2023年中考数学必刷压轴题-三角形与动点问题-中考数学备考复习重点资料归纳汇总

2023年中考必刷压轴题一三角形与动点问题

一、单选题

1.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ

是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）秒

2.如图，已知AB是线段MN上的两点，MN=12,MA=3,MB>3,以A为中心顺时针旋转点M,以点B为中心顺时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,当△ABC为直角三角形时AB

的长是（）

MAD

A.3B.5C.4或5D.3或5

3.如图，△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以Icm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P,Q两点同时出发，运动时

间为t（s）.当t为（）秒时，△PCQ的面积是4ABC面积的.

C.3或者1.5D.以上答案都不对

4.如图，在^ABC中，Z4BC=90°,AB=8cm,BC=6cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为lcm/s,点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止,

点P也随之停止运动，当JBQ的面积为15cm2时，则点P运动的时间是（）

A.3sB.3s或5sC.4sD.5s

5.如图已知MBC中，AB=AC=\2cm,NB=NC,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2cmls的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运

动.若点Q的运动速度为v,则当M3PD与ACQP全等时，v的值为（）

6.如图，在RsABC中，ZB=90°,AC=30cm,NA=60。，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达

终点时，另一个点也随之停止运动，设点D,E运动的时间是t（0<tR5）.过点D作DF_LBC于点E连接DE,EF,若四边形AEFD为菱形，则t值为（）

7....A5C中，ZC=90°,A8=8,N8=30。，点P是BC边上的动点，则4P长不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

8.如图，在RIAABC中，NC=90。，NA=60。，AB=l2cm,若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以Icm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为

C.2.4或3D.3或4.8

9.如图，在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为（2，75）.（2,6），（3,0），点P为线段AB上的一个动点，连结CP,过点P作NCPD=I20。，交y轴于点D,当点P从A运动到B

时，点D随之运动，设点D的坐标为（0,b）,则b的取值范围是（）

.G…4GB.竽Sb<75

A.—<b<-----

55

r36vhv4GD.yWb<G

55

10.如图，在直角△ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,P为AC的中点,Q为AB上的一个动点，连接PQ,CQ,则PQ+CQ的最小值为(

C.V2+1D.旧

二、填空题

11.如图，在边长为6的等边AABC中，点E,F分别是边ACBC上的动点，且AE=CF，连接BE1，AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为.

12.如图，在四边形ABCD中，ZDAB=ZABC,AB=5cm,AD=BC=3cm,点E在线段AB上以lcm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t(s),当

△ADE与以B,E,F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为cm/s.

13.如图，有一个直角三角形ABC,NC=90。，AC=8,BC=3,P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB.问当AP=时，才能使△ABC和△PQA全等.

14.如图，在,ABC中，AB=6cm,BC=7cm,ZABC=30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动.

如果P、Q两点同时出发，问：经过秒后上PBQ的面积等于4cm2.

15.如图，在RtZkABC中，AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点，DEIBC,DF1AC,垂足分别为E、F.则线段EF的最小值为

16.已知等边△ABC的边长为4,点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60。得到△ACQ,点D是AC边的中点，连接DQ,则DQ的最小值是.

17.如图，在Rt/^ABC中，N8=90。，Z4=6O°,AC=4，何是AC的中点,E是AB边上的一个动点，连接ME,过用作ME的垂线，与BC边交于点尸.在E从A运动

到B的过程中，EF的中点N运动的路程为.

18.如图，ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、。同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是Icm/s，点。运动的速度是2cm/s,当点Q到达点。时，P、

Q两点停止运动，在运动过程中作QRHBA交AC于点R,连接PR,设运动的时间为/（s）,当四s时-APRs/RQ.

19.如图，在RtAABC中，NACB=90。，NA=3NB,AB=20cm,点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B,点P始终是线段CM的中点.对于下列结论：①CD=IOcm：@ZCDA=

60°：③线段CM长度的最小值是572cm；④点P运动路径的长度是10cm.其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）.

20.如图，在平面直角坐标系中，t.AOB的边OA在x轴上，且。4=6,点B的坐标为（2,4）点£）为。4的中点，AB的垂直平分线交轴于点C,交AB于点E,点P为线段

CE上的一动点，当.APD的周长最小时，点P的坐标为.

三、综合题

21.如图，在RtA5C中，ZACB=90°,BC=-AB,D为AB的中点，点E在直线BC上移动，以DE为边向右作等边三角形DEF,连接CF.

2

（I）当点E在线段BC上移动时，如图①所示，求证：EC+FC=与AC;

(2)当点E在直线BC上移动时，如图②、图③所示，线段EC、CF与AC之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

22.在平面直角坐标系中，O为原点，点4(-2,0),8(6,0)，点C在)，轴的正半轴上，NACB=90。.

田公

(2)将二AOC沿X轴向右平移得AAOV,点A,O,。的对应点分别为A',aC.设0。'=人40'(7与t.OBC重叠部分的面枳为S.

①如图②，当与OBC重叠部分为四边形时，AU,OC分别与BC相交于点O,E,试用含有/的式子表示S,并直接写出f的取值范围;

②当S取得最大值时，求/的值(直按写出结果即可).

23.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.请根据教材中的分析.

（2）定理应用：

如图②，在.•.AAC中，A8=AC，AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M.连接MB,若AB=8cm,,..M8c的周长是14cm.

①求BC的长；

②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P,B,C构成的,的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求.78C的周长最小值；若不存在，说明理由.

24.如图，直线>=去+"k*0）与坐标轴分别交于A、B两点，0A=8,0B=6.动点P从0点出发，沿路线O-A-B以每秒2个单位长度的速度运动，到达B点时运动停止.

，B两点的坐标为

（2）当点P在OA上，且BP平分NOBA时，则此时点P的坐标为.

（3）设点P的运动时间为t秒（gt*）,aBPA的面积为S,求S与I之间的函数关系式：并直接写出当S=8时点P的坐标.

25.如图1,在等腰RSABC中，ZBAC=90°,A8=AC=2,点M为8C中点.点P为48边上•动点，点。为BC边上•动点，连接OP,以点P为旋转中心，将线段PQ逆时针旋转90。,得到线段尸£连

接EC.

B

M

图1

备用图

①根据题意在图2中完成作图：

②判断EC与BC的位置关系并证明.

（2）连接写出一个5P的值，使得对于任意的点。总有并证明.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】设运动的时间为x秒，

在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP=AQ,AP=20-3x,AQ=2x,

即20-3x=2x,

解得x=4

故答案为：D.

【分析】设运动的时间为x秒，根据等腰三角形的性质可得AP=AQ,AP=2O-3x,AQ=2x,即可得到20-3x=2x,再求出x的值即可。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•在△ABC中，AC=AM=3,

设AB=x,BC=9-x,

由三角形两边之和大于第三边得：

(3+x>9-x

(3+9-x>x，

解得3VxV6,①AC为斜边，则32=x?+(9-x)2,即x2-9x+36=0,方程无解，即AC为斜边不成立，②若AB为斜边，则x?=(9-x)2+32,解得x=5,满足3VxV6,③若BC为斜边，贝U(9-x)

=32+x2,解得x=4,满足3VxV6,

.*.x=5或x=4；

故答案为：C.

【分析】设AB=x，则BC=9—x,根据三角形两边之和大于第三边，得到x的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：ZC=90°,AC=8cm,BC=4cm,

「.S诋=界。衣=?8*4=16,

•・•一动点P从C出发沿着CB方向以lcm/s的速度向B运动，

：.CP=t，

,・,点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，

・・・AQ=2t,CQ=AC-AQ=S-2t,5J=；(8—2/)/,

APCQ的面积是^BC面积的!，

-（8-2r）r=-xi6,

21）4

整理得，一@+4=o,

解得r,=r2=2,

当t=2s时，JPCQ的面积是；.ABC面积的7.

故答案为：B.

【分析】根据三角形的面积公式可求出I。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：设动点P,Q运动I秒，能使JBQ的面积为15cm2,

则BP为（8-t）cm,BQ为2tcm,由三角形的面积公式列方程得

—（8-t）x2t=!5,

2

解得卜=3,t2=5（当t2=5,BQ=10,不合题意，舍去）

・•・动点P,Q运动3秒，能使二PBQ的面积为15cm2.

故答案为：A.

【分析】根据题意求出;（8-1）x21=15,再解方程计算求解即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，

•・・A8=AC=12o〃，点D为AB的中点.

.\BD=-AB=6,

2

由题意得BP=2t,则CP=82,CQ=vt,

又,.,NB=NC

・•・①当BP=CQ,BD二CP时，gPDgbCQP

.*.2t=vt,解得：v=2

②当BP=CP,BD=CQ时，ABPD丝ACPQ

A8-2t=2t,解得:t=2

将曰代入vt=6,解得：v=3

综上，当v=2或3时，2PD与bCQP全等

故答案为：D.

【分析】设运动时间为t秒，由题目条件求出BD=；AB=6,由题意得BP=2t,则CP=82,CQ=vt,然后结合全等三角形的判定方法，分①当BP=CQ,BD=CP时，②当BP=CP,BD=CQ时，两种情况列方

程求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】•・,点D和点E的速度分别为4cm/s和2cmzs,

.\CD=4t,AE=2t,

•・•四边形AEFD为菱形，

.\AD=AE,

即30-4t=2t,

解得：t=5,

故答案为：A.

【分析】先求出CD=4t,AE=2t,再结合菱形的性质可得AD=AE,即30-4t=2t,求出t的值即可。

7.【答案】A

【解析】【解答］解：••.△ABC中，ZC=90°,AB=8,ZB=30°,

AAC=-AB=4,

2

・・・AP的长不能大于8,

根据垂线段最短，可知AP的长不可小于4；

故答案为：A.

【分析】先利用含30。角的直角三角形的性质求出AC=4,再利用垂线段最短的性质可得答案。

8.【答案】D

【解析】【解答】解：设运动的时间为I秒，则BP=2t厘米，AQ=t厘米,

①当NPQA=90。时，如图I所示，

9B1

在RSAPQ中，VZPQA=90°,ZA=60°,AP=(12-2t)cm,

/.ZQPA=30°,

:.PA=2AQ,

**•12—2z-2r>

解得t=3,

②当NQPA=90。时，如图2所示，

在RSAPQ中，VZQPA=90°,ZA=60°,AP=(12-2t)cm,

/.ZAQP=30。，

AQ=2AP,

.\f=2(12-2r),

:.t=24-4t,

.•.5f=24

.\r=4.8,

ZC=90°,NA=60。，AB=12,

「.ZB=30。，AC=6,

二•P，Q两点的最长运动时间为6s,所以r=3,f=4.8都符合题意,

综上所述，运动的时间为3秒或4.8秒，

故答案为：D.

【分析】根据题意分两种情况进行解答，即/PQA=90。或NQPA=90。时，分别表示直角三角形APQ的两边的长，再根据直角三角形的边角关系求解即可。

9.【答案】D

【解析】【解答】解：过点B作BHJ_OC于点H

y

VA,B,C三点的坐标分别为（:，&）,⑵石），（3,0）,

・•・AB〃x轴，

.,.CH=3-2=1,BH=>/3

；・8C=J（可+F=2

.\BC=2CH,

:.ZHBC=30°

.•.ZABC=900+30°=120°,

・•・当点P运动到与点B重合时,BP〃x轴，

・•・此时b的值最大，最大值为J5；

当点P运动到与点A重合时，此时b的值最小，最小值为生叵

5

・・・b的取值范围是半《力

故答案为：D

【分析】过点B作BH_LOC于点H,利用点的坐标，可证得AB〃x轴，同时可求出CH,BH的长，利用勾股定理求出BC的长，由此可求出NHBC=30。，ZABC=120",当点P运动到与点B重合时，BP〃x

轴，可得到b的最大值：当点P运动到与点A重合时，此时b的值最小，可求出最小值，即可得到b的取值范围.

10.【答案】D

【解析】【解答】如图，过点P作点P关于AB的对称点P,连接PC,交AB点Q,连接AP,

则AP=AP',PQ'=P'Q',

PQ+CQ=P'Q+CQ>P'Q'+CQ'=CP',

即当P、Q\C在同一直线上时，PQ+CQ的最小值为CP.

;直角△ABC中，ZC=90°,

・・・NCAB=45。，ZP'AC=45°,

••・NCAP'=90。，

•・・AC=BC=2,P为AC的中点，

・・・AP'=AP=1,

・・・CP=JAC'AP3=百+1=6,

即PQ+CQ的最小值为x/5.

故答案为：D.

【分析】过点P作点P关于AB的对称点P,连接PC,交AB点Q1连接AP.则AP=AP,PQ'=P'Q',当P、Q\C在同一直线上时，PQ+CQ的最小值为CP.由勾股定理得，CP=y]AC2+AP,2

百+1=>/5，即PQ+CQ的最小值为75.

11.【答案】26

【解析】【解答】如图所示，•・•边长为6的等边AA8C,

/.AC=AB=6,ZACB=ZC4B=60°

又AE=CF

：.^ACF=^AE(SAS)

NCAP=NPBA

・•・NEPA=ZPI3A+NPAB=Z.CAP+NPAB=ZCAB=60°

AZ4PB=120°

・••点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧

此时ZAOB=\20°

连接CO交。O于P,,当点P运动到尸时，CP取到最小值

VC4=CB,CO=CO,OA=OB

・•・ACO=.BCO(SSS)

：.ZACO=NBCO=30°，ZAOC=NBOC=60°

・•・NC4O="80=90。

又,:AC=6

75r-OC=—•=A=40

AOP'=OA=tan30°=6x—=2V3,cos30°G

3T

CPf=OC-OP'=4x5-2^3=2y/3

即％n=2G

故答案为：2G

【分析】以AB为直径作圆，利用等边三角形的性质，可证得AB二AC,ZACB=ZCAB,利用SAS证明△ACF丝Z\BAE,利用全等三角形的性质可证得NCAP二/PBA,由此可证得NAPB=120。：可推出点P的

运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧，此时NAOB=120。，连接CO交OO于P',当点P运动到P，时，CP取到最小值：再利用SSS证明△ACO^^BCO,利用全等三角形的性质，可求出

ZCAO=ZCBO=90"；然后利用解直角三角形分别求出OP',OC,CP'的长，即可得到CP的最小值.

12.【答案】1或1

【解析】【解答】解：设点F的运动速度为xm/s,

由题意可得，AE=t,BE=5-t,BF=xt,

当2ADE—BEF时，

；・AE=BF，

t=xt,

解得：x=l,

・••此时点F的运动速度为lm/s：

当AADE!BFE时，

AE=BE,AD=BF=3,

t=5—t>xt=3,

解得:f=|，X=[.

此时点F的运动速度为|m/s：

故答案为：1或(.

【分析】设点F的运动速度为xm/s,由题意可得，AE=t,BE=5-t,BF=xl,再分两种情况：当&ADE冬BEF时，当^AD^BFE时，再利用全等三角形的性质求解即可。

13.【答案】8或3

【解析】【解答】解：①AC=AP=8时，△BCA^AQAP,

在RIABCA和RIAQAC中,

\PQ=AB

[AC=AP'

ARtABCA^RtAQAC(HL)：

②当AP=BC=3时，△BCA^APAQ,

在RtABCA和RtAQAC中，

\QP=AB

[liC=AP'

.".RtABCA^RtAPAQ(HL)；

故答案为8或3.

【分析】分两种情况讨论，即①AC=AP=8时，利用HL证明RsBCAgRsQAC；②当AP=BC=3时，再利用HL证明BCA四口△PAQ.

14.【答案】2

【解析】【解答】解：如图，过点Q作QE_LPB于点E,则ZQEB=90°,

AE°

/ABC=30。，

..2QE=QB,

设经过t秒后APBQ的面积等于4cm2.

则PB=(6-t)cm,QB=2t(cm),QE=t(cm),

根据题意可得：lx(6-t)t=4

二.L=2,t2=4,

当t=4时，2t=8>7,不合题意;

t=2.

•••经过2秒后ZkPBQ的面积等于4cm2.

故答案为：2.

【分析】过点Q作QEJ_PB于点E,根据含30。角的直角三角形的性质可得QB=2QE,设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm则PB=(6-t)cm,QB=2t(cm),QE=tcm,根据三角形的面积公式可得t的值，据此

解答..

15.【答案】y

【解析】【解答】解：如图，连接CD,

VDE1BC,DF±AC,ZACB=9O°,

，四边形CEDF是矩形,

由垂线段最短可得：CDJ.AB时，线段CD的长最小,

在RSABC中，AC=3,BC=4,

・•・AB=y/AC2+BC2=V32+42=5，

当CD_LAB时，

二•△ABC的面积=-ABxCD=-ACxBC,

22

ACxBC3x412

AB55

I?

・・・EF的最小值为y,

12

故答案为：y.

【分析】连接CD,判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等得出EF=CD,再根据垂线段最短得出CD_LAB时EF的最小值，进而解答即可。

16.【答案】g

【解析】【解答】解:如图，由旋转可得NACQ=/B=60。，

Q

BPC

又••,NACB=60。，

/.ZBCQ=120°,

•・•点D是AC边的中点，

ACD=2,

当DQ_LCQ时，DQ的长最小，

此时，NCDQ=30。，

・・・CQ=yCD=1,

・・・DQ=疹不=/，

・・・DQ的最小值是75,

故答案为：73.

【分析】先求出/BCQ=120。，再求出CQ=1,最后利用勾股定理计算求解即可。

17.【答案】2

【解析】【解答】如图，

根据N8=90。，ZA=60°,作BG_LAC

当点E与A重合时，F点与B重合，N点为AB中点P,

当点E与B重合，点F与C重合时，N点为BC的中点Q,

・•・线段EF的中点N运动的轨迹为线段PQ,即^ABC的中位线.

V4。=4

・,.PQ=JAC=2

故答案为：2.

【分析】取特殊点寻找轨迹，线段EF的中点N运动的路程为△ABC的中位线，即可求解.

18.【答案】1.2

【解析】【解答】解：是边长为6cm等边三角形，

AZA=ZB=ZC=60°

QR//BA,ZC/?(2=ZA=60°,NCQR=N8=60。

・••二CRQ为等边三角形

,・,点尸运动的速度是lcm/s，点。运动的速度是2ctn/s

AAP=t,PB=6-t，BQ=2t,cQ=CR=RQ=6-2t,A/?=2z

•:QR//BAZ.QRP=ZAPR

若要LAPRS^PQR,则需满足NRPQ=60。

:.ZBPQ+ZAPR=120°,ZARP+ZAPR=120°

工NBPQ=ZARP,又,：乙\=NB

・••"PRs二BQ。.・.丝二些

ARAP

,解得/=1.2

2tt

【分析】先证明，CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QR//BA推得/QPR=/APR,从而△PRQ中再有一个角等于NA=60。，证出LAPRS乙台。尸，再利用比例式求解即可。

19•【答案】①③④

【解析】【解答】解：VZACB=90°,ZA=3ZB,

/.ZA+ZB=90°,即4"=90。,

・・・/8=22.5。，

•・•点D是AB中点，AB=20cm,

：.CD=AD=BD=^AB=\0cm,故①符合题意；

AZB=ZDCB=22.5°,

AZADC=2ZB=45°,故②不符合题意；

当CM_LA8时，CM的值最小，

AZCA/D=90°,

・••一CMO是等腰直角三角形，

:,CD=®CM=T0cm，

:・CM=5瓜m，故③符合题意；

取AC的中点E,连接PE,并延长EP,交BC于点F,如图所示:

•・•点P始终是线段CM的中点，

PE//AM,PE=-AM,

2

/.EF//AB,

・••点F为BC的中点，

•・•点M从点A出发，沿线段AB运动到点B,

・••点P在线段EF上运动，

AEF=-AB=10cm,

2

即点P运动路径的长度10cm,故④符合题意；

・•・正确的结论是①③④：

故答案为①③④.

【分析】由直角三角形的性质可得NA+NB=90。，由NA=3NB可求出NB=22.5。，根据直角三角形斜边中线的性质可得8=AO=8。=,A8=10cm,利用等边对等角可得N8=N£)C8=22.5。，利用三角

2

形外角的性质可得NA£>C=2NB=45°,据此判断①②；当CMJ.AB时，CM的值最小，可证：CMD是等腰直角三角形，可得CD=&CM，求出CM及额判断③：取AC的中点E,连接PE,并延长

EP,交BC于点F,由题意可得点P在线段EF上运动，根据三角形中位线定理即可求解即可判断④.

144

20.【答案】(—,-)

【解析】【解答】解：如图所示，连接BP,BD,

点尸为线段48的垂直平分线上一点，则

04=6,点A在轴正半轴上，点。为OA的中点，

则OD=AD=3,

・・・A点坐标为(6,0),。点坐标为(3,0),

则△APD的周长二人尸+PO+AD=BP+PD+3>3Z)+3,即当点8,P,。三点共线时，△人尸£)的周长取得最小值,

设直线8D解析式为产米+6,将点8(2,4),ZX3,0)代入得：

2k+b=4k=Y

弘+〃=。,解得

h=\2'

所以直线8。的解析式为y=-4x+\2；

VB(2,4),A(6,0),

，八B=J(6-2)2+4?=4&，

过点B作8尺LOA于点R

；.BF=AF,即点尸在线段A8的垂直平分线上，

VAB的垂直平分线交x轴于点C,

・••点C与点F歪合，即点C在线段AB的垂直平分线上,

•・•点8为A8的中点，

则E点坐标为(4,2),

同理求得所以直线EP的解析式为y=x-2,

联立：2，得4'

1/V=一

[5

144

故P点坐标为(—,-).

【分析】先求出直线8Q的解析式为y=Tx+12,再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。

21.【答案】(1)证明：如图①，连接CD,

A

BEC

图①

VZACB=90°,D为AB的中点，AD=BD=CD=-AB,VBC=-AB,ABD=CD=BC,，△BCD是等边三角形，.\ZBDC=60o,•・•△DEF是等边三角形，ADE=DF,ZEDF=60°,/.ZBDC=ZDEF,即

22

(BD=CD_______________________n

ZBDE+ZCDE=ZCDE+ZCDF,AZBDE=ZCDF,在△BDE和△CDF中，4BOE=z_COF，.*.△BDE^ACDF(SAS),.\BE=FC,\"AB=2BC,:.AC=[AB?-BC?二«2BC『-BC?=6BC，.,.BC=^-

(DE=DF

AC,VEC+BE=BC,.*.EC+FC=-AC；

3

(2)解：图②中：EC-FC=^AC,图③中：FC-EC=^AC,理由如下：如图②，连接CD,

A

ZBDC=ZEDF=60°,BC=—AC,，/BDF+NCDF=NBDF+/BDE,AZBDE=ZCDF,BDE^ACDF(SAS),/.BE=FC,VEC-BE=BC,.,.EC-FC=^yAC；如图③,

3

连接CD,

图③

由(1)知：BD=CD,DE=DF,ZBDC=ZEDF=60°,BC=-AC,/.ZBDC+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即/BDE=NCDF,BDE^ACDF(SAS),/.BE=FC,XVBE-EC=BC,r.FC-EC=—AC.

33

【解析】【分析】(1)、做辅助线连接CD,证得△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求得ZBDE=ZCDF,证明△BDEgACDF(SAS),勾股定理求得AC=GBC,再通过线段的代换即可解得.

(2)、第一种情况证明如图②，△BDEgACDF(SAS)证得BE=FC,即可解得.第二种情况证明如图③，△BDE丝ACDF(SAS)证得BE=FC,即可解得.

22.【答案】(1)解:4(-2,0),5(6,0)

OA=2,013=6

ZAOC=90°,ZAC£?=90°

ZACO=900-ZCAO=90°-Z.BCO

NCAO=NBCO

tanZ.CAO=tanZ.BCO

即黑BO

CO

CO=y/2^6=2y/3

C（0,2>/3）

(2)①S=2x/5一等(2Kf<6)

②32

【解析】【解答】解：⑵①5(6,0),C(0,2>/3)

设BC直线解析式为y=kx+b

6=2百

则

6k+b=0

解得

b=2也

「•BC直线解析式为）,=一@工+2月

3

.OC=2>/3,08=6

.,小”OC75

,,tan20BC=----=—

OB3

/.ZOBC=30°

ZC=ZACO=30°

OCLx轴，

:./DEC=4OEB=«i。

c

当,.A!(ye与cOBC重叠部分为四边形时，贝|J2<O(y<6,即2<r<6

S=SAur-SDEC

S"u二|AOxOC=1x2x2>/3=2>/3

00=1

...小一冬+2可

n

=2N/3--/

3

ZC=30°,"'£0=60。

.•./COE=90。

「•S.DEC=-DEXDC'=-DEXDEtan60°=—DE2

222

£>E=gc£=g(CO—O£)=；2痒26

2层等

2

S=S.八,℃—S.DEC'=2^3-DE—2\/3—

.•.S=2G-普(2Wf<6)

@S=2y/3-^~

24

a=<0,开口向下，对称轴为/=0,

24

：,t=2时，取得最大值

【分析】(1)证明角相等，根据正弦函数的定义列出方程，解出CO

(2)根据S=SAA'O'C'SC。？求解，即可得到答案；

根据S面积公式，找到对称轴，开口向下，所以匚2时面积最大

23.【答案】(1)证明：•••MN_LA8,

:.ZACP=NBCP=90°,

在4ACP与ABCP中，

AC=BC

"ZACP=ZBCP,

PC=PC

.*.△ACP^ABCP,

APA=PB；

(2)解：①YMN垂直平分AB.

又丁△MBC的周长是14cm,

AAC+BC=14cm,

VAC=AB=8cm,

/.BC=6cm.

②如图，

当点P与点M重合时，P4+CP的值最小，

1MN垂直平分AB.

APB=PA,

.\PB+CP=PA+PC>AC,

・•・当点P与点M重合时，PB+CF的值最小，为AC的长

PBC的周长最小值是8+6=14cm.

【解析】【分析】(1)先利用“SAS”证明△ACPgZXBCP,再利用全等三角形的性质可得PA=PB；

(2)①根据垂直平分线的性质可得MB=MA,