=2+x,

•/ZODE=90°,

：.OU+DC=OC,

即：62+^=(2+x)2,

解得：x=8,

DE=8;

(3)解：过点。作加'1/。交力。的延长线于用如图2所示:

当/4=15°时，£DOF=3G°,

：.DF=—OD=—OA=2>,ZPO4=150°,

22

15QH«62

S弓形ABD~S扇形-S&AOD=-4A，DF=157T-yX6X3=15K-9,

ODA36022

当NZ=30°时，"=60°,

;.DF=®OD=®OA=3ZZ?O4=120°,

22

S弓形力BO=S扇形OD4-S△/OD=.120：：6一l.A0.DF=12兀-[x6x3«=12兀-9

3602/

..・当//从15°增大到30°的过程中，力。在圆内扫过的面积=(157t-9)-(12兀-9b)=3n+9

爪-9.

图1

7.(1)证明：连接。。交/c于点a

B

•.•弧/。=弧CD,

：./_DAC=/_ACD,

ODLAC,

又•••//C3=90°,且。。为。。的切线，

.•・四边形。HOP为矩形，

ZP=90°;

(2)解：连接交力。于以连接如图,

B

9

由⑴可知"=90°,OEVCE,且tan/CZ?P=^,PC=4,

o

EC=6,

设半径为r,在Rt^CEO中，

222

(r-4)+6=r>

解得：r=苧，

：,OE=r-4=—

29

,:BC=2OE,

；.BC=5.

8.证明：(1)连接。G

.・.。是菽的中点，

/_AOD=Z.COD,

'/OA=OC,

.\OELAC,即/4^=90。,

・・.NE+NEAF=90°,

,:NCAE=ZAOE,

••.N£:+N4OE=90°,

：,^EAO=90°,

・・・4E是。。的切线；

(2)DCIIAB,

：,/_CDO=/_AOD,

而，

:./_AOD=/_DOC,

ZCDO=ZDOC,

•・,OC=OD,

・,.ZODC=ZOCD,

・•.△OOC为等边三角形，

：,/_DOC=60°,DC=OD=1

AZ/10/7=60°,

・・.△ZO。为等边三角形，

OA—1,

**AE—

・・・阴影部分面积为SAOE-S扇形X“X1-1

N360

,Vs兀

——-----(

26

9.(1)证明：如图，连接月。并延长交。。于点E,连接BE,则/月BE=90°,

：.^EAB+Z.E=90°.

是。。的切线，

:.NDAE=9G°,

：./LEAB+ABAD=9G°,

：./_E=BAD,

,•"C=NE,

ZC=ZBAD;

(2)解：

：.^ABD=90°,

由(1)可知N4BE=9O°,

：."BE=180°,

.--D,B,E三点共线，

■：AD=9,BD=6,

AB=VAD2-BD2=V92-62=3泥，

ZE=ZC=ZBAD,ZD=/_D,

:.XADES[\BDA,

.AD_AE

"BD-ABJ

.9_AE

・7一砺’

:.AE=^^.

2_

，。。半径为2店.

E

10.(1)证明：连接0G

\'OA=OC,

AZCAB=Z1,

••.N2=/G4B+/1=2/G4B,

・・・CF切。。于G。。是。。的半径,

/.。。1CF,

•：DB[CF,

：.OC\\DB,

:./_ABD=/_?,

••.NZ3O=2NC43;

(2)解：・・・48为。。的直径,

AADB=9O0,即AD_LOE,

'：DE\_CF,

：.ADIICF,

ZBAD=ZF,

在RtZ\B石尸中，

•：ABEF=90°,BF=2,sin/F=sinZBAD=—,

5

.,.^=^sinZF=2x,

55

•••OCIIBE,

:AFBESXFOC,

.FB_BE

一而一记

9—

设。。的半径为r,则f-=5,

2+r-

r

解得r=3,

的半径为3.

11.解：(1)①连接。8、OC,如图:

•；NBAC=30°,

ZBOC=2ZBAC=60°,

•••OB=OC,

.♦.△50。是等边三角形，

OB=OC=BC=2,

故答案为:2;

②过。作于H,延长7/0交。。于。，如图:

由①知△BOC是等边三角形，OB=BC=2,

：."OC=6G°,

._60X71X2_2

•・S扇形B℃=—两一=子

•：OH]_BC,

OH=OB・sinB=2X退=«,

2

争恭«，

•••S„BOC=C.OH=2X&=DH=OH+<OD=OH+OB=«+2,

•.•点月到3。的距离为x,

•1•S&ABC=^BC・X=-^X2*x=x,

,o

••阴影部分的面积为y=S扇形80°-S丛80日SXABC=与7c-F+x,

而0<x<DH,即04xW正+2;

(2)仍垂直平分BC,理由如下：

连接EK如图：

Fp

•：:ABAC./期。的平分线分别交。。于点区F,

：.ZBAF=-^-ZBAD,ZBAE=-|zSAC,

ZEAF=ZBAF+/_BAE=—ZBAD+—Z.BAC=—(NBA5NBAO=-^-X180°=90°,

222

班是。。的直径，

,.,4E平分NA4G

.•.弧3£=弧CE,

••.EF垂直平分BC.

12.解：(1)如图:

BAGDC

•：DEVBC,DF\_AB,

:.乙EDB=LBFD=9G°,

在Rt△砂工＞中，乙B+£BDF=90°,

•1•ZEDF+ZBDF=ZEDB=900,

ZB=ZEDF,

.・.四边形9灯。是。。的内接四边形,

/.zFGB=zFED,

SBGFSADEF：

(2)①连接EG,如图：

-：AB=AC,

ZB=ZC,

tan8=tanC—2,

Rt△即。中，/_EDC=90°,

.*.tanC=-^-=2

DC

:.DE=2DC=3,

Rt△与用中，ABFD=90°,

DF

/.tan5=—=2,

BF

♦：4BGFS/\DEF,

.DE_DF

…前一丽'

・•・I,

GD=BC-BG-DC=1,

RtZiGH。中，£GDE=90°,

：.GL^+DEi=GE^,

GE=yjI2+32=VTO>

在。。上，S.AGDE=90°,

」.GE是。。的直径，

：.r=-GE=J^-;

22

②如图：

tanC==2,

DC

DE=2x,

DFDFDE

•JtanB=—=tanC=2,旦XBGFSXDEF,有些=旦

BFBGBF

:.BG=x、

GD=4-2x,

M△GOE中，GD2+DE2=GE2,

：.G^=(4-2x)2+(2x)2

=8,18A+16

=8(x-1)2+8,

.•.当x=1时，G田有最小值，最小值为8,

AGE的最小值为2近,半径最小值是证,

故答案为：V2.

13.解：(1)如图1,。。即为所求.

①以/为圆心，/C为半径画弧交于©

②分别以不。为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点力，交6c于点

③以。为圆心，OC为半径的圆。即为所求.

(2)如图2,即为所求.

①连接CD,作8垂直平分线；

②过点。作垂线交S的垂直平分线于点O-,

③连接OC,以。为圆心，。。为半径的圆即为所求.

(3)如图3,即为所求.

①作CE垂直平分线，确定其中点D;

②以。为圆心，DA为半径画弧交BC于点F-,

③以力为圆心，3为半径画弧交力8于点H;

④过点〃作垂线交垂直平分线于点O;

⑤。为圆心，。。为半径作圆。即为所求.

14.(1)证明：•••/?//

.-.ZA+ZAJ(2=180o,

■：NPIIAC,

r./月+/4VP=180°,

：./_AJQ=/_ANP,

同理可得：ZBMK=ZBQJ,ZCKM=ZCPN,

即六边形以MVP0的对角相等；

(2),•・0。与切于。，

：.OD1AB,

：./_ADO=9G°,

〈ABHJQ,

.•.NADO=/QGO=90°,

•••。。与6。切于区

：.OE]_BC,

：.Z_QEO=9G°,

.•.NQ£O=NQGO=90°,

又OQ=OQ,OE=OG,

...RtZ\EQ"RtZ\G。。[HL),

・•.zEOQ=zGOQ=-i-ZEOG,

同理NZHOM=yZDOH,

•・•ZDOH=ZEOG,

ZDOM=ZGOQ,

•：OD=OG,ZODM=ZOGQ,

：,4DOMQXGOQ(ASA),

同理△OCW四△GO/

:・DM